Orthonormalbasis

04.01.2007, 15:18	Michael85	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormalbasis Hallo die aufagbe lautet wie folgt: Ergänzen sie die vektoren f1=1/wurzel2 * (1/1/0/0) f2= 1/wurzel2 * (-1/1/0/0) f3=1/wurzel2 * (0/0/1/1) zu einer Orthonormalbasis des R4 un bestimmen sie das orthogonale komplement zu f1,f2,f3 also muss ich quasi nur einen vektor finden der orthogonal zu f1,f2,f3 ist un diesen auf die länge 1 bringen... gibt es eine formel um diesen vektor zu finden? oder wie soll das funktionieren? edit ok hab en jetzt doch : 1/wurzel2 (0/0/-1/1) aber muss man das noch weiter begründen bzw zeigen dass er auf allen anderen vektoren senkrecht steht oder so...
04.01.2007, 15:54	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthonormalbasis Wie du vielleicht weißt, steht der Zeilenraum einer Matrix A orthogonal auf dem Kern(A) (und der Spaltenraum auf dem Kern von AT (i.e. A-transponiert)). Um also das orthogonale Komplement deiner 3 Vektoren zu bestimmen, schreibst du sie in die Zeilen einer 3 x 4 Matrix A und löst das homogene Gleichungssystem Ax = 0. Gruß Armin
04.01.2007, 17:50	Michael85	Auf diesen Beitrag antworten »
auf deutsch?^^ ich habe nie mit einer matrix gearbeitet^^ gehts um matrizen? also die kommen erst im 3. semester.. ich bin noch im 1.^^
04.01.2007, 20:52	ArminTempsarian	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach so Na ja, die von mir erwähnte Matrix-Gleichung Ax=0 ist sozusagen nur die kompakte Schreibweise für ein lineares Gleichungssystem. 2 Vektoren sind orthogonal genau dann, wenn das Skalarprodukt 0 ist. (Ich hoffe, das weisst du). Wenn du also das orthogonale Komplement einer Menge von Vektoren finden willst, suchst du (in deinem Fall einen) Vektor x, für den gilt <x,f1>=0m <x,f2>=0 und <x,f3>=0. Das kannst du in ein LGleichungssystem schreiben. x1 + x2 = 0 -x1 + x2 = 0 x3 + x4 = 0 wobei die x1, ..., x4 die Komponenten des gesuchten Vektors x sind, oder in Matrixschreibweise $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1& 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Lösungen dieses homogenen Gleichungssystems nennt man den Kern der Abbildung, bzw. der Matrix. Du brauchst den Lösungsvektor dann nur mehr normieren und fertig.
20.01.2007, 17:20	robert83	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich schließe mich hier jetzt einfach mal an. Irgendwie steh ich nämlich gerade auf der Leitung: Also ich löse das Gleichungssystem mit dem Gauss-Verfahren auf und das ist dann mein gesuchter Vektor zur Orthonormalbasis oder? Vielen Dank!
20.01.2007, 17:36	therisen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es einem gelingt, $\begin{eqnarray} \{f_1,f_2,f_3\} \end{eqnarray}$ zu einer Basis des $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ zu ergänzen, kann man auch einfach das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren anwenden. Gruß, therisen
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20.01.2007, 18:30	robert83	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe ich bis jetzt gar nicht gekannt -> werde mich mal einlesen. Danke für die Antwort. Grüße

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