Beweis Ring, Körper

28.10.2011, 11:01

DudiPupan

Beweis Ring, Körper

Hallo,
ich bin gerade dabei folgende Aufgabe zu bearbeiten:
Es sei $\begin{eqnarray*} (K ,+ ,\cdot ) \end{eqnarray*}$ ein Körper. Auf dem kartesischen Produkt $\begin{eqnarray*} K\times K \end{eqnarray*}$
defi nieren wir die komponentenweise Addition und Multiplikation $\begin{eqnarray*} \otimes , \oplus \end{eqnarray*}$ ,
durch
$\begin{eqnarray*} (a, b)\oplus (c, d) = (a + c, b + d) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (a, b)\otimes (c, d) = (ab, cd) \end{eqnarray*}$ . Beweisen oder widerlegen Sie folgende Behauptungen:
a) $\begin{eqnarray*} (K\times K ,\oplus ) \end{eqnarray*}$ ist Gruppe.
b) $\begin{eqnarray*} (K\times K ,\oplus , \otimes) \end{eqnarray*}$ ist Körper.

Mir fehlt einfach der Ansatz für die Bearbeitung dieser Aufgabe und wäre über jede Hilfestellung sehr dankbar!

28.10.2011, 11:10

lgrizu

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RE: Beweis Ring, Körper
Prüfe für a) doch einfach erst mal die Gruppenaxiome:

Existiert ein Nullelement? Existiert ein additiv inverses? gilt das Assoziativgesetz?

Das ist prinzipiell nur herumrechnerei.

Bei b) reicht aus, ein Körperaxiom zu finden, das nicht erfüllt ist.

28.10.2011, 11:54

DudiPupan

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Okay, also ich hab das jetzt einfach mal versucht und folgendes kam dabei raus für a):

i) assoziativ?
$\begin{eqnarray*} ((a,b)\oplus (c,d))\oplus (e,f) = (a+c+e, b+d+f) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a,b)\oplus ((a,d)\oplus (e,f)) = (a+c+e, b+d+f) \end{eqnarray*}$
=> assoziativ!

ii) neutrales Element?
$\begin{eqnarray*} (a,b)\oplus (e1,e2) = (e1,e2)\oplus (a,b) = (a, b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =(a+e1, b+e2) = (a,b) \end{eqnarray*}$
=>e1=e2=0
neutrales Element: (0,0)

iii) Inverse?
$\begin{eqnarray*} (a,b)\oplus a^{-1}=(0,0) \end{eqnarray*}$
=> $\begin{eqnarray*} a^{-1}=(-a,-b) \end{eqnarray*}$

iv) abelsch?
$\begin{eqnarray*} (a,b)\oplus (c,d) =? (c,d)\oplus (a,b) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a,b)\oplus (c,d) = (a+c, b+d) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (c,d)\oplus (a,b)=(c+a, d+b) \end{eqnarray*}$
=> Da $\begin{eqnarray*} (K,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, muss $\begin{eqnarray*} (K,+) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe sein für die gilt: a+b=b+a für alle a,b in K und somit gilt auch c+a = a+c und d+b = b+d für alle a,b,c,d in $\begin{eqnarray*} K\times K \end{eqnarray*}$ .
Also ist (c+a, d+b)=(a+b, b+d) und $\begin{eqnarray*} (K\times K, \oplus) \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe!

Stimmt die Herleitung über den Körper $\begin{eqnarray*} (K,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ bei iv)???
Und der Rest?!

28.10.2011, 12:36

DudiPupan

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Nochmals eine Zwischenfrage.
Bei der Definition der Körper, muss nach dem 3. Körperaxiom das Distributivgesetz gelten. Dieses ist aber schon auf die Verknüpfungen bezogen, oder?
Also muss für einen Körper $\begin{eqnarray*} (K\times K, \oplus, \otimes) \end{eqnarray*}$ gelten:
$\begin{eqnarray*} (a,b)\otimes ((c,d)\oplus (e,f))=(a,b)\otimes (c,d) \oplus (a,b)\otimes (e,f) \end{eqnarray*}$ ?!

28.10.2011, 13:12

Math1986

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Zitat:

Original von DudiPupan
Bei der Definition der Körper, muss nach dem 3. Körperaxiom das Distributivgesetz gelten. Dieses ist aber schon auf die Verknüpfungen bezogen, oder?
Also muss für einen Körper $\begin{eqnarray*} (K\times K, \oplus, \otimes) \end{eqnarray*}$ gelten:
$\begin{eqnarray*} (a,b)\otimes ((c,d)\oplus (e,f))=(a,b)\otimes (c,d) \oplus (a,b)\otimes (e,f) \end{eqnarray*}$ ?!

Ja, das ist richtig.

Der Beweis der Gruppenaxiome stimmt soweit, für die Körperaxiome gehst du analog vor.

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