Vergleich von Bildmengen

21.10.2011, 23:37

GdM_I

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Vergleich von Bildmengen

Hallo!

Ich bin Anfänger (2 Vorlesungen in Grundlagen der Mathematik) und hänge momentan an folgender Aufgabe:

Es sei f : M -> N eine Abbildung. Finde für das Symbol ? (hier steht eigentlich ein Viereck, das kann ich aber (noch) nicht abbilden in LATEX) jeweils eine der Mengenbeziehungen $\begin{eqnarray*} \subset, =, Obermenge \end{eqnarray*}$ , so dass die folgenden Aussagen wahr werden, und beweise die so entstandenen Aussagen!

(a) $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A,B \subset M \end{eqnarray*}$

Ich hab nun versucht, mir ein Beispiel zu machen:
Sei f(x)=x² und $\begin{eqnarray*} A = \left\{ 2\right\} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} B =\left\{ -2\right\} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} f(2)\cap f(-2)=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\cap B=\left\{ \right\} \end{eqnarray*}$

Da ich in $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ wegen der leeren Menge überhaupt kein Bild erhalte, weiß ich nicht ob nun $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ die Obermenge ist bzw. eine Menge die Obermenge einer leeren Menge sein kann (darf). Ich weiß nicht genau, wie ich das anpacken soll. Ich bin für jede Anregung dankbar.

21.10.2011, 23:53

Iorek

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Ein Beispiel ist nur in sofern sinnvoll, dass es dir einen Tipp in die richtige Richtung geben kann, dein Beispiel alleine ist noch kein Beweis für eine Aussage.

Es steht die Frage im Raum: $\begin{eqnarray*} f(A)\cap f(B) \subset f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(A)\cap f(B) = f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} f(A)\cap f(B) \supset f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ .

Du hast mit deinem Beispiel schon zwei der drei Möglichkeiten widerlegt, welche sind das und kommen somit überhaupt nicht mehr in Frage?

Die dritte Möglichkeit könnte man dann mal näher untersuchen und versuchen zu beweisen.

22.10.2011, 00:12

GdM_I

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Also da $\begin{eqnarray*} \left\{4\right\}\neq \left\{\right\} \end{eqnarray*}$ und eine leere Menge meinem Verständnis nach eher eine Teilmenge als eine Obermenge sein kann, bleibt danach nur noch $\begin{eqnarray*} f(A)\cap f(B)\subset f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ übrig. Da überleg ich mir morgen mal einen Ansatz dazu.

Aber das hab ich dann richtig verstanden: Die leere Menge kann man als Teilmenge jeder anderen nicht-leeren Menge betrachten.

22.10.2011, 00:14

Iorek

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Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, ja.

Aber ist denn wirklich $\begin{eqnarray*} \{4\}\subset \emptyset \end{eqnarray*}$ ?

22.10.2011, 00:26

GdM_I

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Das hab ich durcheinander geworfen. Es ist $\begin{eqnarray*} \left\{ 4\right\} \supset \left\{\right\} \end{eqnarray*}$ . Jetzt ist die leere Menge die Teilmenge. Also muss ich mir morgen $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ anschauen. Danke.

22.10.2011, 14:24

GdM_I

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Ich habe einen Ansatz gesucht, um $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ nun zu beweisen. $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ fragt nach der Menge aller Urbilder, welche ein gemeinsames Bild haben. $\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ fragt nach der Menge aller Bilder, welche ein gemeinsames Urbild haben. Wenn f:M->N surjektiv ist, wird die Menge aller Ur-Bilder größer werden als bei einer injektiven Abbildung. Ich häng hier fest, wie kann ich denn sowas richtig anpacken?

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22.10.2011, 14:35

Iorek

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Sei $\begin{eqnarray*} y\in f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ , folgere daraus, dass auch $\begin{eqnarray*} y\in f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ gilt.

(Tipp: Wenn $\begin{eqnarray*} y\in f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ ist, was kannst du dann über das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sagen? Setze einmal die Definition an).

22.10.2011, 15:08

GdM_I

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Also, wir haben in der Vorlesung für Bilder das hier festgelegt:
$\begin{eqnarray*} f(A) =\left\{ f(x)=x \in A\right\} \end{eqnarray*}$

Ist die gemeint?

Dann folgere ich für $\begin{eqnarray*} y \in f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} \exists x \in A,B:f(x)=y \end{eqnarray*}$

Wenn ich das versuche auf $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ zu übertragen: $\begin{eqnarray*} \forall x \in A\cap B:f(x)=y \end{eqnarray*}$

Ja, ich tu mir schwer.

22.10.2011, 15:43

Iorek

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Zitat:

Original von GdM_I
Also, wir haben in der Vorlesung für Bilder das hier festgelegt:
$\begin{eqnarray*} f(A) =\left\{ f(x)=x \in A\right\} \end{eqnarray*}$

Ist die gemeint?

Hier hat sich ein Fehler eingeschlichen, meintest du vielleicht $\begin{eqnarray*} \{f(x)~|~x\in A\} \end{eqnarray*}$ und dir is da ein Gleichheitszeichen nur reingerutscht?

Zitat:

Original von GdM_I
Dann folgere ich für $\begin{eqnarray*} y \in f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ dass $\begin{eqnarray*} \exists x \in A,B:f(x)=y \end{eqnarray*}$

Das ist der erste (und gute) Schritt des Beweises, du solltest aber noch deutliche machen, wo das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ genau herkommt. In welchen Mengen liegt dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ denn?

22.10.2011, 16:16

GdM_I

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Ja, ersteres war ein Fehlereinschleicher.

Wo das x genau herkommt, hm. Es ist besagtes $\begin{eqnarray*} x \in A,B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A,B \subset M \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ die Bildmenge der Funktion ist. Also dann noch $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ . Hm, gibt´s noch eine andere Menge die ich benennen könnte?

22.10.2011, 16:19

Iorek

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Es besagt insbesondere $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ . Jetzt guck dir noch einmal die Definition der Bildmenge an und erinner dich, wie wir dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ erhalten haben.

Meinst du wirklich die Bildmenge und nicht eher die Definitionsmenge?

22.10.2011, 17:00

GdM_I

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Ja, hatte die Urbildmenge im Kopf...Bildmenge ist falsch.

Ich weiß nicht, auf was ich mit x jetzt im Beweis zielen soll, damit $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ ist.

Also, scheinbar komme ich mit den folgenden Informationen irgendwie dorthin:

$\begin{eqnarray*} f(A) = \left\{ f(x): x \in A \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(B) = \left\{ f(x): x \in B \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \in f(A \cap B) \Rightarrow \exists x \in A,B:f(x)=y \end{eqnarray*}$

Fühle mich gerade ziemlich unfähig verwirrt

verwirrt

22.10.2011, 17:40

Iorek

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Du hast eigentlich alles aufgeschrieben, was nötig ist. Es muss nur noch richtig sortiert werden.

Wir haben: $\begin{eqnarray*} y\in f(A\cap B) \Rightarrow \exists x\in A\cap B: f(x)=y \end{eqnarray*}$ . Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} x\in A\cap B \end{eqnarray*}$ gilt, dann gilt ja insbesondere $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ . Mit dem Wissen, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ ist, ist also auch $\begin{eqnarray*} y\in f(A) \end{eqnarray*}$ .

Kommst du damit jetzt weiter?

22.10.2011, 21:13

GdM_I

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Nein, leider nicht. Ich weiß nicht, was ich formulieren muss, auf welchen Umstand das abzielt. Stehe voll auf dem Schlauch. Ist auch mein erster Beweis überhaupt, habe echt 0,0000 Erfahrung bisher.

Ich stelle mir das allgemein so vor: Mithilfe von Axiomen oder Sätzen wird eine Aussage oder Aussagenform soweit heruntergeschraubt, bis am Schluss schon klar bewiesene (oder vorausgesetzte;Axiom) übrigbleiben. Aber ansonsten steck ich fest. Ist ein wenig frustrierend, bei einer so "einfachen" Aufgabe.

22.10.2011, 21:40

Iorek

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Dir fehlt eigentlich nur noch, dass du dir mal die Definitionen von $\begin{eqnarray*} f(A) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(B) \end{eqnarray*}$ anguckst.

Aber: ist dir überhaupt klar, was du zeigen sollst? Es ist nämlich so wie ich schon geschrieben habe eigentlich alles vorhanden um den Beweis abzuschließen. Es muss jetzt nur noch richtig hintereinander gehangen werden.

22.10.2011, 21:51

GdM_I

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Wenn $\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ ist, dann hat $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ mehr Elemente als $\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \end{eqnarray*}$
Ich denke, dass muss ich zeigen.

22.10.2011, 22:07

Iorek

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Über "mehr" Elemente zu reden macht wenig Sinn, wenn wir auch Mengen mit (abzählbar) unendlich vielen Elementen zulassen; bei Mengen mit überabzählbar unendlich vielen Elementen wirds dann noch lustiger.

Im Intervall $\begin{eqnarray*} [0;1] \end{eqnarray*}$ sowie im Intervall $\begin{eqnarray*} [0;2] \end{eqnarray*}$ liegen jeweils unendlich viele Elemente. Und auch wenn $\begin{eqnarray*} [0;2] \end{eqnarray*}$ auf den ersten Blick "doppelt so groß" ist, so liegen in beiden Intervallen gleich viele Elemente.

Du sollst vielmehr zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ ist. Das geht üblicherweise so, dass man sich ein Element aus der ersten Menge nimmt und folgern kann, dass es dann auch in der zweiten Menge liegt. Wir wissen bereits:

$\begin{eqnarray*} y\in f(A\cap B) \Rightarrow \exists x\in A\cap B: f(x)=y \end{eqnarray*}$ , desweiteren ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ also sowohl in der Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als auch in der Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ enthalten. Ich habe dir schon vorgegeben, dass dann auch $\begin{eqnarray*} y\in f(A) \end{eqnarray*}$ sein muss, damit bleibt jetzt nicht mehr viel übrig was zu tun ist.

22.10.2011, 22:36

GdM_I

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Ok, ich versuch mal den ganzen Beweis:

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Beweis:
Es ist $\begin{eqnarray*} y \in f(A \cap B) \Rightarrow \exists x \in A \cap B:f(x)=y \end{eqnarray*}$

Es ist auch $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$

sowie $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in f(B) \end{eqnarray*}$

Da nun $\begin{eqnarray*} y \in f(A) \cap f(B) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \in f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ ist die Behauptung bewiesen.

Eigentlich hab ich nur bewiesen, dass es ein y gibt das in beiden Aussagen vorhanden ist. Das jetzt y in beiden Mengen steht, sagt nichts über Teilmenge, Obermenge oder Gleichheit der beiden Aussagen in meiner Behauptung aus. Ich hab damit laut Aufgabenstellung auf diese Weise davon nichts ausgeschlossen, oder? Fehlt da noch was?

22.10.2011, 22:47

Iorek

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Zitat:

Original von GdM_I
Behauptung:
$\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Beweis:
Es ist $\begin{eqnarray*} y \in f(A \cap B) \Rightarrow \exists x \in A \cap B:f(x)=y \end{eqnarray*}$

Es ist auch $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$

und deshalb ist auch

$\begin{eqnarray*} \color{red}f(x)=\color{black} y \in f(A) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \color{red}f(x)=\color{black} y \in f(B) \end{eqnarray*}$

Soweit sieht das gut aus. Nun folgt:

$\begin{eqnarray*} y\in f(A) \wedge y \in f(B) \Rightarrow y\in f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ , genau das war zu zeigen.

Das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ist in beiden Mengen vorhanden, nicht in beiden Aussagen. Du hast dir ein beliebiges $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ aus der Menge $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ genommen und gezeigt, dass dieses beliebige $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ dann auch in $\begin{eqnarray*} f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ enthalten ist, das ist gerade die Definition einer Teilmenge.

22.10.2011, 23:05

GdM_I

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Danke für die Korrekturen.

Ok, y ist in beiden Mengen vorhanden. Wie schließe ich nun daraus, dass $\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ die Teilmenge ist und nicht die Obermenge ist oder beide Mengen gleich sind? Anhand meines Beispiels am Anfang des Threads konnte man ja zwei Fälle ausschließen, so dass $\begin{eqnarray*} f(A) \cap f(B) \supset f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ übrigblieb.
Wie erkenne ich das jetzt ohne das Beispiel? Weil ich y zuerst aus $\begin{eqnarray*} f(A \cap B) \end{eqnarray*}$ betrachtet habe?

22.10.2011, 23:15

Iorek

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Üblicherweise hat man eine Ahnung, welches die Obermenge sein könnte, bevor man eine Aussage allgemein beweist, guckt man sich vielleicht auch ein paar Beispiele an um zu sehen, in welche Richtung man gehen soll bzw. überhaupt gehen kann.

Da da in deinem Beweis von $\begin{eqnarray*} y\in f(A\cap B) \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} y\in f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ geschlossen hast, gilt $\begin{eqnarray*} f(A\cap B) \subseteq f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ nach Definition der Teilmenge. Wenn du jetzt noch zeigen könntest, dass $\begin{eqnarray*} f(A\cap B)\supseteq f(A)\cap f(B) \end{eqnarray*}$ ist, dann wäre sogar die Gleichheit gezeigt (Dieser Beweis ist aber hier natürlich unnötig, schließlich hast du schon ein Gegenbeispiel konstruiert).

22.10.2011, 23:20

GdM_I

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Vielen Dank für deine Hinweise, Zeit und Geduld Iorek. Freude

Freude

Ich habe nun einiges besser verstanden und werde das bald an der nächsten Aufgabe ausprobieren. Dann muss ich ähnliches für Urbildmengen machen (f-1).

23.10.2011, 19:29

otep

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Hallo,

wenn in dem Beispiel vom Anfang bereits bewiesen ist dass die Mengen nicht gleich sind und sie auch nicht nicht Teilmengen sind, dann bleibt doch nur noch die Möglichkeit dass sie Teilmengen sind - eine andere Beziehung können Mengen doch nicht haben!?

23.10.2011, 19:45

Iorek

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Ich verstehe deine Aussage nicht...im Gegenbeispiel wird die Gleichheit ausgeschlossen, sowie eine von zwei möglichen Teilmengenbeziehungen, falls du das meinst.

23.10.2011, 20:13

otep

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ja, wenn die Gleichheit und eine von zwei Teilmengenbeziehungen ausgeschlossen wird, dann bleibt doch nur noch eine mögliche Teilmengenbeziehung als mögliche Antwort übrig?

23.10.2011, 21:19

GdM_I

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In der Aufgabenstellung ist der Beweis besagter Mengenbeziehung gefordert. Der Ausschluß von zwei Mengenbeziehungen zeigt auf die Dritte als einzig noch Mögliche hin. Das ist noch kein Beweis. Nach meinem Verständnis ist ein konkretes Beispiel speziell, ein Beweis allgemein. Ein konkretes Beispiel zu zeigen kann etwas nur widerlegen (also die Mengenbeziehungen ausschließen). Der Beweis zeigt, dass etwas für alle denkbaren Beispiele gilt.

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