notwendige Bedingung für Konvergenz

04.01.2007, 12:15

jkb

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notwendige Bedingung für Konvergenz

Hey, ich hab keine Ahnung was ich bei dieser Aufgabe machen soll:

Sei $\begin{eqnarray*} a_n \in \mathbb R \ , \ n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , eine monoton fallende Nullfolge, und $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p \geq 2 \end{eqnarray*}$

(1) $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert genau dann,wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^ \infty ~ p^k a_{p^k} \end{eqnarray*}$ konvergiert.

(2) Ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~a_n \end{eqnarray*}$ konvergent, so folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (na_n)=0 \end{eqnarray*}$

(3) Ist d(n) die Anzahl der Stelln in der Dezimaldarstellung von n, do ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{d(n)^sn} \end{eqnarray*}$ divergent für $\begin{eqnarray*} 0 \leq s \leq 1 \end{eqnarray*}$ und konvergent für $\begin{eqnarray*} s > 1 \end{eqnarray*}$

kann mir jemand helfen?? was muss ich denn da machen??^^

würd mich freun, wenn mir jemand helfen könnte,

liebe grüße, julia

04.01.2007, 12:25

therisen

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Siehe Notwendige Bedingung für Konvergenz smile

smile

04.01.2007, 12:32

jkb

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das habe ich schon gelesen.^^
das ist doch aber nur die (1), oder hab ich das falsch verstanden?
die (1) habe ich einigermaßen hinbekommen, aber der rest geht gar nicht...^^

04.01.2007, 13:57

Michi85

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Hi Julia,

wie hast du denn die 1) gemacht? Kannst du mir deinen Lösungsweg eventuell verraten? Sitz nämlich auch grad vorm Ana-Blatt :-)

Gruß Michi

04.01.2007, 14:31

Michi85

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Kann man bei der 2) nicht einfach sagen:

Aus $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty~a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergent

folgt

$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist Nullfolge (siehe Skript)

daraus folgt

$\begin{eqnarray*} n*a_{n} \end{eqnarray*}$ ist auch Nullfolge.

daraus folgt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (n*a_{n})=0 \end{eqnarray*}$

Klingt bisschen einfach oder?

04.01.2007, 14:42

pseudo-nym

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Zitat:

Klingt bisschen einfach oder?

Heißt das, dass dich daran irgendwas stört? geschockt

geschockt

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04.01.2007, 14:45

Calvin

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Zitat:

Original von Michi85
$\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist Nullfolge (siehe Skript)

daraus folgt

$\begin{eqnarray*} n*a_{n} \end{eqnarray*}$ ist auch Nullfolge.

Das stimmt nicht. Wenn du den Grenzwert bildest, kommst du auf den unbestimmten Ausdruck $\begin{eqnarray*} \infty\cdot 0 \end{eqnarray*}$ . Ein Gegenbeispiel für diesen Schritt wäre $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ . Wobei ich mir bewußt bin, dass die zugehörige Reihe auch nicht konvergiert Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.01.2007, 14:47

Michi85

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Ähm....nee eigentlich nicht, aber ich bin ja auch kein Mathematiker :-)

Hab nur die Erfahrung gemacht, dass die Dinge im Allgemeinen komplizierter sind als sie scheinen in Analysis :-D

Was meinst du also dazu?

04.01.2007, 14:49

AD

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@Calvin

Machen wir das Beispiel $\begin{eqnarray*} a_n = \frac{(-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$ draus, dann konvergiert auch die Reihe. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was jetzt allerdings verletzt ist, ist die Monotonie der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ .

04.01.2007, 14:49

pseudo-nym

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Bist du dir sicher, dass der Faktor n der selbe ist wie der Index der Folge?
In dem Fall hat Calvin recht, aber ich glaube nicht, dass das so gemeint ist.

04.01.2007, 14:55

Calvin

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@pseudo-nym

Wenn es ein anderes n wäre, würde es nicht n heißen Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.01.2007, 15:03

pseudo-nym

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Wäre auch zu schön gewesen, nicht mal l'Hospital funktioniert da unglücklich

unglücklich

04.01.2007, 16:58

jkb

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stimmt das jetzt, was mich85 gemacht hat oder nicht? kann man das so einfach machen?

liebe grüße, julia

04.01.2007, 17:06

AD

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Nein, so einfach geht es wirklich nicht. Aber in etwa so: Aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~a_n \end{eqnarray*}$ folgt die Konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^ \infty ~ 2^k a_{2^k} \end{eqnarray*}$ , und zwar gemäß (1) mit p=2. Notwendig für die Reihenkonvergenz ist, dass die Reihenglieder eine Nullfolge bilden, also folgt

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k\to\infty} 2^k a_{2^k} = 0 \end{eqnarray*}$

Das sieht schon fast wie die Behauptung aus, dummerweise werden durch diesen Grenzwert aber nur Zweierpotenzen als Folgenindizes erfasst, wir brauchen aber alle Indizes! Trotzdem reicht das, wenn man noch die gegebene Monotonie der Zahlenfolge $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ hinzuzieht...

04.01.2007, 17:11

jkb

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ah, jetzt! ich habs verstanden!! *juchuh* danke schön, hätte mich auch gewundert, wenn es so gegangen wär!
kannst du mir auch noch bei der 3 nen tipp geben? würde mir wahrscheinlich schon helfen. mir fehlt häufig nur ein kleiner denkanstoß...^^

vielen dank, julia

04.01.2007, 17:20

AD

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Die direkte Anwendung von (1) klappt nicht, da die Reihenglieder bei (3) nicht monoton fallend sind.

Aber mit dem Umweg über eine Einschachtelung klappt es: Es ist $\begin{eqnarray*} \lg(n) < d(n) \leq \lg(n)+1 \end{eqnarray*}$ . Also kannst du deine Reihe einschachteln gemäß

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{(\lg(n)+1)^sn} \leq \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{d(n)^sn} \leq \sum_{n=1}^\infty ~\frac{1}{(\lg(n))^sn} \end{eqnarray*}$ .

Die beiden Außenreihen erfüllen nun das Kriterium der monoton fallenden Reihenglieder, also kannst du (1) auf beide anwenden, zweckmäßig natürlich mit p=10. Anschließend Minorantenkriterium für Divergenz im Fall $\begin{eqnarray*} 0<s\leq 1 \end{eqnarray*}$ sowie Majorantenkriterium für Konvergenz im Fall $\begin{eqnarray*} s>1 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: Ich merke gerade, dass meine Aussage "da die Reihenglieder bei (3) nicht monoton fallend sind" falsch ist, sie sind es doch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Na Ok, hat bisher keiner gemerkt. Big Laugh

Big Laugh

04.01.2007, 17:39

jkb

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woher wieß ich denn, dass die beiden außenreihen monoton fallend sind?

04.01.2007, 17:45

AD

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Vielleicht durch Nachdenken? So schwer ist das nicht zu sehen.

04.01.2007, 17:52

jkb

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oh,... stimmt... ist ja klar... ah, ich bin so dumm...^^ naja, danke schön, dann hab ichs verstanden! danke schön!

danke schön für deine hilfe

liebe grüße, julia

05.01.2007, 11:16

mustermann

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@arthur dent: wie kommst du denn auf das lg(n) und das lg(n)+1 ?

das habe ich noch nicht so ganz gepeilt

lg, marcel

05.01.2007, 11:46

therisen

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Sei $\begin{eqnarray*} n = \sum_{k=0}^l a_k10^k \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} d(n)=l+1 \end{eqnarray*}$ . Ist weiter $\begin{eqnarray*} z = \lg n \end{eqnarray*}$ diejenige (reelle) Zahl, für die gilt: $\begin{eqnarray*} 10^z = n \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} z < l+1=d(n) \end{eqnarray*}$ .

Beispiel: $\begin{eqnarray*} \lg 666 \approx 2.823474229\dots , ~ d(n)=3 \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

05.01.2007, 12:09

mustermann

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okay, das habe ich verstanden, aber wie komme ich erst einmal auf $\begin{eqnarray*} n = \sum_{k=0}^l a_k10^k \end{eqnarray*}$ ?

lg, marcel

05.01.2007, 12:13

therisen

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Das ist banal. Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Zehnersystem#Definition

05.01.2007, 12:21

mustermann

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ja gut ähhhhhhhh... ich glaub ich hätte mal mein hirn anschalten sollen, dann hätte ich da auch selber draufkommen müssen! Forum Kloppe

Forum Kloppe

Hammer

danke, dass du mir trotzdem geholfen hast, wirst ab und zu ja schon verzweifeln, bei unseren bekloppten fragen smile

smile

liebe grüße, marcel

05.01.2007, 14:38

Michi85

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dumm nur dass wir den logarithmus in der vorlesung noch gar nicht hatten...

05.01.2007, 18:07

Michi85

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Geht bei der (2) auch folgender Weg???

Angenommen $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} na_{n}>\epsilon \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$
Dann gilt $\begin{eqnarray*} n*a_{n}>\epsilon \end{eqnarray*}$ also auch $\begin{eqnarray*} a_{n}>\frac{1}{n}*\epsilon \end{eqnarray*}$
Und damit: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~a_{n}>\epsilon \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$
Und die harmonische Reihe divergiert, also würde unsere Reihe auch divergieren. Widerspruch!

05.01.2007, 19:37

AD

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Zitat:

Original von Michi85
dumm nur dass wir den logarithmus in der vorlesung noch gar nicht hatten...

Soweit ich weiß, werden Logarithmen bereits im Gymnasium besprochen. Oder sind die da jetzt auch schon abgeschafft - ich hoffe nicht, ansonsten armes Deutschland. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Dein indirekter Beweis zu (2) ist übrigens sehr löchrig: Das Gegenteil von " $\begin{eqnarray*} (n\cdot a_n) \end{eqnarray*}$ ist Nullfolge" bedeutet nicht, dass du die Existenz des Grenzwertes $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} n\cdot a_n \end{eqnarray*}$ so einfach voraussetzen darfst!

05.01.2007, 22:02

Michi85

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zu den logarithmen:

Ich finde es seltsam, dass du nicht weißt, dass man bei vorlesungsbegleitenden Übungsblättern nur Stoff aus der Vorlesung verwenden darf...
Dass sonst manches einfacher gehen würde, ist mir klar. Und um Lehrpläne an deutschen Schulen geht es hier gar nicht.

Zum beweis: Ok dann ist der Lösungsansatz von meinem Tutor wohl falsch. Was ist denn dann ein richtiger Ansatz? Ich hab echt keine Idee mehr...

Gruß Michi

06.01.2007, 00:23

AD

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Zitat:

Original von Michi85
Ich finde es seltsam, dass du nicht weißt, dass man bei vorlesungsbegleitenden Übungsblättern nur Stoff aus der Vorlesung verwenden darf...

Unfug! Wer an Hochschulen studiert, und dort reelle Analysis betreibt, sollte selbstverständlich elementares Schulwissen anwenden dürfen. Und Logarithmen zähle ich zweifelsohne dazu, zumindest wenn man Analysis betreibt.

P.S.: Als ich studiert habe, wurden Logarithmen nicht wiederholt - das wurde vorausgesetzt. Wäre auch nur pure Zeitverschwendung gewesen.

07.01.2007, 10:31

Michi85

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Ja ich bin natürlich ganz deiner Meinung. Trotzdem ändert das nix an dieser Tatsache, leider.

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