Abbildungen

24.10.2011, 20:54

Spitzname333

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Abbildungen

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} h\in Z/7Z \end{eqnarray*}$ fest gewählt. Zeigen Sie, dass die Abbildung $\begin{eqnarray*} T_{h}: Z/7Z ->Z/7Z \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} g -> h \oplus g \end{eqnarray*}$ bijektiv ist. Geben sie die Umkehrabbildung an. (Anm.: Z: Menge der ganzen Zahlen und -> soll einen pfeil darstellen, kenn mich mit dem Formeleditor nicht so gut aus.)

Meine Ideen:
bijektiv heißt ja die Abb. ist injektiv und surjektiv. Aber wie zeig ich das denn hier ??

24.10.2011, 20:57

galoisseinbruder

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Was ist denn $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ hier?
Zur Frage: wie sonst auch. Urbild angeben bzw. zeigen dass aus der Gleichhheit der Bilder Gleichheit der Urbilder folgt.
Ist das Problem hier wie $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ aussieht?

24.10.2011, 21:12

Spitzname333

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Z/7Z ist doch die Menge aller a mod 7, oder ?
Wie gibt man denn z.b. das Urbild an und wie zeigt man das mit der Gleichheit ?
das mit dem a mod 7 verwirrt mich hier auch ein bisschen.. Ich habe noch zwei ähnliche Aufg. zu machen und muss die morgen abgeben. Ich denke wenn ich die hier verstanden habe. Dann sind die andern kein Problem mehr. Aber ich komm ins Thema Abbildungen auch nicht so richtig rein.. Ich versteh im Prinzip was gemeint ist. Aber das Umsetzen ist irgendwie das Problem..

24.10.2011, 21:13

Spitzname333

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ahja und das bedeutet nur +.. das schreibt man ja so bei kongruenzen.

24.10.2011, 21:16

galoisseinbruder

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Schreib doch mal $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ als Menge auf.
Und dann vielleicht noch wie die Addition hier funktioniert. Dann sollte das mit dem Urbild u.ä. etwas klarer werden.
Und bei Kongruenzen schreib ich die Addition als +, wenn man damit beginnt ist es aber wohl eine gute Idee dafür eine andere Notation zu wählen.

24.10.2011, 21:24

Spitzname333

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kann man das dann so schreiben ? $\begin{eqnarray*} g=\left[a\right]_{7} h\oplus g=\left[a\right]_{7} \oplus\left[a\right]_{7} = \left[2a\right]_{7} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} Z/7Z=\left\{ \left[1\right]_{7} ,\left[2\right]_{7} ,\left[3\right]_{7} ,\left[4\right]_{7} ,\left[5\right]_{7} ,\left[6\right]_{7} \right\} \end{eqnarray*}$

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24.10.2011, 21:26

galoisseinbruder

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Du hast ein wesentliches Element vergessen die 0. (ich bin so dreist es ohne die Klammern für die Äquivalenzklassen zu schreiben.)
Was ist z.B. 3+5 , 1+6, 4+3

24.10.2011, 21:31

Spitzname333

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stimmt.. die 0 fehlt ganz normal 8, 7 und 7.. Gelten ja die selben Rechenregeln wie auf Z, oder nicht ? Und wie mach ich dann weiter ?

24.10.2011, 21:32

galoisseinbruder

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$\begin{eqnarray*} Z/7Z=\left\{\left[0\right]_{7} \left[1\right]_{7} ,\left[2\right]_{7} ,\left[3\right]_{7} ,\left[4\right]_{7} ,\left[5\right]_{7} ,\left[6\right]_{7} \right\} \end{eqnarray*}$
Da ist kein 7 oder 8 drin. In welche Äquivalenzklasse gehören 7 bzw. 8

24.10.2011, 21:39

Spitzname333

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Ja, aber man soll die Kongruenzen doch addieren ? Oder ich hab da grad nen dicken Verständnisfehler..
7 und 8 wären z.b. bei modulo 9 dabei, oder ?

24.10.2011, 21:47

galoisseinbruder

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Ja da hast Du einen Verständnisfehler. Zwei Zahlen sind äquivalent modulo 7 (also in der selben Aquivalenzklasse) wenn ihre Differenz durch 7 teilbar ist.
$\begin{eqnarray*} n \equiv m \mod 7 \Leftrightarrow 7|n-m \end{eqnarray*}$ .
Also hier $\begin{eqnarray*} 8 \equiv 1 \mod 7 \end{eqnarray*}$ . Genauso kann man auch sagen das eine Zahl n in der Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} [k]_7 \end{eqnarray*}$ liegt falls k der Rest der Division n durch 7 ist.
Damit ist dann auch $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, \oplus \right) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe was uns beim Beweis der Bijektivität von $\begin{eqnarray*} T_h \end{eqnarray*}$ hilft.

24.10.2011, 22:48

Spitzname333

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Gruppen sagen mir was. Diese hat doch z.b. die Eigenschaft der Kommutativität: a+b=b+a, oder ?
Hilft mir das vllt bei der Injektivität dann weiter ?

24.10.2011, 22:53

galoisseinbruder

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1. $\begin{eqnarray*} \left(\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}, \oplus \right) \end{eqnarray*}$ ist eine kommutative Gruppe, wurde mit ziemlicher Sicherheit in der Vorlesung bewiesen (oder auf nem Übungsblatt)
2.Ja, das habe ich bereits geschrieben.

24.10.2011, 22:58

Spitzname333

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Nein.. Es wurde nur davon gesprochen, dass es eine Gruppe ist. Aber kommutative Gruppe leuchtet auch ein. D.h. also wenn ich für g nach g+h g als a und h als b z.b. definiere. dann bekomme ich ja immer den selben zielwert heraus.. da a+b=b+a gilt.. f(g)=f(h) und somit g=h muss doch für die injektivität gelten, oder ?

24.10.2011, 23:00

Spitzname333

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oh, sry.. f(Z/7Z)=Z/7Z.. so wars, oder ?

24.10.2011, 23:06

galoisseinbruder

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Das h ist fest. Wir müssen zeigen, dass für beliebige $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{Z}/7\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} f(a)=f(b) \Rightarrow a=b \end{eqnarray*}$
Also hier $\begin{eqnarray*} h \oplus a \equiv h \oplus b \Rightarrow a \equiv b \mod 7 \end{eqnarray*}$
Und wir brauchen gar nicht dass die Gruppe kommutativ ist.

P.S. Es gibt einen Edit-Button mit dem Du Deine Beiträge editieren kannst.

24.10.2011, 23:19

Spitzname333

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Achso.. Ich verstehe.. und das wars dann schon für die Injektivität ?

24.10.2011, 23:23

galoisseinbruder

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Naja, die Frage ist warum

Zitat:

$\begin{eqnarray*} h \oplus a \equiv h \oplus b \Rightarrow a \equiv b \mod 7 \end{eqnarray*}$

gilt. Und ja der Beweis der Injektivität hier ist kurz (ebenso für die Surjektion)

24.10.2011, 23:29

Spitzname333

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Ich blick grad irgendwie nicht ganz durch.. Tut mir leid.
wie übersetze ich denn jetzt die kongruenzen in gleichheiten, die ich ja benötige, um injektivität zu beweisen ? sry, weiß grad nicht wo mir der kopf steht..

24.10.2011, 23:32

galoisseinbruder

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Definition nachschlagen, hab´s heute auch schon mal geschrieben. Aber vielleicht wär´s auch ne gute Idee das für heute ruhen zu lassen. Ich beweg mich jetzt jedenfalls langsam Richtung bett.

25.10.2011, 10:24

Spitzname333

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Ich bin im Moment echt im Stress und ich muss die Aufgaben heute leider abgeben..
wenn a kongruent zu b modulo 7 ist, heißt das ja, dass a und b in der selben restklasse sind, oder ?
das ergibt sich ja daraus, dass h fest ist. Aber wie folgere ich daraus, dass f(a)=f(b), also a=b ?
Sry, mag sein, dass das eine dumme Frage ist. Aber ich hab den Durchblick bei der Sache irgendwie verloren..

25.10.2011, 10:34

Spitzname333

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Also: $\begin{eqnarray*} a\equiv b mod 7 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow 7| a-b \end{eqnarray*}$
Soweit erstmal richtig ?

25.10.2011, 17:23

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von galoisseinbruder

$\begin{eqnarray*} n \equiv m \mod 7 \Leftrightarrow 7|n-m \end{eqnarray*}$ .

Soweit schon mal erwähnt.

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