HNF und anderes

03.01.2007, 22:09

kiwi015

HNF und anderes

Hallo!
Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen:

Wie lauten die Gleichungen derjenigen beiden Geraden, die durch den Punkt A(-2/4) gehen und vom Nullpunkt den Abstand p=2 haben?

(ich finde leider keinen Normalenvektor, mit dem ich die Gleichungen dann bestimmen könnte)

03.01.2007, 22:17

cleverclogs

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Da A nur zwei Koordinaten hat, geht man von 2 Dimensionen aus. HNF ist aber für eine Ebene, welches 3 Dimensionen benötigt. Wo liegt der Fehler? In A oder das Thema?

03.01.2007, 23:07

riwe

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in R2 HNF der GERADEN:
ax + by + c = 0
mit a² + b² = 1

c = + 2 bzw. c = - 2

- 2a + 4b - 2 = 0
a = 2b - 1
$\begin{eqnarray*} b(5b \pm 4) = 0 \end{eqnarray*}$
daraus kann man $\begin{eqnarray*} b_{1,2} \end{eqnarray*}$ berechnen.
zur kontrolle:
$\begin{eqnarray*} g_1: x = -2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g_2: 3x + 4y = 10 \end{eqnarray*}$
werner

03.01.2007, 23:15

cleverclogs

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RE: HNF und anderes
@ wernerin

Dankesehr! Ich habe inzwischen WIkipedia gelesen (teilweise Big Laugh

). Ich wusste bislang nichts über R2 HNF!

03.01.2007, 23:21

Leopold

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Zitat:

Original von wernerrin
5b² -4b -1 = 0

03.01.2007, 23:41

riwe

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Zitat:

Original von Leopold

Zitat:

Original von wernerrin
5b² -4b -1 = 0

danke leopold,
habe es schon bemerkt und korrigiert, war ein tippfehler.

anmerkung:
$\begin{eqnarray*} g: ax + by + c = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} HNF: \frac{ax+by+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=0 \end{eqnarray*}$

04.01.2007, 17:20

kiwi015

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Ok, danke, soweit hab ichs verstanden. Nur noch eine Kleinigkeit:
Wie komm ich darauf, dass a²+b²=1 ist ?

04.01.2007, 18:21

riwe

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das ist der eigentliche trick bei diesen aufgaben, damit vermeidest du die quälerei mit der wurzel im nenner, du rechnest also mit einem einheitsvektor !
(du kannst ansonsten eine größe frei wählen, soferne sie <> 0, was hier bei b = 0 problematisch wäre, usw..., es kommt ja nur auf die richtung (bzw. die steigung der geraden) nicht auf den betrag des vektors an)
werner

04.01.2007, 18:22

f(x)

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Das liegt daran, dass die Länge des Normalenvektoren der Geraden 1 sein muss, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2}=1 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Ups, ich war zu spät!

05.01.2007, 01:19

riwe

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Zitat:

Original von f(x)
Das liegt daran, dass die Länge des Normalenvektoren der Geraden 1 sein muss, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2}=1 \end{eqnarray*}$ .

Edit: Ups, ich war zu spät!

nur der ordnung halber:
das MUSS nicht sein, aber man kann sie so wählen.

werner

05.01.2007, 18:37

f(x)

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Ja, aber wir sind ja davon ausgegangen, dass die Gerade in der Form $\begin{eqnarray*} g:~ ax+by +c=0 \end{eqnarray*}$ vorliegt und das dies auch die Hesse'sche Normalenform sein soll.
Und dann gilt immer: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2}=1 \end{eqnarray*}$ .

05.01.2007, 18:46

riwe

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Zitat:

Original von f(x)
Ja, aber wir sind ja davon ausgegangen, dass die Gerade in der Form $\begin{eqnarray*} g:~ ax+by +c=0 \end{eqnarray*}$ vorliegt und das dies auch die Hesse'sche Normalenform sein soll.
Und dann gilt immer: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2+b^2}=1 \end{eqnarray*}$ .

nein, das ist FALSCH!

siehe obige geradengleichung
g: 3x + 4y + simsalabim = 0
HNF: $\begin{eqnarray*} \frac{3x+4y+simsalabim}{\sqrt{9+16}}=0 \end{eqnarray*}$
also $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2}+b^{2}}=5 \end{eqnarray*}$ unglücklich

sonst wäre der abstand O(0/0) von g NICHT d = 2 für simsalabim = 10.
werner

05.01.2007, 22:24

f(x)

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Na gut, dann bist du eben nicht davon ausgegangen, ich aber schon. Ich dachte, wir hätten den gleichen Rechenweg. Das sah für mich so aus.

Ich hatte somit drei Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} I:\hspace{ 30 pt}-2a+4b+c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} II:\hspace{23 pt}\sqrt{a^2+b^2}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} III:\hspace{19 pt}\mid a\cdot 0+b\cdot 0+c \mid=2 \hspace{22 pt} \rightarrow\hspace{22 pt }c=\pm 2 \end{eqnarray*}$

Somit kam ich auf die beiden Geraden:

$\begin{eqnarray*} g_1:~x+2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g_2:~\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}y-2=0 \end{eqnarray*}$

Somit erhalten wir als Lösung die beiden selben Geraden.
Ich dachte, du hättest sie anschließend nur noch vereinfacht aufgeschrieben, so dass sie ERST DANN nicht mehr in der Hesse'schen Normalenform vorliegen.

Hattest du denn nicht auch als Bedingung $\begin{eqnarray*} a^2+b^2=1 \end{eqnarray*}$ ?

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