Fehlerwahrscheinlichkeit

26.10.2011, 11:59

Floyd

Fehlerwahrscheinlichkeit

Edit (mY+): "Transistorenaufgabe" ist ein völlig unzureichender Titel. Modifiziert.

Hallo liebe Mathefreunde, ich habe bei folgender Aufgabe une paar Probleme und würde mich um hilfreiche Tipps freuen.

Aufgabe: Transistoren einer Baureihe sind mit 6,5 % defekt, wobei sie die Fehler

A: Die Spannungsfestigkeit ist nicht garantiert,
B: Die Stromverstärkung liegt außerhalb der Toleranzgrenze haben können.

Beide Fehler treten unabhängig voneinander auf. Schon ein Fehler macht den Transistor
unbrauchbar. Der Fehler A tritt mit einer absoluten Häufigkeit von 4 % auf.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt B auf, und mit welcher beide zusammen?

b) Wie viele defekte Transistoren kann man in einer Packung von 20 Stück erwarten?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind höchstens 2 defekte darin?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt dies für alle 12 Packungen einer Lieferung?
Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten höchstens 10 Packungen dieser Lieferung nicht
mehr als 2 defekte Transistoren?

c) Ein Händler testet eine Sendung und wählt dazu eine Packung zufällig aus. Findet er darin
höchstens einen defekten Transistor, nimmt er die Sendung an, sonst testet er eine zweite
Packung. Findet er darin höchstens 2 defekte, nimmt er die ganze Sendung an.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt er die Sendung an?

Lösung:

Ich kann die Aufgabe nicht so genau zu einem Bereich der Stochastik zuordnen.

Mir scheint, dass man hier diese Formel benutzen kann oder?

$\begin{eqnarray*} P(x=k)= \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}\cdot p^k \cdot q^(n-k) \end{eqnarray*}$

26.10.2011, 14:40

Math1986

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RE: Transistorenaufgabe

Zitat:

Original von Floyd
Mir scheint, dass man hier diese Formel benutzen kann oder?

$\begin{eqnarray*} P(x=k)= \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix}\cdot p^k \cdot q^(n-k) \end{eqnarray*}$

Nein, warum?
Was heißt es denn, das A und B unabhäbgig sind, im mathematischen Sinne?

26.10.2011, 14:44

Floyd

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RE: Transistorenaufgabe
Von UNabhängigkeit habe ich nur in Bezug auf "Bedingte Wahrscheinlichkeit" was gehört.

Also wenn die bedingte WSK ungleich P(A) * P(B) ist, dann sind A und B unabhängig voneinander.

Kann man stochatsiche Unabhängigkeit mit Aufgaben "Mit Zurücklegen" gleichsetzen?

26.10.2011, 14:46

Math1986

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RE: Transistorenaufgabe

Zitat:

Original von Floyd
Also wenn die bedingte WSK ungleich P(A) * P(B) ist, dann sind A und B unabhängig voneinander.

Nein, nicht ganz... Was gilt genau für P(A) * P(B), wenn die unabhängig sind?

26.10.2011, 14:49

Floyd

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RE: Transistorenaufgabe
Es gilt P(A) * P(B) = P(A & B)

Kann man stochatsiche Unabhängigkeit mit Aufgaben "Mit Zurücklegen" gleichsetzen?

Kann ich die AUfgabe mit einer Vierfeldertafel lösen? Jedenfalls Teilaufgabe a ?

26.10.2011, 15:26

Math1986

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RE: Transistorenaufgabe

Zitat:

Original von Floyd
Es gilt P(A) * P(B) = P(A & B)

Ja:
$\begin{eqnarray*} P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B) \end{eqnarray*}$
Und zwei dieser Größen sind in der Aufgabenstellung gegeben

Zitat:

Original von Floyd
Kann man stochatsiche Unabhängigkeit mit Aufgaben "Mit Zurücklegen" gleichsetzen?

Nicht direkt. Wenn du aus einer Urne mehrmals mit Zurücklegen ziehst, dann ist dies unabhängig.
Du kannst die Begriffe aber nicht gleichwertig verwenden, Unabhängigkeit ist ein viel weiterer Begriff, der auch bei vielen anderen Experimenten auftritt.

Zitat:

Original von Floyd
Kann ich die AUfgabe mit einer Vierfeldertafel lösen? Jedenfalls Teilaufgabe a ?

Nein, das brauchst du hier nicht.

PS: Ich habe weitergelesen, zu b) brauchst du doch die Formel der Binomialverteilung, die du oben angeschrieben hast, wenn du damit Teil b) meintest dann wars richtig.

26.10.2011, 22:50

Floyd

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RE: Transistorenaufgabe
a)

Also wenn gilt: $\begin{eqnarray*} P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

Und P(A) = 0,04 und $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) = 0,065 ist \end{eqnarray*}$ , dann kann ich doch P(B) einfach ausrechnen oder?

$\begin{eqnarray*} P(B) = P(A \cap B) : P(A) = 0,065 : 0,04 = 1,625 \end{eqnarray*}$

hm... das Ergbenis kann aber irgendwie nicht sein....

b) "Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind höchstens 2 defekte darin?"

$\begin{eqnarray*} P(X=0)= \begin{pmatrix} 20 \\ 0 \\ \end{pmatrix}\cdot 0,065^0 \cdot 0,935^20 = 0,26 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=1)= \begin{pmatrix} 20 \\ 1 \\ \end{pmatrix}\cdot 0,065^1 \cdot 0,935^19 = 0,36 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=2)= \begin{pmatrix} 20 \\ 2 \\ \end{pmatrix}\cdot 0,065^2 \cdot 0,935^18 = 0,24 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(hoechstens 2)= 0,26 + 0,36 + 0,24 = 0,86 \end{eqnarray*}$

"Mit welcher Wahrscheinlichkeit gilt dies für alle 12 Packungen einer Lieferung?"

Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten höchstens 10 Packungen dieser Lieferung nicht
mehr als 2 defekte Transistoren?

27.10.2011, 01:30

andyrue

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RE: Fehlerwahrscheinlichkeit
6,5% dürfte ja die wahrscheinlichkeit sein dass A oder B eintritt,

additionssatz: P(A oder B)= P(A)+P(B)-P(A und B)

mfg andy

27.10.2011, 12:51

Floyd

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RE: Fehlerwahrscheinlichkeit
Also gemäß des Additionssatz: P(A oder B)= P(A)+P(B)-P(A und B) bedeutet das eingesetzt:

0,065 = 0,04 +P(B) - P(A und B)

Leider kann ich hier immernoch nicht nach P(B) auflösen, da mir ja noch der Term P(A und B) fehlt.

und um den auszurechnen, da kenne ich nur folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

aber für diese brauch man wiederum P(B)...... ein Teufelskreis.... :_)

Gibt es noch eine andere Gleichung, die ich noch nicht kenne und die mir weiterhilft?

27.10.2011, 12:54

andyrue

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RE: Fehlerwahrscheinlichkeit
du hast in der gleichung nur eine unbekannte: P(B)

und P(A und B) = P(A) * P(B), also 0,04*P(B)

andy

27.10.2011, 12:58

Floyd

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RE: Fehlerwahrscheinlichkeit
Bin ich jetzt blind??? :_)))) Ich habe doch den Term P(A und B) nicht gegeben!

Ich kenne nur:

P(A) = 0,04

P(AoderB) = 0,065

oder wo habe ich Tomaten auf den AUgen?

28.10.2011, 00:15

andyrue

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RE: Fehlerwahrscheinlichkeit
tomaten, würd ich sagen :-)

P(A oder B) = P(A) + P(B) - P(A und B) Additionssatz

hier:

0,065 = 0,04 +P(B) - P(A und B)

0,065 = 0,04 + P(B) - 0,04*P(B)

0,065 - 0,04 = P(B) (1-0,04)

(0,065-0,04) / (1-0,04) = P(B)

andy

ich hoffe ich werde jetzt nicht kritisiert weil ich mit meinem lösungsvorschlag zu weit gegangen bin

28.10.2011, 23:51

Floyd

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RE: Fehlerwahrscheinlichkeit
Hehe - vielen Dank. Jetzt fällt es mir wie Schuppen von den Augen. einfach nur nochmals einsetzen....,. och menno, wieso habe ich das nicht gesehen!

Danke jetzt komme ich weiter

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