Herleitung e als Grenzwert

22.10.2011, 11:37

zuccini

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Herleitung e als Grenzwert

Meine Frage:
Hallo,
ich verzweifle grade an folgender Aufgabe:

"Beweisen Sie, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k}^\infty \frac{1}{k!} = e \end{eqnarray*}$

Gehen Sie dazu wie folgt vor

a) Schreiben Sie die Zahl e als Grenzwert der Folge aus der Vorlesung und formen Sie den Ausdruck mit Hilfe des binomischen Satzes um.

b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } a_{n} = \lim_{n \to \infty } \frac{n!}{(n-k)!n^{k} } \end{eqnarray*}$
für ein beliebiges k $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ n, indem Sie den Ausdruck für k=0,1,2,3 ausschreiben und sich dann überlegen, was für ein beliebiges k gelten muss.

c) Nutzen Sie die obigen Ergebnisse, um den Satz zu beweisen."

Meine Ideen:
Mein Hauptproblem ist, dass ich gar keine Vorkenntnisse zu Folgen und Reihen (war im Grundkurs) habe, und dass mein Professor zu dieser Gleichung nicht mehr gesagt hat, als dass e genau so definiert ist, und dass er uns das warum "später irgendwann mal" zeigen würde..

Nach einigem Suchen weiß ich jetzt, dass e auch
$\begin{eqnarray*} \exp(x) = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac xn \right)^n \end{eqnarray*}$ ist, aber ich weiß nicht genau, was mir das eigentlich bringt.

Ich habe auch versucht, eine Grenzwertuntersuchung mit dem Quotientenkriterium anzustellen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } |\frac{1/(k+1)!}{1/k! }| = \lim_{k \to \infty } |\frac{1}{(k+1)}| \end{eqnarray*}$
Aber so richtig gebracht hat mir das auch nichts..

Es wäre total super, wenn ihr mir damit helfen könntet, ich hab schon das halbe Internet durchsucht und von meinen Kommilitonen weiß auch niemand, wie das geht und was wir überhaupt genau machen sollen.

Vielen Dank schon mal im Voraus smile

smile

22.10.2011, 11:54

Huy

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Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n =: e \end{eqnarray*}$ gilt. Dazu solltest du wenigstens versuchen, dem vorgeschlagenen Vorgehen zu folgen.

MfG

22.10.2011, 12:51

zuccini

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Vielen Dank für deine rasche Antwort, so was ähnliches habe ich schon versucht zu rechnen, aber ich weiß nicht, wie ich das vorgeschlagene Vorgehen umsetzen soll, wie gesagt, ich habe absolut keine Ahnung von der Thematik und meine Mitschrift aus der Vorlesung hilft mir auch nicht weiter.

Muss ich das mit der s=a/1-q Formel rechnen?
Wenn ja, wie? Denn ich verstehe nicht ganz, wie das mit einer Summe funktioniert, die bei keinem absoluten Startwert anfängt.

Liebe Grüße,
zuccini

22.10.2011, 13:03

Huy

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Setze doch einfach mal $\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ in die binomische Formel ein...

MfG

22.10.2011, 13:32

zuccini

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Das ist doch dann eine Form geometrische Reihe, oder hab ich das falsch verstanden?

In meinen Unterlagen steht jetzt, dass die für |x|<1 konvergiert, und mein x ist in dem Fall ja 1/n. Gut, also haben wir jetzt bewiesen, dass die Reihe sich schon mal irgendwo annähert, oder?
Aber was hat das mit der anderen Gleichung zu tun?

Vielen Dank nochmal für deine Hilfe,
Liebe Grüße,
zuccini

22.10.2011, 13:35

Huy

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http://de.wikipedia.org/wiki/Binomischer...iche_Exponenten

MfG

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22.10.2011, 13:56

zuccini

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Vielen Dank, es fängt langsam an, Sinn zu machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das soll doch jetzt die zweite Formel werden, oder? Dann hab ich aber ein k! zu viel im Nenner O.o

Liebe Grüße,
zuccini

22.10.2011, 14:38

Wetal

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geh mal alles schritt für schritt durch. ich vermute, du hast a) erledigt? dann zeige jetzt b). dann musst du in c) einen zusammenhang zwischen a und b herstellen um die behauptung zu beweisen.

22.10.2011, 15:18

zuccini

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Ich hab a) leider noch nicht erledigt, ich hab überhaupt keine Ahnung davon wie das mit den Grenzwerten und so geht, haben wir in der Schule nie gemacht, und jetzt sitz ich hier seit zehn Stunden und komm nicht weiter. T.T

22.10.2011, 16:22

Wetal

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a hat Huy für dich zu 50% erledigt:

Zitat:

Original von Huy
Es ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n =: e \end{eqnarray*}$ gilt. Dazu solltest du wenigstens versuchen, dem vorgeschlagenen Vorgehen zu folgen.

MfG

das ist nur hinschreiben von

$\begin{eqnarray*} e= \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = \ldots \end{eqnarray*}$

hier kommst du ins spiel. wende die binomische formel auf $\begin{eqnarray*} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ an.

22.10.2011, 17:22

zuccini

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Ah, da hab ich wohl was missverstanden, hab ich doch schon gemacht bzw. versucht smile

smile

Vielen Dank!

Ich habe jetzt nach dem Umformen $\begin{eqnarray*} \lim_{ n \to \infty } \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{(n-k)!k!n^{k} } \end{eqnarray*}$

Das sieht ja jetzt schon fast aus wie die Gleichung in b), aber wie kriege ich das Summenzeichen aus dem Limes und die k! im Nenner weg, oder verrenne ich mich da wieder?

22.10.2011, 17:28

Wetal

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kümmere dich erst einmal um b). was kommt da für alle $\begin{eqnarray*} k \leq n \end{eqnarray*}$ raus? dazu wie im hinweis einfach $\begin{eqnarray*} k=0, 1, 2, 3 \end{eqnarray*}$ setzen und den grenzwert ausrechnen.

22.10.2011, 17:48

zuccini

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Ok, gut.
Also, für k=1 hab ich da 1, für k=2 n-1/n ->0 und für k=3 (n-1)(n-2)/n² ->0 raus.

Und für das k=k bin ich bei (n-1)(n-2)..(n-(k-1)) / n^k-1, was dann auch gegen null geht, aber mir fällt keine andere Möglichkeit ein, das auszudrücken, außer über die Fakultäten, die in der Ursprungsgleichung sind.

22.10.2011, 17:55

Wetal

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da stimmt was nicht. $\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} \end{eqnarray*}$ geht für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ nicht gegen 0, sondern? was ist mit k=0 und k=3? vllt kannst du dann besser erkennen was für k=k rauskommt.

22.10.2011, 18:06

zuccini

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Hab nochmal meinen Taschenrechner gefragt, der meint, das läuft gegen 1. ^^; Sorry.
Für k=0 aber dann gegen -1.

Den Term im Zähler hab ich auch nochmal angeguckt, ich hab das Gefühl, als ob der Groschen gleich fällt, aber ich weiß grad echt nicht, was ich da mit machen soll. ^^;

22.10.2011, 18:09

Wetal

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wie kommst du auf -1 bei k=0? ^^ zu dem fall vorhin braucht man kein taschenrechner. betrachte einfach

$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{n} = \frac{1 - \frac{1}{n}}{1} \end{eqnarray*}$

22.10.2011, 21:44

zuccini

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Habs mal zur Seite gelegt und mir grad noch mal angeschaut und, ja, jetzt seh ich's auch xD
Ich Pfosten hab für n anstatt für k die 0 eingesetzt und dann noch irgendwas verwurschtelt.. Hammer

Hammer

Also, wenn ich jetzt weiß, dass die Grenzwerte alle gegen 1 laufen, dann kann ich doch rechnen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{(n-k)!n^k} \right) = 1 <=> n^{k-1} = \frac{n!}{(n-k)!} \end{eqnarray*}$
Oder geht das nicht so einfach?

22.10.2011, 21:52

Wetal

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ich weiß nicht genau, was dir diese umformung bringen sollte. abgesehen davon, dass sie nicht stimmt. nun hast du ja gesehen, dass im limes bei b) für alle $\begin{eqnarray*} k \leq n \end{eqnarray*}$ 1 herauskommt. nun kannst du aufgabenteil c) versuchen.

schreib dir erstmal auf, was du zeigen sollst. dann schau dir an, was du bisher herausgefunden hast und überlege, wie du das anwenden kannst.

23.10.2011, 07:32

zuccini

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B'aw, verdammt, es wäre so schön gewesen! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich hoffe, das ist normal, dass man sich mit seiner Schulmathematik erstmal n bisschen alleingelassen fühlt ^^;

Also, in a) hatte ich ja am Ende diesen Term raus, ähnlich wie in b), nur als Summe und *1/k!.
Wenn b) also gegen 1 geht, dann muss mein Ergebnis aus a) ja gegen 1/k! gehen, und ich soll ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k}^\infty \frac{1}{k!} = e \end{eqnarray*}$ .
Oder?

23.10.2011, 10:06

Wetal

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ja das ist die idee. habt ihr rechenregeln für grenzwerte schon gehabt? z.b. wann

$\begin{eqnarray*} \lim (a_n+b_n) = (\lim a_n) +( \lim b_n) \end{eqnarray*}$ usw. gilt?

das sollte man da irgendwie geschickt anwenden, damit das alles seine richtigkeit hat xD

23.10.2011, 10:59

zuccini

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Dann bin ich ja vielleicht doch nicht so doof, wie ich mich fühle Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein, das hatten wir noch nicht, alles, wofür ich den Limes bis jetzt angewendet habe, ist eine Randuntersuchung bei Extremwertbestimmungen.
Hab mir mal den Wikipediaartikel dazu durchgelesen..
Wenn ich das richtig verstehe, kann ich
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{(n-k)!n^k} *\frac{1}{k!} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{n!}{(n-k)!n^k} \right)*\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{k!} \right) \end{eqnarray*}$
ausdrücken, wobei der linke Term dann ja =1 ist, also ist das ganze gleich
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{k!} \right) \end{eqnarray*}$

Kann ich das jetzt aus dem Limes "rausholen", weil der Term nicht mehr von n abhängt?
Dann muss ich ja jetzt im Grunde nur noch zeigen, wie man da ne Summe raus macht, und dass die gleich e ist.. O.o

23.10.2011, 11:39

Wetal

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ja im grunde bist du fast fertig Freude

Freude

23.10.2011, 12:05

zuccini

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Super!

Big Laugh

Die Geburt war auch schwer genug..
Vielen Dank für eure Hilfe, ich wäre sonst grandios gescheitert und ich hab auch eine Menge gelernt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie mach ich das denn jetzt mit der Summe und zeig, dass das =e ist?

23.10.2011, 12:36

Wetal

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bin mir da selber noch nicht 100% sicher. ich würde das so anfangen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n a_{n,k} = \sum_{k=0}^\infty \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n,k} \end{eqnarray*}$

vllt kann jemand anders was dazu sagen. der rest wäre ja das, was du bereits gesagt hast, wobei

$\begin{eqnarray*} a_{n,k} = { n \choose k} \frac{1}{n^k} \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 15:41

zuccini

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Kann ich das nicht auch ganz einfach als
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
ausdrücken?

Wenn ich das richtig versteh, ist doch
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^n { n \choose k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^\infty \lim_{n \rightarrow \infty}{ n \choose k} \frac{1}{n^k} = \sum_{k=0}^\infty \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$
und weil letzteres unabhängig von n ist, kann ich doch dann sagen:
$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich nur noch das k=0 unter der Summe durch k ersetzen, wie mach ich das denn?
Ansonsten ist der Beweis ja erbracht, wenn meine Argumentation wahr ist.

23.10.2011, 15:55

Wetal

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ja so würde ich das machen. nun musst du aber wissen, dass die schreibweise mit "k"

$\begin{eqnarray*} \sum_k^\infty \frac{1}{k!} \end{eqnarray*}$

zunächst wenig sinn macht. man will doch wissen wo die summe anfängt. das ist wie beim integral, wenn du ihm die untere grenze weglässt. daher ist hier die einzig sinnvolle schreibweise

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} =e \end{eqnarray*}$

schließlich ist z.b. $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!} =e -1 \end{eqnarray*}$

23.10.2011, 16:51

zuccini

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Ja, das hat mich auch schon verwirrt, denn das undefinierte k steht ja auch in der Aufgabenstellung so.
Ich gehe mal einfach davon aus, dass sich da jemand vertippt hat smile

smile

Vielen, vielen Dank für deine Unterstützung und Geduld, das hat mir wirklich sehr geholfen! Big Laugh

Big Laugh

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