Untervektorraum

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IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum
So, mittlerweile bin ich vollkommen verwirrt!
Ich arbeite ja an einer Schule und mein Chef hat mir jetzt netterweise gesagt, dass ich nen Mathe LK besuchen darf um meine Mathekenntnisse fürs Studium aufzufrischen.
Ich versteh aber nur noch Bahnhof.

Wurd jetzt mitten in die Vektorrechnung reingeschmissen und gerade sind wir beim Untervektorraum.

Folgende Aufgabe:
[latex]U=\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}|5x_1-7x3+35=0\} [/latex] (Sorry, die geweifften Klammern will er irgendwie nicht machen Augenzwinkern )

Ich hab absolut keine Ahnung wie ich da ran gehen soll!
Kann mir jmd helfen, so das ich das auch verstehe? unglücklich

Edit (Cel): Geschweifte Klammern benötigen einen Backslash: \{ \}, weil {} für die LaTeX-Syntax genutzt werden. Entsprechend korrigiert.
Seppel09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
Wie lautet denn die Defintion eines Untervektorraums.

Schreib sie einfach mal hin.

Ist denn U ungleich der leeren Menge?

Ist U abgeschlossen bezüglich Skalarmultiplikation und Addition?
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

@Seppeol09, bitte produziere keine Dreifachposts innerhalb von 5 Minuten! Nimm dir genügend Zeit deinen Beitrag gut durchdacht zu schreiben oder editiere diesen wenn es nicht anders geht. Ich habe diese jetzt alle zusammengefasst.
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
Zitat:
Original von Seppel09
Wie lautet denn die Defintion eines Untervektorraums.

Schreib sie einfach mal hin.


Also im Lambach Schweizer find ich dazu nicht so wirklich was, unser Lehrer hat uns ein Blatt kopiert, da steh aber auch keine Definition.
Im Internet hab ich folgendes gefunden:

[latex]U \neq  {}[/latex] Also U ungleich leere Menge
Dann abgeschlossenheit (Das hab ich zwar schon mal gehört, ich weiß aber nicht was das genau bedeutet :boesesmile
Und Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation.

Das hat vermutlich was mit einmal Abgeschlossenheit der Addition der Elemente und mit Multiplikation der Elemente zu tun?
Seppel09 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
Der erste Punkt dürfte klar sein.

Wenn du die Abgeschlossenheit bzgl. Addition zeigen sollst, dann zeigst du dass:


x+y wieder in U liegen (x, y sind in diesem Fall Vektorn aus U)



Abgeschlossenheit bzgl. Skalarmultiplikation geht so:


t*x liegt wieder in U , wobei t eine Konstante aus den reellen Zahlen ist und x wieder ein Vektor aus U.
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
hallo icecube,
was ist denn eigentlich deine aufgabe ? Vermutlich sollst du beschreiben,
mit welchen vektoren man deinen unterraum erzeugen kann.
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
Zitat:
Original von ollie3
hallo icecube,
was ist denn eigentlich deine aufgabe ? Vermutlich sollst du beschreiben,
mit welchen vektoren man deinen unterraum erzeugen kann.


Untersuchen Sie, ob die Menge U einen Untervektorraum des V_3 bildet. Geben Sie gegebenenfalls eine geometrische Interpretation dieses Sachverhaltes.

Zitat:
Original von Seppel09
Wenn du die Abgeschlossenheit bzgl. Addition zeigen sollst, dann zeigst du dass:
x+y wieder in U liegen (x, y sind in diesem Fall Vektorn aus U)


Äm... ja ok, also zwei Vektoren aus U ergeben addiert wieder einen Vektor der in U liegt. Aaaaber ich hab ja nur die x_1, x_2, x_3. Mir fällt das irgendwie total schwer, weil ich ja keine Zahlen hab. Und wie ist U denn definiert?
Ich versteh echt nur noch Bahnhof unglücklich


Mir ist das ja schon mit dem ungleich 0 total unklar böse

Da ist oben noch ne einfachere Aufgabe:

[latex]U=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \neq | x_1=1[/latex]
Da würd ich jetzt sagen, dass das nicht = 0 sein kann, weil x_1 ja schon 1 ist und egal plus was ich das nehme, das wäre dann immer mehr als 0.
Aber mit ner negativen Zahl ginge das natürlich nicht... Hammer
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
hallo icecube,
das ist ja der springende punkt. Du kannst die x1,x2 und x3 ja nicht ganz frei
wählen, sondern sie müssen immer der gleichung 5x1-7x3+35=0 gehorchen.
Daraus kannst du schlüsse ziehen, du könntest die gleichung auch nach x1 auflösen und gucken, wie man jeden vektor von diesem raum darstellen kann.
qed Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Täusche ich mich oder scheiteret es beim ursprünglichen Beispiel schon am [latex]0 \in U[/latex]?
Meine Vermutung wäre [latex]5.0 + 7.0 +35 = 35 \neq 0[/latex].
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
Zitat:
Original von ollie3
hallo icecube,
das ist ja der springende punkt. Du kannst die x1,x2 und x3 ja nicht ganz frei
wählen, sondern sie müssen immer der gleichung 5x1-7x3+35=0 gehorchen.
Daraus kannst du schlüsse ziehen, du könntest die gleichung auch nach x1 auflösen und gucken, wie man jeden vektor von diesem raum darstellen kann.


Ich krieg ja nicht mal die Gleichung aufgelöst, falls ich das hier tun soll?
Außerdem hab ich doch in der Gleichung nur x_1 und _3?
Was ist also mit x_2?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
hallo icecube,
das x2 kann man frei wählen. Das ist ja der sinn der sache, dass du viele freiheitsgrade hast.
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
Zitat:
Original von ollie3
hallo icecube,
das x2 kann man frei wählen. Das ist ja der sinn der sache, dass du viele freiheitsgrade hast.


Also das darf ich komplett frei wählen?
Und wie löse ich die Gleichung auf, dass ich x_1 und x_2 hab? Weil das ist ja jetzt nicht sowas mit x^2 und so, sondern eigentlich mit ganz anderen werten? Also ich könne doch praktisch x_1 als x schreiben und x_2 als y, oder?
Oder darf ich mir da dann auch "Werte aussuchen"?
Weil ich ja für jedes x ein anderes y habe?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
hallo icecube,
ja, du kannst dir im grunde x1 und x2 frei wählen, nur das x3 muss der besgten
gleichung gehorchen und ist nicht mehr frei wählbar, Daraus kannst du schliessen,
wieviel dimensionen der unterraum haben muss.
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von qed
Hallo!

Täusche ich mich oder scheiteret es beim ursprünglichen Beispiel schon am [latex]0 \in U[/latex]?
[...]


Dein Einwand ist völlig richtig. Dann brauch man auch nicht mehr die Abgeschlossenheit prüfen, da der Nullvektor zwingend enthalten sein muss damit U ein UVR ist.

Ich vermute IzeCube hat in der Mengenangabe etwas vergessen hinzuschreiben.

Gruß
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, also das ist die komplette Aufgabe so wie ich sie vorliegen habe.

Wenn ich dann jetzt zum Beispiel sage mein x_1 ist 2, dann ist mein x_3 [latex]6 3/7[/latex]. Und mein x_2 darf ich ja frei wählen. Also sag ich jetzt mal das ist 0.

Meine erste Bedingung ist ja jetzt U ungleich { }.
Was bedeutet denn leere Menge eigentlich? Das die x Werte nicht alle 0 sein dürfen? Weil dann kann ja keine leere Menge da sein, weil meine x werte ja irgendeinen Wert haben müssen, damit 0 raus kommt (wegen dem +35 in der Gleichung).
Oder?

Wäre dann die Bedingung erfüllt? Und wenn das so richtig ist, wie schreib ich das Mathematisch auf?

Meine 2. Bedingung ist ja die abgeschlossenheit, das heißt, dass die Summe zweier Vektoren wieder ein Vektor ist. Da bestimme ich dann einfach nur ein zweites paar x Werte, als o zum Bsp. x_1=5; x_3=[latex]8 4/7[/latex] und x_2=4.
Und addiere die dann ganz normal?

[latex]\begin{pmatrix} 2+5 \\ 0+4 \\ 6 (3/7)+8 (4/7) \end{pmatrix} [/latex] = [latex]\begin{pmatrix} 7 \\ 4 \\ 15 \end{pmatrix} [/latex]

Und dann setz ich das in der Formel ein:

[latex]5*7-7*4+35=0[/latex]
[latex]42\neq 0[/latex]

Also nicht abgeschlossen?

Ist das richtig, oder bin ich ein hoffnungsloser Fall? Hammer
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
Zitat:
Original von IzeCube
Folgende Aufgabe:
[latex]U=\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}|5x_1-7x3+35=0\} [/latex]

Bitte lies dir diese Angabe nochmal genau durch. Ist das alles haargenau richtig, insbesondere, daß bei der 35 keine Variable steht? Wenn ja, dann ist das kein Untervektorraum, weil schon der Nullvektor nicht in U enthalten ist.
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, hab jetzt gerade gelesen, dass die leere Menge nicht 0 ist, sondern eben leer.
Das versteh ich aber nicht so ganz?

Ich hab jetzt gelesen, dass das ist wenn zwei Mengen kein gemeinsames Element besitzen, also wenn die eine Menge z.B. ungerade und die andere Menge gerade ist. Dann haben die ja kein gemeinsames Element und sind disjunkt zueinander.
Und deswegen ist das ne leere Menge.

Aber wie wende ich das bitte auf mein Bsp. dann an? unglücklich
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untervektorraum
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von IzeCube
Folgende Aufgabe:
[latex]U=\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}|5x_1-7x3+35=0\} [/latex]

Bitte lies dir diese Angabe nochmal genau durch. Ist das alles haargenau richtig, insbesondere, daß bei der 35 keine Variable steht? Wenn ja, dann ist das kein Untervektorraum, weil schon der Nullvektor nicht in U enthalten ist.


Ja, ist definitiv 100% genau so richtig die Aufgabe ^^ Ich soll ja auch untersuchen ob die Menge einen Untervektorraum des V_3 bildet.
Also kann es ja gut sein, dass sie das eben nicht tut.
LoBi Auf diesen Beitrag antworten »

Sicher das es nicht so aussieht?
[latex]U=\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}|5x_1-7x_3+35x_2=0\} [/latex]

Ansonten gilt:
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von IzeCube
Folgende Aufgabe:
[latex]U=\{\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}|5x_1-7x3+35=0\} [/latex]

Bitte lies dir diese Angabe nochmal genau durch. Ist das alles haargenau richtig, insbesondere, daß bei der 35 keine Variable steht? Wenn ja, dann ist das kein Untervektorraum, weil schon der Nullvektor nicht in U enthalten ist.
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, definitiv nicht.
Ich bin ja nicht blöd, Zahlen kann ich gerade so noch lesen (auch wenns beim Rest gerade happert Big Laugh )

Können wir es jetzt nicht einfach mal mit den Zahlen probieren??
Ich werd nämlich gleich noch bekloppt wenn ich nicht bald rausfinde wie ich das mit der leeren Menge mache!

Hängt sich das mit der leeren Menge vielleicht generell am gerade bzw. ungeraden auf?
Also wenn ich jetzt für die x Werte 2 6 3/7 0 habe, dann haben die ja kein gemeinsames Element, oder? Weil 2 gerade ist; 6 3/7 ist ungerade und 0 ist gar nix?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo icecube,
ich muss mich ein bischen bei dir entschuldigen, es war nicht alles richtig, was
ich dir gesagt habe, es handelt sich um keinen unterraum von R3, weil der nullpunkt (0,0,0) sich nicht in U befindet. Das darfst du aber nicht mit der leeren
menge verwechseln.
IzeCube Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ollie3
hallo icecube,
ich muss mich ein bischen bei dir entschuldigen, es war nicht alles richtig, was
ich dir gesagt habe, es handelt sich um keinen unterraum von R3, weil der nullpunkt (0,0,0) sich nicht in U befindet. Das darfst du aber nicht mit der leeren
menge verwechseln.


Und das ist so, weil wenn ich 0 einsetze für die x Werte in die Gleichung da nicht 0 rauskommt? Richtig?

Und was ist jetzt mit meinem U ungleich leere Menge? Stimmt das was ich da geschrieben hab?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo icecube,
das ist so, weil wenn man die koordinaten vom nullpunkt in die gleichung
5x1-7x3+35=0 eingibt, die gleichung nicht stimmt.
Und U ist trotzdem natürlich nicht gleich leere menge, sondern ein 2dimensionale
ebene im R3, aber trotzdem kein unterraum von R3.
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