Komplexe Zahlen

26.10.2011, 16:58

zathan796

Komplexe Zahlen

Hi nochmal eine Frage mit denn Komplexen...

Bestimmen Sie alle Eckpunkte eines regularen (gleichseitigen
und gleichwinkligen) Funfecks mit Mittelpunkt im Ursprung und einer Ecke im Punkt
1 + i. Geben Sie eine Gleichung an, deren Losungen genau diese funf Eckpunkte sind.

Also ich habe da folgendes ,aber irgendwie ist da was falsch!!

$\begin{eqnarray*} z^{5}=1+i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=|z|=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \gamma =\frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$

jetzt würde ich gerne einfach $\begin{eqnarray*} z_{0} ; z_{1} ; z_{2} ; z_{3} ;z_{4} \end{eqnarray*}$

berechen ..oder zeigen das ,dass die Eckdaten sind!!!

Also z_0 wäre dann

$\begin{eqnarray*} z_{0}=\sqrt[5]{2} (\cos(\frac{\pi }{4} )+i* \sin(\frac{\pi }{4} ) ) \end{eqnarray*}$

26.10.2011, 17:24

mnt

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RE: Komplexe Zahlen
Hi,

im Prinzip läuft das schon auf sowas ähnliches wie beim Wurzelziehen heraus.

> $\begin{eqnarray*} z_{0}=\sqrt[5]{2} (\cos(\frac{\pi }{4} )+i* \sin(\frac{\pi }{4} ) ) \end{eqnarray*}$
> $\begin{eqnarray*} r=|z|=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
z_0 muss doch den Abstand zum Ursprung von $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \sqrt[5]{2}... \end{eqnarray*}$ liegt doch gar nicht auf dem Kreis, da der Abstand zu klein ist.

Wie man nun die richtigen Winkel bekommt? Das läuft wie beim Wurzelziehen.
So geht das mit Wurzelziehen.

VG

26.10.2011, 17:42

original

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RE: Komplexe Zahlen

Zitat:

Original von zathan796
Bestimmen Sie alle Eckpunkte eines regularen (gleichseitigen
und gleichwinkligen) Funfecks mit Mittelpunkt im Ursprung und einer Ecke im Punkt 1 + i.
Geben Sie eine Gleichung an, deren Losungen genau diese funf Eckpunkte sind.

Also ich habe da folgendes ,aber irgendwie ist da was falsch!! Freude

ja .. schon dein Ansatz ist falsch
Diese Aufgabe hat mal nichts mit "Wurzelziehen" zu tun..

Also:
du HAST die erste Ecke
$\begin{eqnarray*} z_{1} =1+i \end{eqnarray*}$
und den Mittelpunkt des Fünfecks im Ursprung ..

also solltest du für jede weitere Ecke einfach z_1 jeweils weiterdrehen um 72°

und solche Drehungen werden durch Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} a= e^{i\cdot \frac{2\pi }{5} } \end{eqnarray*}$ beschrieben

also zB $\begin{eqnarray*} z_{3}= a^2 \cdot z_{1} \end{eqnarray*}$

kannst du nun deine fünf Eckken angeben?
-

26.10.2011, 19:33

zathan796

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Bin jetzt wieder dabei ..ich versuche es...

so richtig verstanden habe ich es leider nicht

26.10.2011, 20:16

original

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Zitat:

Original von zathan796

so richtig verstanden habe ich es leider nicht

wo ist denn das Problem ?

kurz: Multiplikationen in C sind geometrisch gedeutet Drehstreckungen...
du weisst doch sicher, dass bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen
- die Beträge miteinander multipliziert werden
- die Argumente (Winkel) addiert werden ..

genau das geschieht , wenn du z mit a multiplizierst ..
(der Betrag von a ist ja 1, der Winkel 72°)
mehrfaches Anwenden von " ..mal a " dreht 1+i in die übrigen Fünfeck-Ecken.
ok?

27.10.2011, 09:08

zathan796

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Alles klar wurde gelöst....

Danke an Euch

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