Abbildung: Injektiv, surjektiv oder bijektiv?

24.10.2011, 22:53

Spitzname XYZ

Abbildung: Injektiv, surjektiv oder bijektiv?

Meine Frage:
Hallo Leute,
gegeben sind folgende Informationen:
Die Abbildung f: P(N) \ {Leere Menge} -> N, die jeder nichtleeren Teilmenge von N ihr kleinstes Element zurodenet, wobei N = die Menge der natürlichen Zahlen ist.

Meine Ideen:
Meine Vermutung ist, dass die Funktion bijektiv ist.
P(N) = Potenzmenge von N = alle natürlichen Zahlen.
Somit bildet man N auf N ab. Daraus wäre zu folgern, die Funktion ist bijektiv.
Stimmt das so?

24.10.2011, 22:58

Iorek

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Bloß weil man $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ abbildet, ist die Abbildung doch nicht direkt bijektiv. geschockt

Wie lautet die Definition für die Bijektivität?

24.10.2011, 23:02

Math1986

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RE: Abbildung: Injektiv, surjektiv oder bijektiv?

Zitat:

P(N) = Potenzmenge von N = alle natürlichen Zahlen.

Ich glaube, dir ist nicht ganz klar, was die Potenzmenge ist und wie die Abbildung funktioniert.
Die Potenzmenge ist eben nicht die Menge aller natürlichen Zahlen, sondern die Menge der Teilmengen der natürlichen Zahlen (in diesem Fall wurde die leere Menge explizit aus dem Definitionsbereich ausgenommen).

Zitat:

P(N) = Potenzmenge von N = alle natürlichen Zahlen.

Selbst wenn eine Funktion von N nach N geht muss sie deswegen noch nicht gleich bijektiv sein. Ist dir klar, was In-/Sur-/Bijektivität bedeutet?

Mach dir mal für einige konkrete Mengen klar, worauf diese abgebildet werden.
Kannst du zu jedem Element der Zielmenge ein Urbild finden?
Werden 2 verschiedene Elemente des Definitionsbereiches wirklich auf verschiedene Elemente im Zielbereich abgebildet?
Wenn nein: Kannst du ein Gegenbeispiel angeben?

EDIT: Iorek, übernimm du Augenzwinkern

24.10.2011, 23:04

San_Gaku

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Injektiv = die Abbildung ist umkehrbar / jeder Wertemenge wird nur ein x-Wert zugeordnet

Surjektiv = die Wertemenge wird komplett abgebildet

Bijektiv = Wenn injektiv und surjektiv

24.10.2011, 23:08

Iorek

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Warum der Namenswechsel? Bitte entscheide dich für einen Namen und Account, der andere wird deaktiviert werden.

Das ist sind sehr schwammige Umschreibungen der Begriffe, wie lautet die mathematische Definition? Danach solltest du Math1986 Hinweis aufgreifen und dir noch einmal Gedanken zur Potenzmenge machen.

24.10.2011, 23:09

San_Gaku

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Angenommen:
N = {1,2}
Dann ist P von N = { (1) , (2) , (1,2) }
Und dieser Menge wird nun das kleinste Element von N zugeordnet.

1 = 1
2 = 2

Und nun?

EDIT: Sorry weger dem Namenswechsel, aber hab kein Passwort für das andere erhalten.

24.10.2011, 23:12

Iorek

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Nein, so funktioniert die Abbildung nicht.

Erstens: die Elemente der Potenzmenge sind Mengen keine Tupel.

Zweitens: 1=1 und 2=2 hat mit der Abbildung nur bedingt was zu tun. Was wäre etwa $\begin{eqnarray*} f(\{1\}) \end{eqnarray*}$ ? Worauf wird die Menge $\begin{eqnarray*} \{1;2\} \end{eqnarray*}$ abgebildet? Darum geht es hier.

24.10.2011, 23:18

San_Gaku

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Dann bräuchte ich einen kleinen Denkanstoß, denn nun stehe ich auf dem Schlauch :S.

24.10.2011, 23:23

Iorek

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Jeder Teilmenge der natürlichen Zahlen wird ihr kleinstes Element zugeordnet.

Ein paar Teilmengen der natürlichen Zahlen:
$\begin{eqnarray*} \{1,2,3,4,5\},~\{2,4,6,8\},~\{5,12,612,123135\},~\{x\in\mathbb N~|~x>42\} \end{eqnarray*}$

Kannst du jeweils die kleinsten Elemente bestimmen? Darauf werden die Mengen abgebildet.

24.10.2011, 23:36

San_Gaku

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Die kleinsten Mengen, aber beginnend in dem Fall ab 43, richtig?!

1 = 43
2 = 44
3 = 45 usw.?

Aber was ich mit den doppelten Mengen mache, weiß ich nicht.
2 kann nicht zwei verschieden Werte annehmen.

24.10.2011, 23:42

Iorek

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Was sollen denn diese komischen Gleichungen jetzt heißen? verwirrt

1=43 und die anderen sind ja offensichtlich Quatsch. Und was meinst du mit den "kleinsten Mengen"? Guck dir noch einmal genau die Abbildung an, was für Dinger stecken wir in die Abbildung rein und was kommt am Ende raus?

24.10.2011, 23:47

San_Gaku

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So wie es ausschaut ist mein Denkansatz kopmlett falsch.
Ich weiß jetzt auch nicht wie es weitergeht.

24.10.2011, 23:47

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Guck dir noch einmal genau die Abbildung an, was für Dinger stecken wir in die Abbildung rein und was kommt am Ende raus?

Dann solltest du dir vielleicht mal Gedanken über diese Sachen machen, ich schlag das ja nicht ohne Grund vor. Idee!

24.10.2011, 23:51

San_Gaku

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Hinein kommt ja P(N) und heraus kommt N.

Und dann eben dieser nicht ganz verständlicher Satz mit: Jeder Teilmenge von N ihr kleinstes Element zurodnen.

Das kleinste Element von N ist doch 1. Also ordne ich jeder Teilmenge von N 1 zu. Womit ein x-Wert mehrere y-Werte hätte. Somit wäre die Abbildung surjektiv, aber nicht injektiv.

Richtig???

24.10.2011, 23:55

Iorek

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Nein.

Wir bilden von der Menge $\begin{eqnarray*} P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ in die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ab. Wie sehen nun die Elemente von $\begin{eqnarray*} P(\mathbb N) \end{eqnarray*}$ aus, wie die von $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ? Und du ordnest jeder Teilmenge das kleinste Element dieser Teilmenge zu.

Außerdem: wenn ein x-Wert mehrere y-Werte hat, haben wir ein großes Problem. Und die "Abbildung" wäre unter diesen Umständen auf keinen Fall surjektiv (auch wenn ein y-Wert mehrere x-Werte haben würde, die auf ihn abbilden, das wäre noch lange kein Grund für die Surjektivität).

24.10.2011, 23:59

San_Gaku

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P(N) = { (1) , (2) , (3) , (1,2) , ... }

Und dieser Teilmenge ordne ich nun von welcher Menge das kleinste Element zu? Von N? Oder von P(N)?

Ja, das vorher war Quatsch. Ein X-Wert darf nicht mehrere y-Werte haben.

25.10.2011, 07:13

Iorek

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Noch einmal: die Elemente der Potenzmenge sind Mengen, keine Tupel!

Und was meinst du mit "dieser Teilmenge"? Du guckst dir nun jede Teilmenge der natürlichen Zahlen an und ordnest diesen Teilmengen jeweils das kleinste Element zu, dass die Teilmengen enthalten.

25.10.2011, 14:13

San_Gaku

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Nochmal dein Beispiel an Teilmengen aufgegriffen:
{1,2,3,4,5} , {2,4,6,8}
Dann ist das kleinste Element der Teilmenge 1 bzw. 2.
Somit ordne ich der ersten Teilmenge immer ihr kleinstes Element, also 1, zu. Bei der zweiten Teilmenge orde ich dann jedem Element die 2 zu.
Somit haben versch. x-Werte den selben y-Wert.
Also surjektiv.
Diesmal richtig?

25.10.2011, 14:18

Iorek

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Teils richtig, ja. Es gilt: $\begin{eqnarray*} f(\{1,2,3,4,5\})=1,~f(\{2,4,6,8\})=2 \end{eqnarray*}$ .

Aber: bloß weil verschiedene x-Werte auf den selben y-Wert abgebildet werden, ist die Funktion noch lange nicht surjektiv. Da wirst du nach einem anderen Nachweis gucken müssen (Gibt es für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M\subset\mathbb N \end{eqnarray*}$ , deren kleinstes Element $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist?).

25.10.2011, 14:31

San_Gaku

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Ja, im Grunde stimmt es schon. Ich werde nie bis ans Ende der natürlichen Zahlen gelangen, da ich von jeder Teilmenge immer das kleinste Element der Menge zuweise.
Ich überleg mal:
- injektiv ist sie schon mal nicht, da sie nicht umkehrbar ist (mehrere y-Werte haben einen x-Wert)
- surjektiv ist sie theoretisch dann auch nicht, da ich die ganze Wertemenge nicht erreiche (da ja immer das kleinste Element der Teilmenge)

Stimmt nun diese Folgerung?
Sie ist weder injek. noch surjek.?

25.10.2011, 14:48

Iorek

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Weder deine Begründung zur Injektivität noch deine Begründung zur Surjektivität stimmen. unglücklich

Was soll es heißen, dass mehrere y-Werte einen x-Wert haben? Was willst du damit sagen, worauf willst du hinaus?

Auch das "ich erreiche nicht alle" ist Quatsch, wir haben es hier mit einer Menge mit unendlich vielen Elementen zu tun, da kann man nicht so argumentieren. Zur Surjektivität habe ich dir einen möglichen Ansatz vorgegeben, welchen man verfolgen könnte. Guck dir auch noch einmal die genauen, mathematischen Definitionen von Injektivität/Surjektivität an, um die wirst du hier nicht rum kommen.

25.10.2011, 15:00

San_Gaku

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Injektivität wird definiert, in dem man sagt, dass jedem Element der Zielmenge höchstens ein Element der Definitionsmenge zugeordnet wird.
Surjektivtät wird definiert, in dem man sagt, dass jedem Element der Zielmenge mindestens ein Element der Definitionsmenge zugerodnet wird.

Und wie nutze ich nun diese Definitionen für die Aufgabe?
Ich weiß dass jede Teilmenge ihr kleinstes Teil zugeordnet wird, aber so erreicht man meiner Meinung nach nicht ganz N, denn man wird immer kleiner als das größte sein Element sein.

25.10.2011, 15:11

Iorek

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Was ist denn deiner Meinung nach die größte natürliche Zahl, die man nicht erreichen kann?

Zitat:

Original von Iorek
(Gibt es für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M\subset\mathbb N \end{eqnarray*}$ , deren kleinstes Element $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist?).

Kannst du denn die Injektivität begründet widerlegen, vielleicht ein konkretes Gegenbeispiel angeben?

25.10.2011, 15:22

San_Gaku

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Natürlich erreicht man nicht die größte natürliche Zahl, aber man nähert sich ihr an. Aber gleichzeitig will man ja immer das kleinste Element einer Teilmenge ihr zuordnen.

Zu deiner Frage:
Ich weiß es nicht bzw. verstehe nicht ganz was ich damit anfangen soll? Im Grunde hätte ich gedacht, es wäre dasselbe wie vorher.
{1,2,3} ->1
{4,5,6} -> 4
usw. bis unendlich eben

{n, n+1, n+2, n+3, ...} -> n

25.10.2011, 15:28

Iorek

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Was ist denn die größte natürliche Zahl? Und wie kann man sich ihr annähern?

Was meine Frage soll: wenn die Abbildung surjektiv sein soll, dann muss es ja für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} M\subset\mathbb N \end{eqnarray*}$ geben mit $\begin{eqnarray*} f(M)=n \end{eqnarray*}$ . Wenn du diese Teilmenge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ angeben kannst, dann hast du die Surjektivität nachgewiesen.

Darf ich fragen, was du studierst?

25.10.2011, 15:42

San_Gaku

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Die größte natürliche Zahl wäre n, wobei gilt:
n = n + 1
Glaube ich zumindestens. Da dies ja ein unendlicher Kreis ist. Man wiederholt die Rechnung bis ins unendliche, da sich n ständig verändert.

Eine Teilmenge M von N mit dem Element n.
Wie das bewiesen wird, weiß ich leider nicht.

Ich studiere Mathematik auf Lehramt, bin jedoch noch recht am Anfang.

25.10.2011, 16:24

Iorek

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Gibt es denn eine größte natürliche Zahl? Nein, gibt es natürlich nicht. Und $\begin{eqnarray*} n=n+1 \end{eqnarray*}$ ist Schwachsinn, diese Gleichung wäre äquivalent zu $\begin{eqnarray*} 0=1 \end{eqnarray*}$ .

Damit das hier endlich mal ein klein wenig voran kommt: kannst du eine Menge angeben, die auf $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird? Eine die auf $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird? Eine die auf $\begin{eqnarray*} 675984 \end{eqnarray*}$ abgebildet wird? Wohlgemerkt, es gibt jeweils unendlich viele Möglichkeiten. Kannst du dann allgemein eine Menge angeben, die auf $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abgebildet wird?

Und zur Injektivität: wenn du zwei verschiedene Mengen $\begin{eqnarray*} M,N \end{eqnarray*}$ findest, die auf die selbe Zahl abgebildet werden, hast du ein Gegenbeispiel gefunden und die Injektivität hat sich erledigt.

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