LGS Übungsaufgabe

24.10.2011, 21:24

martinio

LGS Übungsaufgabe

Hallo Community,

ich bin Student der Mathematik und habe dieses Jahr als Anfänger unteranderem den Kurs der Algebra I.

Heute wurden Übungsaufgaben ausgeteilt. Ich komme an einer stelle leider nicht weiter, vll. habt ihr ja eine Idee?

Aufgabe 1.2 Es seien A1;A2;B1;B2;C1;C2 elemte von R.
Zeige, dass
A1x1 + B1x2 = C1
A2x1 + B2x2 = C2

genau dann eine eindeutige Lösung hat, wenn A1B2 - A2B1 ungleich 0 gilt.

Mein Lösungansatz besteht darin, erstmal eine Koeffizentenmatrix herzustellen, sodass

A1 + B1 I C1

A2 + B2 I C2

entsteht. Im weiteren habe ich die Spalten vertauscht.
Zudem multipliziere ich die erste Zeile mit A2 und die zweite mit A1 und subtrahiere die zweite von der ersten.

(A2A1 - A1A2) + (B21 - A1A2) = (C2A1-A1A2)

aber irgentwie komme ich nicht weiter. hat jemand eine Idee??

Grüße,

ma

24.10.2011, 22:31

Leopold

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Bitte verwende LATEX, damit man deine Formeln auch lesen kann. Der Formeleditor hilft beim Einstieg.

Ansonsten ist deine Idee richtig, das Gleichungssystem auf Stufenform zu bringen. Dabei wird dann der fragliche Term von alleine entstehen. Und dann muß man eine Fallunterscheidung treffen, ob dieser Term 0 ist oder nicht. Denn davon hängt es ab, wie es in der Stufenform weitergeht.

24.10.2011, 22:38

Dopap

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RE: LGS Übungsaufgabe
auch für Erstsemester eine gnädige Übung. Der Prof. ist Humanist und will euch nicht gleich die Motivation nehmen Augenzwinkern

Zitat:

Original von martinio
A1x1 + B1x2 = C1
A2x1 + B2x2 = C2

Mein Lösungansatz besteht darin, erstmal eine Koeffizentenmatrix herzustellen, sodass

A1 + B1 I C1

A2 + B2 I C2

entsteht. Im weiteren habe ich die Spalten vertauscht.

kann ich nicht sehen ? Und was sollte das bringen?

Zitat:

Zudem multipliziere ich die erste Zeile mit A2 und die zweite mit A1 und subtrahiere die zweite von der ersten.

(A2A1 - A1A2) + (B21 - A1A2) = (C2A1-A1A2)

hier fehlen wieder die Variablen, da eine Gleichung.
zudem Falsch, und dann überlege mal, was ( welchen Wert )

$\begin{eqnarray*} (A_2A_1 - A_1A_2) \end{eqnarray*}$

sein ( haben ) könnte???

-----------------------------------------------

und beginne gleich mit LATEX, rechts unter Werkzeuge-Formeleditor

25.10.2011, 17:25

martinio

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RE: LGS Übungsaufgabe
Hallo,

ich muss mich für die unpräzise Ausdrucksweise von gestern entschuldigen. Ich werde in Zukunft versuchen mit dem Latex-Editor zuarbeiten.

Nun nochmal von vorne:

Meine Ausgangsgleichungen sind:

$\begin{eqnarray*} A_1x^1 + B_1x^2 = C_1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_2x^1 + B_2x^2 = C_2 \end{eqnarray*}$

Meine Idee besteht darin, eine Lösung mit dem Gaußsches Eliminationsverfahren zufinden.
Darum erstelle ich eine Koeffizentenmatrix und bringe diese anschließend in Zeilenstufenform.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe die richtige Notation im Latex-Editor gefunden zuhaben. Aus der Schule kenne ich die Koeffizentenmatrix stets als zwei große runde Klammern mit einem Strich dadurch, sodass auf der rechten Seite der "Lösungswert" und auf der linken die restlichen Koeffizenten stehen.

Im nächsten Schritt multipliziere ich die erste Zeile mit A2, die zweite mit A1 und subtrahiere diese voneinander.

Also steht dann in der zweiten Zeile:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} ( A_1A_2 - A_1A_2 ) & ( A_1B_2 - A_2B_1 ) & ( A_1C_2 - A_2C_1 ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & ( A_1B_2 - A_2B_1 ) & ( A_1C_2 - A_2C_1 ) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun gut, wir erhalten den Koeffizient, welcher sich aus der der Summe aus

$\begin{eqnarray*} ( A_1B_2 - A_2B_1 ) \end{eqnarray*}$ zusammensetzt. Zudem wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} ( A_1B_2 - A_2B_1 ) \neq 0 \end{eqnarray*}$ seien soll.

Unter bezugnahme von Leopolds Post:

"Und dann muß man eine Fallunterscheidung treffen, ob dieser Term 0 ist oder nicht. Denn davon hängt es ab, wie es in der Stufenform weitergeht. "

habe ich mich mal daran versucht und weiß nicht, ob das richtig ist:

1.Fall :
$\begin{eqnarray*} ( A_1B_2 - A_2B_1 ) = 0 \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} ( A_1C_2 - A_2C_1 ) = 0 \end{eqnarray*}$ folgen damit es eine wahre Aussage ergibt.

2.Fall:
$\begin{eqnarray*} ( A_1B_2 - A_2B_1 ) \neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann muss $\begin{eqnarray*} B_2 = C_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_1 = C_1 \end{eqnarray*}$ sein, da $\begin{eqnarray*} ( A_1B_2 - A_2B_1 ) = ( A_1C_2 - A_2C_1 ) \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Ist diese Schlussfolgerung richtig? Wenn ja, habe ich somit bewiesen , dass es wenn die Bedingung, dass $\begin{eqnarray*} ( A_1B_2 - A_2B_1 ) \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, eine eindeutige Lösung gibt?
Mit Zahlen habe ich das ganze ausprobiert und es würde stimmen.

Grüße

Martin

25.10.2011, 21:24

martinio

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RE: LGS Übungsaufgabe
fehler erneut gefunden, aufgabe gelöst.

+++++++++closed+++++++++

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