Determinante einer n x n - Matrix

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cykn91 Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante einer n x n - Matrix
Meine Frage:
Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Ich soll eine rekursive Formel herleiten um die Determinante folgender Matrix berechnen:

Auf der Diagonalen soll irgenderwas stehen und jeweils links und rechts daneben eine -1 . Ansonsten überall 0.

Meine Ideen:
Ich hab versucht mit dem Laplace'schen Entwicklungssatz zu arbeiten:


Ich hab mir die ersten Summanden angeguckt und wollte da irgendeine Regelmäßigkeit herausfinden:



(ich habs auch noch ein bisschen weiter berechnet, aber das wird mir etwas zu lang zum eintippen ;-) ) . Jedenfalls ist es ja so, dass die Determinante von wird, da man sich nur noch die Determinante der 1 x 1 Matrix anschaut, die in dem Fall nur lambda ist. Daher werden alle Summanden früher oder später zu lambda hoch irgendwas. Kann es sein, dass man später so eine ähnliche Formel herausbekommt?

?

Wäre über Tipps dankbar!
cykn91 Auf diesen Beitrag antworten »

edit: ok meine Vermutung ist falsch, wie ich leicht an einem Beispiel sehen konnte
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum rechnest du nicht erst einmal ein paar kleine Fälle, so mit Zeilenzahl , aus, um eine Vermutung zu bekommen?
cykn91 Auf diesen Beitrag antworten »

dann komme ich auf die Formeln:
n = 2:
n = 3:
n = 4:

müsste ich eigentlich durch Induktion beweisen, aber für die ersten 5 Werte für lambda stimmts.

Ist die Regel eventuell:

?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das scheint in der Tat etwas schwieriger zu sein. Für die -reihige Matrix habe ich



erhalten. Ich habe mir dazu die Fälle mit einem CAS berechnen lassen.

Vielleicht sollte man die Fälle gerade/ungerade unterscheiden.
cykn91 Auf diesen Beitrag antworten »

bzw.: [latex] det(A)= \sum\limits_{k=0}^n-1 (n-k)\cdot \lambda ^{n-2k} [l/atex]

(es soll heißen die Summe von k = 0 bis n-1)
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Determinante einer n x n - Matrix
Sorry wenn ich mich hier kurz einmische:
Zitat:
Original von cykn91
Ich soll eine rekursive Formel herleiten um die Determinante folgender Matrix berechnen:

D.h. hier ist doch noch einer Formel für in Abhängigkeit der gefragt.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Wenn die gesuchte Determinante bei -reihiger Matrix bezeichnet, ist das zum Beispiel



Vielleicht gibt es auch eine andere Rekursion, die nicht so weit zurückgreift.
cykn91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich frage mal den Übungsleiter und poste dann hier die offizielle Lösung (allerdings erst Donnerstag in 1 Woche). Im Moment bin ich schon über einen Ansatz zufrieden Augenzwinkern
cykn91 Auf diesen Beitrag antworten »

So, also hier wie versprochen die offizielle Lösung:


Vorr.: Sei K Körper, und



Beh.: Rekursionsformel für

Beweis: einfach Laplace-Entwicklung nach 1. Spalte, dann nocheinmal nach 1. Zeile... und das wars schon... blöd weils so einfach ist und wir unsere Zeit jetzt damit groß vergeudet haben :/
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