Moduln und Homomorphismen

28.10.2011, 09:55

loyloep

Moduln und Homomorphismen

Meine Frage:
Ich habe folgende Aufgabe zu lösen.

$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sei ein kommutativer Ring mit Eins.

(1.) Zu zeigen: Sind $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ zwei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Moduln, so ist die Menge $\begin{eqnarray*} Hom_R(M,N) \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ - Modulhomomorphismen von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ebenfalls ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Modul mit den Operationen $\begin{eqnarray*} (f,g) \mapsto f + g \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a,f) \mapsto a \cdot f \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} (f,g) \in Hom_R(M,N) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \in R \end{eqnarray*}$ sind:
$\begin{eqnarray*} (f + g)(m) := f(m) + g(m), (a\cdot f)(m):= a\cdot f(m) \end{eqnarray*}$

2.) Bestimme $\begin{eqnarray*} Hom_R(R,M) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Modul $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

3.) Bestimme für ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ den $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ -Modul $\begin{eqnarray*} Hom_Z(\mathbb Z/(m), \mathbb Z/(n)) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Einen Ansatz, wie ich mit der Aufgabe beginnen soll, habe ich nicht. Für einen Hinweis wäre ich dankbar.

28.10.2011, 14:43

galoisseinbruder

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Die 1) ist Nachrechnen der Definitionen.
Bei der 2): Bedenke $\begin{eqnarray*} 1\in R \end{eqnarray*}$
Bei der 3): Wie nennt man $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Moduln noch?

29.10.2011, 16:39

loyloep

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Für den Teil 1.) der Aufgabe ist zu zeigen:

a) $\begin{eqnarray*} (Hom_R(M,N), + ) \end{eqnarray*}$ ist abelsche Gruppe.

b) Für $\begin{eqnarray*} f,g \in Hom_R(M,N), ab \in R \end{eqnarray*}$ gilt:
(i) $\begin{eqnarray*} (a+b)\cdot f = af + bf \end{eqnarray*}$
(ii) $\begin{eqnarray*} a \cdot (f +g) = af +ag \end{eqnarray*}$
(iii) $\begin{eqnarray*} (a \cdot b) \cdot f = a \cdot (b \cdot f) \end{eqnarray*}$
(iv) $\begin{eqnarray*} 1 \cdot f = f \end{eqnarray*}$ .

Aber wie zeige ich das?
Nehmen wir z.B. das Assoziativitätsgesetz:
Für alle $\begin{eqnarray*} f,g,h \in Hom_R \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} (f + g) + h = f + (g + h) \end{eqnarray*}$ .
Wie genau gehe ich denn beweistechnisch vor, um zu zeigen, dass das gerade gilt?

29.10.2011, 16:47

galoisseinbruder

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Punktweise, unter Berücksichtigung der Eigenschaften von N.

29.10.2011, 16:54

loyloep

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Kannst DU dazu vielleicht mehr sagen, ich verstehe es nicht.

29.10.2011, 16:56

loyloep

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Kannst Du dazu vielleicht mehr sagen oder anhand eines Beispiels zeigen, was Du meinst. Ich verstehe es so nicht.

29.10.2011, 17:02

galoisseinbruder

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Die Definition

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (f + g)(m) := f(m) + g(m) \end{eqnarray*}$

für die Abbildung $\begin{eqnarray*} f+g: M \rightarrow N, m \mapsto f(m)+g(m) \end{eqnarray*}$
einsetzen, und "(N,+) ist abelsche Gruppe" verwenden.

Aber mal ehrlich: Das ist keine Erstsemster-Aufgabe. Ergo bist Du wahrscheinlich auch kein Erstsemester. Definitionen einsetzen solltest Du schonmal gemacht haben.

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