Äquivalenzrelation

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Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation
Meine Frage:
Ist die folgende Relation eine Äquivalenzrelation ? Begründen Sie Ihre Antwort.




Meine Ideen:
Äquivalenzrelation bedeutet ja die Relation ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Also würde ich zuerst auf Reflexivität überprüfen:
Mein Ergebnis dabei ist, dass R reflexiv ist, denn für alle x Element N^2 gilt ja x+x = x+x, also 2x=2x.
Soweit so gut.. Aber wie überprüf ich jetzt z.b. die Symmetrie ?
Es muss ja gelten: Für alle x,y Element N^2 muss (x,y) Element R und (y,x) Element R sein. Aber wie überträgt man das jetzt auf a,b,c,d ??
Kann man jetzt einfach z.B. sagen a=d=x und b=c=y und somit y+y=x+x.. Also 2y=2x, hätte man damit die Symmetrie schon widerlegt ??
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Begründung für die Reflexivität ist falsch.
Richtig ist , also ist für alle .
Daher ist R reflexiv.
 
 
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Danke Augenzwinkern
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Und bei der Symmetrie ?
Muss ich jetzt schauen, ob (b,a) Element R ?
Dann hätte ich ja: a+d=b+c
b+d=a+c
Dann müsste ja a+d=a+c sein und b+d=b+c. Also d=c ?
Das verwirrt mich gerade alles ein bisschen -.-
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Da hast du einen Fehler gemacht.

Überlege dir mal...

Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis !
D.h. also ((c,d),(a,b)) c+b=d+a und das ist aufgrund der Kommutativität das selbe wie b+c=a+d, was bedeuten würde, dass R symmetrisch ist, richtig ?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau das ! Freude
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke ! Dann muss ich nur noch das mit der Transitivität auf die Kette bekommen ^^
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieder ein Problem.. Transitivität: Für alle x,y,z Element X: (x,y) Element R => (x,z) Element R und (y,z) Element R. Wie wähle ich in diesem Fall denn mein z ? Ich habe ja a,b,c,d und die Paare (a,b) und (c,d) sind in R enthalten..
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Definition kenne ich aber anders.
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Mir wurde es so beigebracht.. hmm.
Wie kennst du sie denn ??
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Guckst du hier (hättest du auch selber finden können).
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Werd ich noch nicht ganz schlau draus. Kannst du mir zumindest mal sagen, ob diese Relation transitiv ist ? Im Moment hab ich nämlich keinen Schimmer, wie ich das darauf anwenden muss.. Aber vielleicht hilfts mir, wenn ich es zumindest schonmal weiß. Die Begründung muss ich mir dann halt selber irgendwie noch zusammenreimen..
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Was verstehst du daran nicht?
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Es muss also gelten :

Die Menge X wäre ja in meinem Fall . Es muss also für alle möglichen in vorkommenden Elemente die obere Def. gelten.. Nur so zu meinem Verständnis.. Aber wie mach ich das denn hier ? Ich kann mit dem x,y,z irgendwie nichts anfangen. Das verwirrt mich gerade.. Wie testet man hier, dass das für alle gilt ?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann definieren wir:



Überlege dir nun
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, so ist das gemeint... Sry, mir fehlte echt der Durchblick son bisschen
a+d= b+c
c+f = d+e
a+f = b+e

mit (c,d)=(2,7),(e,f)=(3,4) Also 2+4=6 ungleich 7+3=10
Also wäre die Transitivität doch widerlegt, oder ?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Du müsstest 3 Elemente angeben, um die Transitivität zu widerlegen.

Forme die erste Gleichung nach a um, die 2. nach f.
Addiere dann beide.
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

a+d=b+c -d
a=b+c-d
und
f=d+e-c
Also: a+f=b+c-d+d+e-c=b+e
d.h. ich muss das gleiche für d und c noch machen und fertig ??
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Da bekomme ich auch raus d+e=c+f..
Also is das Ding transitiv und insgesamt eine Äquivalenzrelation ?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Denke an folgenden Hinweis von mir:

Zitat:
Original von Pascal95
[...]

Überlege dir nun
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Also muss ichs für a+d=b+c auch noch checken, stimmts ?
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist auch erfüllt. Also da müsste ich jetzt völlig aufm Schlauch stehen, wenn das jetzt nicht transitiv ist Big Laugh
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst hier gar nichts mehr überprüfen.

Daher wollte ich, dass du die Pünktchen durch Passendes ersetzt.

Dann wird auch klar, warum wir fertig sind.
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh.... Stimmt. Aber, wenn ich es jetzt so gemacht habe ist es auch nicht verkehrt, nur umständlicher, oder ??
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Lehrer wird das aber nicht freuen, wenn du sagst, dass man noch überprüfen muss blablabla, sodass das stimmt Big Laugh

Vervollständige doch mal


Die ersten beiden Zeilen sind die Prämissen.

Zu zeigen ist, dass dann die letzte folgt.

Wenn wir nur links vom Äquivalenzpfeil gucken, sehen wir, dass sich Transitivität ergibt.

Wenn wir aber rechts gucken (ersetze erstmal die Punkte durch das, was nun gilt......)
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ja a=b+c-d
und f=d+e-c
also wäre die zweite zeile doch dann c+d+e-c=d+e
und die dritte: b+c-d+d+e-c=b+e
so, oder ?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Eigentlich meinte ich nur


Vielleicht hat es dich verwirrt, weil wir das schon geschrieben haben.

Wir haben die ersten beiden Zeilen vorausgesetzt und die rechte Seite der dritten Zeile gefolgert, also auch die linke Seite der dritten Zeile Augenzwinkern

Du hast schon alles geschrieben, wir sind also wirklich fertig.
Zitat:

Anmerkung: Wir nutzen die erste Zeile aus.
a+d=b+c |-d
a=b+c-d
und
Anmerkung: Wir nutzen die zweite Zeile aus. (c+f=d+e |-c)
f=d+e-c
Also: a+f=b+c-d+d+e-c=b+e
Anmerkung: Wir haben die dritte Zeile gefolgert.


smile
Spitzname333 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genauso meinte ich das ja gerade ^^..
Na dann vielen Dank ! smile
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, alles klar Wink
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