Irreduzibel

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Furiusxx Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibel
Meine Frage:
Zeigen sie, dass f=8x^3-6x-1 in Q[x] irreduzibel ist.


Meine Ideen:
Ansatz:

Habe erstmal eine substitution angewandt y=2:

g=4x^3-3x-1

Annahme:
g sei reduzibel.. dann gibt es eine Nullstelle p/q element Q[x] wobei p und q teilerfremd sind.

=> 4*(p/q)^3-3*(p/q)-1

Nun will ich irgendwie zeigen, dass p und q doch nicht Teilerfremd sind und das dann zum Widerspruch führen.. komme aber hier irgendiwe nicht weiter..
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Habe erstmal eine substitution angewandt y=2: g=4x^3-3x-1

Häh? Das g hat mit dem f nichts zu tun. Was hast Du da genau gemacht?

Zitat:
Annahme: g sei reduzibel.. dann gibt es eine Nullstelle p/q element Q[x] wobei p und q teilerfremd sind.

Das ist eine gute Idee.
Zitat:
=> 4*(p/q)^3-3*(p/q)-1

Das ist Unsinn. Man kann keine Zahl folgern, nur Ausssagen
Furiusxx Auf diesen Beitrag antworten »

Habe das substituiert.. y=2x.. und dann der gleichung nur n neuen namen gegeben.

Und die Aussage ist ja

4*(p/q)^3-3*(p/q)-1= 0

Und hier kommt ich nicht weiter...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schreibs auch so hin. Beides stand vorher anders da.
Die Substitution ist falsch:

Dein g ist reduzibel 1 ist NST.
Als weiterer Tipp Teilbarkeit. (Es gibt so ne Aussage, welche Koeffiizienten von f p und q teilen müssen.)
Furiusxx Auf diesen Beitrag antworten »

Oh.. du meinst aber

f= y^3-3y-1 oder?

Okay werds mir nochmal angucken danke smile
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja natürlich.
 
 
Furiusxx Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,
tut mir leid das ich erst jetzt antworte.

Also wegen der Teilbarkeit, weil wir das substituiert haben müssten doch beide durch 2 teilbar sein oder?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

2x ist durch 2 teilbar, allerdings ist eine Einheit;
spielt damit für Irreduzibilität keine Rolle.
Furiusxx Auf diesen Beitrag antworten »

Durch welche koeffizieten sind die denn noch Teilbar?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe die Frage nicht. Wer sind hier z.B. "die"?
Furiusxx Auf diesen Beitrag antworten »

Als weiterer Tipp Teilbarkeit. (Es gibt so ne Aussage, welche Koeffiizienten von f p und q teilen müssen.)

Das hattest du gesagt.. und der Einzige koeffizient auf den ich jetzt komme wäre 2, da wir dorthin ja substituiert haben.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Der Tipp mit der Teilbarkeit bezog sich auf das Finden (bzw. Beweisen der Unmöglichkeit dessen) einer rationalen NST eine rationalen Polynoms.
Sei und eine Nullstelle von f mit teilerfremenden p,q . Dann gilt und .
(Um im Üblichen Jargon zu Bleiben: Das Ersetzen der Fragezeichen bleibt dem geneigten Leser überlassen)
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