[C] reelle x, sodass Gleichung reell wird

26.10.2011, 12:19

Amnesia

[C] reelle x, sodass Gleichung reell wird

Meine Frage:
Hallo Community,

ich sitze gerade an einer Aufgabe und habe nicht wirklich eine zündende Idee, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Eventuell bin ich ja auf der richtigen Fährte und komme einfach nur nicht weiter.

Aufgabe ist die folgende: Gesucht sind alle reellen x, so dass $\begin{eqnarray*} z=(x+2-i)^{4} \end{eqnarray*}$ reell wird.

Meine Ideen:
Hier mal mein Ansatz, bei dem ich einfach nicht weiß, ob der überhaupt schon richtig ist. Ich versuche erst einmal ein irgendwie das x zu ermitteln:

$\begin{eqnarray*} z = (x+2-i)^{4} \sqrt[4]{z} = x+2-i 0 = -\sqrt[4]{z}+x+2-i -x = -\sqrt[4]{z}+2-i x = \sqrt[4]{z}-2+i \end{eqnarray*}$
Und nun stell ich mir die Frage, wie ich rausbekomme, welche x nun dafür verantwortlich sind, dass die Gleichung insgesamt reell wird. Reell wird sie ja in dem Fall, wenn der imaginäre Teil Null wird. Es müsste also so sein, dass $\begin{eqnarray*} i = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Liege ich mit der Annahme richtig? Wenn nicht, könnt ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen?

Grüße
Amnesia

26.10.2011, 12:51

Steffen Bühler

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RE: [C] reelle x, sodass Gleichung reell wird

Zitat:

Original von Amnesia
Gesucht sind alle reellen x, so dass $\begin{eqnarray*} z=(x+2-i)^{4} \end{eqnarray*}$ reell wird.

Reell wird sie ja in dem Fall, wenn der imaginäre Teil Null wird. Es müsste also so sein, dass $\begin{eqnarray*} i = 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Das gilt aber nicht. So wie Du nicht einfach 2=0 setzen, darfst Du auch nicht i=0 setzen.

Multipliziere den rechten Term erst einmal aus und ordne nach Real- und Imaginärteil.

Viele Grüße
Steffen

26.10.2011, 13:03

René Gruber

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Ich halte es für keine gute Idee, da auszumultiplizieren, wenn man doch eigentlich an das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ranwill. Nein, die Auflösung

$\begin{eqnarray*} x = \sqrt[4]{z}-2+i \end{eqnarray*}$

ist schon der passende Weg - nur muss man sich dessen bewusst sein, dass diese vierte Wurzel für festen Radikand $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nicht einen, sondern vier Werte umfasst. Und die gilt es geeignet zu parametrieren bzw. darzustellen unter der Maßgabe, dass der Radikand $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ hier reell ist.

EDIT: Aufgabenstellung schlecht von mir gelesen (s.u.) - es ist also doch eine gute Idee mit dem Ausmultiplizieren. Augenzwinkern

26.10.2011, 15:12

Leopold

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Ich würde mich Steffen Bühlers Lösungsidee anschließen. $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist ja gar nicht bekannt, sondern nur eine Abkürzung für den Term $\begin{eqnarray*} x + 2 - \operatorname{i} \end{eqnarray*}$ . Der Imaginärteil dieses Ausdrucks ist ein reelles Polynom vom Grad 3, dessen Nullstellen sich glücklicherweise rasch bestimmen lassen.

Und mit der Substitution $\begin{eqnarray*} x+2=t \end{eqnarray*}$ geht es noch schneller.

26.10.2011, 15:55

René Gruber

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Ah ja, ich hatte das reelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ überlesen - ich dachte, es sind alle (komplexen) $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gesucht, für die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ reell ist. Entschuldigung! Augenzwinkern

26.10.2011, 23:13

Amnesia

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Vielen Dank für eure Antworten. Ich werde dann morgen mal schauen, wie ich das mache und hier mal berichten. War noch ein wenig unterwegs und bin eben erst wieder gekommen.

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