Nullzeile beim Gauß-Algorithmus

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Suse_ratlos Auf diesen Beitrag antworten »
Nullzeile beim Gauß-Algorithmus
Meine Frage:
Hallo,

ich muss mehrere LGS mit dem Gauß lösen und bin bei einem irritiert.
Mir sind VIER Gleichungen gegeben und nur DREI Variablen gesucht.

Beim Anwenden des Gauss erhalte ich dann (letzter Schritt)
I. x+y+z=2
II. 3y+z=1
III. -10y-2z=-2
IV. 3y+z=1




Meine Ideen:
Beim Anwenden des Gauss erhalte ich dann (letzter Schritt)
Naja, II und IV ist ja quasi dasselbe. Also erhalte ich zwei Nullzeilen.
Und nun? Plötzlich habe ich nur noch ZWEI Gleichungen und ? Unbekannte.

Meine Idee:
x+y+z=1
-10y-2z=-2

Nun setze ich z=s (Wahl eines Parameters) und löse auf. Dann erhalte ich:
x=1,8-0,8s
y=0,2-0,2s

Ist damit die Lsg. des LGS folgende Menge:
(x,y,z)^T=(1.8, 0.2, 0)^T + s (-0.8, -0.2, 1)?°

Oder geht man anders vor?
Ist das auch wirklich die koimplette Lösungsmenge (inhomogen und homogen)?!

LG, Suse
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Weil die Gleichungen II und IV identisch sind, kannst du einfach eine davon streichen (weglassen). Es bleiben drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Dieses System ist in der Folge sehr leicht und auch eindeutig zu lösen.

mY+
Suse_Gast Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

achso, also ersetze ich nicht wie angegeben d=s; wähle also einen freien Parameter, sondern führe den Algorithmus wie gewohnt durch und ignorier quasi einfach die eine Nullzeile.

Das kann ich (in diesem Fall) so machen, weil ich dann drei Gleichungen und drei Unbekannte habe (?).


Lg, Suse
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

das Prinzip hat mit der Anzahl der Variablen nichts zu tun.

Nullzeilen enthalten keine Information. Du kannst Sie schreiben oder auch nicht.

Du hast nun 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten.
Wenn du weiter den Algorithmus zuende ausführst, kann es durchaus möglich sein, dass nochmal eine Nullzeile auftritt. ( wie im Beispiel )
Dann ist eine Variable (Unbekannte ) frei wählbar, aber nicht konkret.
Aus Gewohnheit nimmt man dann die, die am häufigsten vorkommt.
Meistens ist das z . Damit in der Lösungsmenge nicht plötzlich die ursprünglich Unbekannte als Parameter enthält ( könnte missverständlich sein ! ) benennt man um:

z.B. z=s

so wie korrekt von dir gerechnet.
Das ist die Lösung des inhomogenen Systems.
Die Lösung des homogenen Systems ist der Teil mit dem Parameter, auch dann, wenn das Inhomogene keine Lösung haben sollte!
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
...
Wenn du weiter den Algorithmus zuende ausführst, kann es durchaus möglich sein, dass nochmal eine Nullzeile auftritt. ( wie im Beispiel )
...

Nein, das passiert hier nicht mehr.
Das System

I. x+y+z=2
II. 3y+z=1
III. -10y-2z=-2

hat eine eindeutige Lösung [(1; 0; 1)].

mY+
Suse_Gast Auf diesen Beitrag antworten »

danke für die antwort.

allerdings verstehe ich noch nicht ganz, warum ich nicht "beide" zeilen streiche?! Kann ja, wenn ich sie gegeneinander addiere/subtrahiere doch quasi zwei nullzeilen erzeugen oder?

lg, suse
 
 
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
Wenn du weiter den Algorithmus zuende ausführst, kann es durchaus möglich sein, dass nochmal eine Nullzeile auftritt. ( wie im Beispiel )


das war etwas missverständlich: Ich meinte, dass im Beispiel eine Nullzeile aufgetreten ist, und dass das durchaus nochmals theoretisch möglich sein könnte, nicht aber im konkreten Fall.

---------------------------------

nun eine Zeile ist eine Information über die Variablen. Schreibt man diese nochmals, dann ist das überflüssig ( redundant ). Kann also weggelassen werden. Eine Zeile sollte aber übrigbleiben, sonst ginge die Information verloren.

Das ist wie wenn ich meine Meinung:
"Hannes ist doof" 2 mal an die Tafel schreiben würde. Augenzwinkern

In dem Algorithmus heisst es sinngemäss unter Anderem:
... man darf/kann ( die Kopie ) einer Zeile auf eine andere Zeile addieren.

Demnach bleibt die Originalzeile unverändert.
Suse_Gast Auf diesen Beitrag antworten »
Danke
Mensch, vielen Dank!
Das Bsp. mit Hannes war echt toll... jetzt ist es mir klar Augenzwinkern

Nur noch eine Frage: Das gegebene LGS war inhomogen. Muss man (wenn es die Aufgabenstellung NICHT explizit verlangt) das dazugehörige homogene LGS auch immer lösen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

bei der Überführung der Matrix in die Stufenform löst man das homogene System automatisch mit.
Auch wenn das Inhomogene unlösbar sein sollte ( wann ? ), dann kannst du immer noch die Absolutspalte mit Nullen ersetzen und somit das Homogene lösen , welches immer lösbar ist, da es immer die triviale Lösung - nämlich alle Variablen = Null - gibt.
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