Potenzfunktionen

04.01.2007, 17:29

Medi

Potenzfunktionen

Hallo zusammen,

schon wieder ein Problem.
Ich habe eine Hausaufgabe bekommen, mit der ich gar nichts anfangen kann.

Überschrift: Potenzfunktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{n} n \in N \end{eqnarray*}$
Darunter befindet sich eine Tabelle, in der in den horizontalen Spalten verschiedene Arten der Potenzfunktionen stehen.
$\begin{eqnarray*} y = x²^{m} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=x²^{m-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=x-²^{m} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt[m]{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=a^{x} (a>0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=logax (a ungleich 1) \end{eqnarray*}$ (a ist klein)

In den vertikalen Spalten stehen:
Graph
Bezeichnung
Db
Wb
Verlauf (Quadranten)
NS
Sy
Monotonie
Charakteristische Punkte
Symmetrie

Nun soll ich für jede der Funktionen (7 an der Zahl) diese Eigenschaften eintragen.
Ich habe aber keine Ahnung von diesen Potenzfunktionen und würde mich freuen, wenn ihr mir dabei helfen könntet!

Danke im Voraus, ich bin echt auf euch angewiesen!
Liebe Grüße,
Medi

04.01.2007, 17:32

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Erstmal wäre es nicht schlecht wenn du die Beispieltabelle nochmal ordentlich darstellst, da es wohl einen kleinen Fehler im Latexscript gab ?!

Was nun $\begin{eqnarray*} y = (x²)^m \end{eqnarray*}$ oder war das ² nur aus versehen?

04.01.2007, 17:40

Medi

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Entschuldige, aber ich hab nur abgeschrieben, was hier auf dem Ausdruck steht, den ich von meiner Lehrerin habe ...

Und da steht: $\begin{eqnarray*} y = x²^{m} \end{eqnarray*}$
Als Beispiel hat sie angegeben: $\begin{eqnarray*} y = x² \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} y=x^{4} \end{eqnarray*}$

LG,
Medi

04.01.2007, 17:42

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Hmm... damit kann ich jetzt nicht viel anfangen... Vielleicht widmet sich ein anderer mal der Aufgabe?!

04.01.2007, 17:46

Bjoern1982

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@ Medi

Also sollst du für 7 veschiedene Funktionen diese ganzen Punkte abarbeiten und y1=x² undd y2=x^4 sind zwei der sieben Funktionen.

Hab ich das richtig verstanden?

Und wenn ja, was möchtest du konkret wissen bzw wo hängst du genau ?

Gruß Björn

04.01.2007, 17:48

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Aber was ist das $\begin{eqnarray*} ^m \end{eqnarray*}$ im Latextext immer??

Zitat:

y = x²^{m}

Das bereitet mir Kopfzerbrechen?!

04.01.2007, 17:53

Medi

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Ich soll zu jedem der aufgelisteten Funktionen (hab sie grad in den ersten Post eingefügt) diese ganzen Eigenschaften aufschreiben!

Da steht immer eine Grundform (in der ersten Spalte: $\begin{eqnarray*} y=x²^{m} \end{eqnarray*}$ )
und darunter zwei Beispiele. Bei diesem ersten wären die Beispiele eben:
$\begin{eqnarray*} y=x² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=x^{4} \end{eqnarray*}$

Und ich weiß überhaupt nicht wie ich vorgehen soll!
Ich kenne mich mit Potenzen überhaupt nicht aus. Weiß praktisch null!

Und @ RS: was das mit dem m auf sich hat, kann ich dir nicht sagen, da ich selbst keine Ahnung davon habe ...

Medi

04.01.2007, 18:00

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Die Grundform ist bestimmt $\begin{eqnarray*} x^m \end{eqnarray*}$ , aber solange das nicht sicher ist...

Das ² ist bestimmt aufgrund des ersten Beispiels ausversehen reingerutscht oder?? Könnte das sein? Weil der "Latexquelltext" auch ziemlich komisch aussieht so ohne Klammer?

04.01.2007, 18:05

Medi

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Wieso, man könnte doch auch y= x^{2m} schreiben!

Ich denke nicht, dass es ein Versehen war. Denn bei den anderen Grundformen ist auch überall diese ² dabei!
Schau dir die Grundformen aus meinem ersten Post doch mal an, bitte.

Medi

04.01.2007, 18:40

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$\begin{eqnarray*} y =x^{2m} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=x^{2m-1} \end{eqnarray*}$
y=x-²^{m} den versteh ich nicht und der geht so glaube auch nicht? Ist vielleicht $\begin{eqnarray*} y=x^{-2m} \end{eqnarray*}$ gemeint??
$\begin{eqnarray*} y=\sqrt[m]{x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=a^{x} (a>0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=\log{ax} (a \neq 1) \end{eqnarray*}$ Ist das mit dem Log richtig oder soll a die Basis oder was auch immer darstellen??

04.01.2007, 18:41

Bjoern1982

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Was mich auch noch verwundert ist, dass alles unter dem Thema Potenzfunktionen steht aber jetzt auf einmal oben auch allgemeine Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktionen stehen...

Ob ihr wirklich von solch allgemeinen Funktionen die ganzen Eigenschaften rausfinden sollt...

Gruß Björn

04.01.2007, 19:30

Medi

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Aaalso Leute...

ja wir sollen von diesen ganzen Funktionen die Eigenschaften raussuchen! Denn genauso und nicht anders steht es in der Tabelle, die wir ausgteilt bekommen haben!

Und RS: Ja ich meinte $\begin{eqnarray*} y= x^{-2m} \end{eqnarray*}$
Für mich ist das latex eben noch sehr neu, da können solche kleine fehlerchen mal passieren.

Und wegen dem log, also das a ist klein und runter gestellt und das x ist groß!
Wie hast du das ungleich-Zeichen gemacht?

Wieso könnt ihr mir denn nicht helfen? unglücklich

LG,
Medi

04.01.2007, 19:34

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also wegen dem ungleich der code lautet \neq

Und wegen dem y=x-²^{m}. Wo soll das Minus hin, vor die zwei hochgestellt oder?also x hoch -2m oder?

04.01.2007, 19:53

Medi

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$\begin{eqnarray*} y= x^{-2m} \end{eqnarray*}$
Es soll so heißen! x hoch -2m!

Hier die Blätter:

http://i14.photobucket.com/albums/a319/Satsch/MatheTabelle1.jpg

http://i14.photobucket.com/albums/a319/Satsch/MatheTabelle2.jpg

LG,
Medi

04.01.2007, 20:08

Bjoern1982

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Na dann lass uns doch mal mit der ersten Funktion anfangen.

Hier geht es ja offensichtlich um Potenzfunktionen mit geradem Exponenten.

Der Graph dazu wird deshalb aus symmetrischen Gründen immer eine ganz charakteristische Eigenschaft haben.....kannst du dir vorstellen welche das ist ?

Gruß Björn

04.01.2007, 22:29

Medi

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Oh danke!

Schön, dass du mir helfen möchtest!

Na ja, er ist eine Parabel und somit axialsymmetrisch!

Sag mal, was meinst du, soll ich das ganz allgemein ausfüllen, oder eins der Beispiele nehmen?
Allgemein dürfte nicht gehen, oder?!

Gut Nacht,
Medi

05.01.2007, 09:44

Bjoern1982

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Hi

Ich denke nach einem Blick auf deine beiden Blätter jetzt schon, dass du es allgemein machen sollst.

Zitat:

Na ja, er ist eine Parabel und somit axialsymmetrisch!

Das hast du ja schon gut erkannt....man müsste vielleicht nur noch konkreter sagen zur WELCHER Achse der Graph jeder solchen Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2m} \end{eqnarray*}$ symmetrisch ist.

Bin mir nur nicht sicher ob jetzt in die Graphenzeile jetzt nur "symmetrisch zur ...-Achse" oder "zur ...-Achse symmetrische Parabel" rein soll...

Und ob hier als Bezeichnung die Bezeichnung des Graphen oder der Funktion gemeint ist.....ich denke aber eher das zweite Augenzwinkern

Die Bezeichnung der Funktion hatte ich dann auch schon in meinem letzten Post erwähnt ^^

Der Definitonsbereich richtet sich ja immer danach, was man alles für x einsetzen darf. Gegebenfalls muss man solche Werte, die man NICHT einsetzen darf (z.B. darf man bei f(x)=1/x für x nicht null einsetzen, da man nicht durch null teilen darf), ausschliessen.

Bei der Bestimmung des Wertebereichs ist es wichtig zu folgern, welche y-Werte der Graph der Funktion annehmen kann.
Das wird meist durch kurzes Skizzieren eines Graphen der obigen Funktion deutlich, ist also durchaus allgemeingültig für alle Graphen der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2m} \end{eqnarray*}$

Erstmal soweit....wenn du noch Fragen zu den nächsten Eigenschaften hast melde dich einfach.

Gruß Björn

05.01.2007, 10:32

Medi

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Gut, erste Frage^^

Wie zeichne ich denn $\begin{eqnarray*} y=x^{2m} \end{eqnarray*}$ ??
Ich weiß nur, wie ich $\begin{eqnarray*} y=x² \end{eqnarray*}$ einzeichnen würde.
Dann wäre der Graph axialsymmetrisch zur y-Achse!

Definitionsbereich wäre doch dann: $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
Und Definitionsbereich kann ich nicht sagen, weil ich nicht weiß, wie ich das einzeichnen soll - so allgemein ...

Und zur Bezeichnung: Potenzfunktionen mit geradem Exponenten?!

05.01.2007, 10:45

Bjoern1982

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Zitat:

Wie zeichne ich denn $\begin{eqnarray*} y=x^{2m} \end{eqnarray*}$ ??

Ich denke dass du hier nur allgemein einen Graphen dieser allgemeinen Funktionen skizzieren sollst....also nur deutlich machen (ohne irgendwelche Skalierungen der Achsen), dass der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft, das reicht schon.

Zitat:

Dann wäre der Graph axialsymmetrisch zur y-Achse!

Jap

Zitat:

Definitionsbereich wäre doch dann: $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Richtig

Ist übrigens auch bei allen Potenzfunktionen so (also bei allen auf dem ersten Blatt).

Zitat:

Und Definitionsbereich kann ich nicht sagen, weil ich nicht weiß, wie ich das einzeichnen soll - so allgemein ...

Du meinst hier wohl den Wertebereich.
Stell dir mal die Frage ob der Graph einer solchen Funktion immer oberhalb oder immer unterhalb der x-Achse verlaufen muss....mit dem Blick auf gerade Exponenten....denn was machen gerade Exponenten immer mit einer Zahl, selbst wenn sie negativ ist ?

Zitat:

Und zur Bezeichnung: Potenzfunktionen mit geradem Exponenten?!

Genau

Gruß Björn

05.01.2007, 11:27

Medi

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Hey, find ich klasse, dass du mir so hilfst! smile

Also zum Wertebereich (hatte mich verschrieben) ...
$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R ; y \leq ... \end{eqnarray*}$

Na, wenn du das schon so sagst *gg* dann können die alle nur oberhalb liegen, richtig? Also ...
$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R ; y \leq 0 \end{eqnarray*}$ ??

Gut, wenn das richtig ist, fehlen also noch Verlauf, Nullstellen, Sy, Monotonie und Charakteristische Punkte.

Verlauf ist doch sicher in den Quadranten I und II, oder?

05.01.2007, 12:12

Bjoern1982

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Zitat:

Na, wenn du das schon so sagst *gg* dann können die alle nur oberhalb liegen, richtig?

Genau...aber dann besteht die Wertemenge aus allen y-Werten die größer oder gleich null sind nicht kleiner gleich null. Das ist bei dieser Funktion IMMER so weil der Tiefpunkt im Urprung liegt.

Zitat:

Verlauf ist doch sicher in den Quadranten I und II, oder?

Genau

Nullstellen ----> Setze die Funktion gleich null und löse allgemein nach x auf

Sy ---> Das sind die Schnittstellen mit der y-Achse, deshalb bilde f(0)

Monotonie ----> Hier musst du Aussagen über das Steigungsverhalten des Graphen machen....was macht der Graph links vom Ursprung, was macht er rechts vom Ursprung ?

Charakteristische Punkte ----> Welchen Punkt haben alle Graphen der Funktion gemeinsam...hab ich auch schonmal erwähnt (Tiefpunkt)
Es gibt aber noch andere Punkte die jeder Graph dieses Funktionstyps gemeinsam hat....setz einfach mal Werte für x ein und guck was rauskommt

Ich hoffe das hilft dir weiter.
Ich bin jetzt erstmal weg, schaue aber nachher nochmal rein und gucke wie weit du gekommen bist.

Schönen Tag noch smile

Gruß Björn

05.01.2007, 12:41

Medi

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Nun gut, ich mach mal alles durch!

Graph:
kann ich irgendwie hier nicht zeichnen...

Bezeichnung:
Potenzfunktion mit geradem Exponenten

Db:
$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wb:
$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R ; y\leq 0 \end{eqnarray*}$

Verlauf:
I und II

Nullstellen:
$\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$

Sy:
$\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ ´

Monotonie:
$\begin{eqnarray*} \infty \geq x \geq 0 \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend
$\begin{eqnarray*} \infty \leq x \leq 0 \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend

Charakteristische Punkte:
Koordinatenursprung

Symmetrie:
axialsymmetrisch zur y-Achse

Alles richtig so?
Ich warte auf dich Augenzwinkern

Liebe Grüße,
Medi

05.01.2007, 14:38

Bjoern1982

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Zum Graphen:

Vielleicht reicht es auch in das Feld einfach "zur y-Achse symmetrische Parabel" zu schreiben.

Zitat:

Wb:
$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R ; y\leq 0 \end{eqnarray*}$

Da der Graph doch oberhalb der x-Achse verläuft kann er nur y-Werte annehmen die größer oder gleich null sind , also

$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R ; y\geq 0 \end{eqnarray*}$

Sy:

Hiermit ist die STELLE auf der y-Achse gemeint, an der der Graph der Funktion
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2m} \end{eqnarray*}$ die y-Achse schneidet oder berührt.
Da der Tiefpunkt immer (0/0) ist, folgt daraus auch dass die Schnittstelle auf der y-AChse auch immer y=0 ist.

Monotonie:

Links des Ursprungs fällt der Graph und rechts davon steigt er.
Mathematisch kannst du das auch so schreiben:

Im Intervall $\begin{eqnarray*} ]-\infty ; 0[ \end{eqnarray*}$ ist der Graph von f monoton fallend.
Im Intervall $\begin{eqnarray*} ]0 ; \infty [ \end{eqnarray*}$ ist der Graph von f monoton steigend.

Charakteristische Punkte:

Der Ursprung (0/0) ist schon richtig, denn er ist gleichzeitig Tiefpunkt jeder Funktion der Form $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2m} \end{eqnarray*}$ .

Aber es gibt noch zwei weitere Punkte....überlege mal was passiert wenn du -1 oder 1 für x einsetzt Augenzwinkern

Der Rest stimmt soweit smile

Bin heute Abend wieder da und schau dann nochmal rein.
Als kleiner Tip zur nächsten Funktion: Hier geht es jetzt um Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten, denn 2m-1 erzeugt für alle m aus IN eine ungerade Zahl.

Viel Spass weiterhin Medi Wink

Gruß Björn

05.01.2007, 14:44

Medi

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Hey Björn,

vielen Dank smile

Also sind weitere charakteristische Punkte 1 und -1, weil die ja nicht quadriert werden können?!

Ich versuch mich dann mal durch die zweite Funktion zu schlagen ...
Mal sehen ob oder wie weit ich es schaffe.

Lieben Gruß,
Medi

05.01.2007, 14:54

Bjoern1982

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Hui das war schnell ^^

Zitat:

Also sind weitere charakteristische Punkte 1 und -1, weil die ja nicht quadriert werden können?!

Denk dran dass -1 und 1 nur STELLEN sind, also x-Koordinaten.
Für die vollständigen Punkte brauchst du jeweils noch die y-Koordinate.

Wenn du x=1 oder x= -1 in $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2m} \end{eqnarray*}$ einsetzt, wie lautet dann wohl der y-Wert aufgund des geraden Exponenten ?

Als charakteristische Punkte musst du dann (0/0) und (-1 / ...) und (1 / ...) schreiben.

Ich hoffe das hilft dir weiter =)

So, jetzt bin ich aber wirklich weg.
Bis nachher Wink

Schöne Grüße
Björn

05.01.2007, 15:03

Medi

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Ohje^^

Vielleicht $\begin{eqnarray*} 1;1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1;-1 \end{eqnarray*}$ ??
Nee, son Blödsinn ... aber 0 kanns doch eigentlich auch nicht sein, oder?

----------------------------------------------------------------------------------------------------
Zu dem zweiten:
$\begin{eqnarray*} y=x^{2m-1} \end{eqnarray*}$
Beispiel: $\begin{eqnarray*} y=x^{3} \end{eqnarray*}$

Bezeichnung:
Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten

Db:
$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wb:
$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R ; y \geq \infty \end{eqnarray*}$

Verlauf:
I + III

NS:
$\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$

Sy:
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

Monotonie:
$\begin{eqnarray*} \infty \geq x\geq \infty \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend
$\begin{eqnarray*} \infty \leq x\leq \infty \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend

Charakteristische Punkte:
Koordinatenursprung

Symmetrie:
/

Alles richtig?^^

05.01.2007, 20:22

Bjoern1982

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So...wieder da.

Zitat:

Vielleicht $\begin{eqnarray*} 1;1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1;-1 \end{eqnarray*}$ ??

Wenn man x=1 einsetzt kommt auch 1 raus ----> deshalb ist auch der Punkt (1/1) richtig und somit ein weiterer charakteristischer Punkt dieses Funktionstyps.

Wenn man x= -1 einsetzt kommt aber auch 1 raus, denn (-1)^2 oder (-1)^4 oder (-1)^6 ....usw...., das ergibt alles 1
Also ist auch der Punkt (-1 / 1) ein charakteristischer Punkt.

Rechnerisch bekommst du das übrigens auch so raus:

Wähle zwei verschiedene Funktionen dieses Typs, also

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x^{2m} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x)=x^{2n} \end{eqnarray*}$

m und n sind hier einfach zwei verschiedene natürliche Zahlen.

Wenn du diese zwei Funktionen gleichsetzt, eine Funktion dann auf die andere Seite bringst, so dass auf einer Seite der Gleichung null steht und dann geschickt ausklammerst kommst du auch auf die drei Lösungen....ist allerdings nicht ganz so einfach je nachdem in welche Klasse du gehst.
Wenn dich das dennoch interessiert sag einfach bescheid Augenzwinkern

Zitat:

Wb:
$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R ; y \geq \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y \geq \infty \end{eqnarray*}$ ----> das darf da nicht stehen, ergibt auch keinen Sinn, denn eine Zahl kann ja nicht größer als unendlich sein.

Monotonie:

Die Graphen dieses Funktionstypen sind überall streng monoton steigend, denn der Graph steigt von - unendlich bis 0, hat Im Ursprung einen sogenannten Sattelpunkt und steigt danach auch wieder weiter.

Das kann man z.B. so schreiben:

$\begin{eqnarray*} -\infty < x <\infty \end{eqnarray*}$ ---> streng monoton steigend

Merke dir auch dass du niemal ein kleinergleich oder größergleich verwenden darfst wenn ein unendlich im Spiel ist, denn x kann immer nur gegen unendlich bzw minus unendlich streben aber niemals einen Wert namens unendlich annehmen, da unendlich keine Zahl ist Lehrer

Symmetrie:

Die Graphen dieses Funktionstyps sind zwar nicht achsensymmetrisch aber punktsymmetrisch....und zwar zum Ursprung (0/0)

Der Rest stimmt aber soweit Freude

Gruß Björn

05.01.2007, 20:48

Medi

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Welcome back, Björn Augenzwinkern

Ich bin 11. aber auf dem mathemathischen Niveau der 5. Klasse ...
Ich glaube, für dieses Rechnungssystem bin ich erstmal nicht zu begeistern, aber danke für das Angebot Augenzwinkern

So ... wollen wir uns an die dritte wagen?^^

Bezeichnung:
Potenzfunktion mit geraden, negativen Exponenten

Db:
$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wb:
$\begin{eqnarray*} y\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ , y ... absolut keine Ahnung...

Verlauf:
III + IV

NS:
/

Sy:
/

Monotonie:
keine Ahnung *räusper* jedenfalls ist das eine str. m. fallend und das andere str. m. steigend

Charakteristische Punkt:
weiß nicht, keine?

Symmetrie:
punktsymmetrisch vielleicht? zur y und x Achse?^^

Du hasts schon schwer mir mir Augenzwinkern

05.01.2007, 20:54

Bjoern1982

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Ach neeee....ich helfe dir gerne, ehrlich smile

Machst das ja auch eigentlich ganz prima =)

Kann nur leider erst gegen 0 Uhr wieder schreiben, weil ich gleich noch Billard spielen gehe....aber da machste bestimmt schon heia Augenzwinkern

Wenn nicht dann bis nachher...ansonsten bis morgen Wink

Schöööönen Abend

Gruß Björn

05.01.2007, 21:01

Medi

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Na dann warte ich auf deine Antwort eben bis morgen smile

Nach der Comedy-Sendung mit Mario Barth is Schluss :P

Dir viel Spaß beim Billiard.
Gut Nacht^^
Die Medi

06.01.2007, 01:02

Bjoern1982

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So...da bin ich kleine Nachteule nochmal =)

Bezeichnung, NS und Sy stimmen.

Zum Rest geb ich nochmal meinen Senf dazu Augenzwinkern

Db:

Man darf für x diesmal nicht alle reellen Zahlen einsetzen (hatte ich glaub ich vorhin dann falsch geschrieben...entschuldige), denn stell dir die Funktion mal so vor: $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-2m}=\frac{1}{x^{2m}} \end{eqnarray*}$

Somit erkennt man, dass das x im Nenner steht....und da man ja nicht durch null dividieren darf....welche Zahl darf man da wohl nicht für x einsetzen ?

Wb:

Hast du dir schonmal angeschaut wie der Graph von $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-2} \end{eqnarray*}$ aussieht?
Hier lässt sich schon erkennen dass die Graphen dieses Funktionstyps immer oberhalb der x-Achse verlaufen, weshalb nur solche y-Werte angenommen werden die größer als null sind.

Verlauf:

Da die Graphen oberhalb der x-Achse verlaufen kommen nicht der 3. und 4. Quadrant in Frage sondern...

Monotonie:

$\begin{eqnarray*} -\infty < x < 0 \end{eqnarray*}$ ----> str. mo. fallend

$\begin{eqnarray*} 0 < x < \infty \end{eqnarray*}$ ----> str. mo. steigend

(siehe Graphen....hast du eigentlich noch Fragen zur Schreibweise mit diesen ganzen Intervallen von minus unendlich bis null usw.... ? )

Symmetrie:

Mal was grundlegendes:

Wenn ein Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft gilt immer:

f(x)=f(-x)

Wenn ein Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist gilt immer :

f(x)=- f(-x)

Überprüfe doch mal was raus kommt wenn du in $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-2m} \end{eqnarray*}$ für jedes x jetzt -x einsetzt....und benutze dabei, dass $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-2m}=\frac{1}{x^{2m}} \end{eqnarray*}$

Die Graphen sind auf jeden Fall symmetrisch....probiers doch mal smile

Charakteristische Punkte:

Doch, es gibt hier zwei charakteristische Punkte, die jeder Graph dieses Funktionstyps gemeinsam haben....und es gibt eigentlich nur die Möglichkeit, dass man entweder durch Überlegen bzw Vergleichen verschiedener Graphen darauf kommt oder eben durch den oben schonmal erwähnten Rechenweg...

Ansonsten mach die doch mal ein paar Wertetabellen z.B. zu $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-4} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-6} \end{eqnarray*}$

Schaue dann mal für welche Werte für x es gemeinsame y-Werte gibt.

Ok. soviel erstmal dazu....ich geh jetzt auch pennen.

Bis nachher Big Laugh

Gruß Björn

06.01.2007, 01:10

babelfish

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ich habs mal => verschoben!

06.01.2007, 12:56

Medi

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Morgen

Db:
Nicht 0 einsetzen, oder wie?
Und wie schreib ich das?

Verlauf + Wb:
Die Graphen verlaufen doch aber gar nicht oben, sondern unten!

http://i14.photobucket.com/albums/a319/Satsch/Graph.jpg

Schreibweise:
Intervalle brauch ich eher nicht, danke.

Wenn ich -x einsetze, dann sind die Graphen oben.
Was schließe ich jetz daraus?

Symmetrie + Charakteristische Punkte:
Hilfeeee...

LG,
Medi

06.01.2007, 13:13

Bjoern1982

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Morgen =)

Db:

Genau, man darf nicht null für x einsetzen.
Man darf also alle reellen Zahlen bis auf die null einsetzen und das kann man z.B. so schreiben:

D=IR\{0} (die Menge der reellen Zahlen ohne null)

Verlauf und Wb :

Also bei mir sieht das so aus:

Symmetrie:

Wenn du in $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-2m}=\frac{1}{x^{2m}} \end{eqnarray*}$ für x hier -x einsetzt entsteht ja

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\frac{1}{(-x)^{2m}} \end{eqnarray*}$

Und da der Exponent eine gerade Zahl ist wird aus dem minus immer ein plus und es gilt damit f(-x)=f(x) -----> achsensymmetrisch zur y-AChse

Du musst eben überprüfen ob auch wieder f(x) rauskommt wenn man für f(-x) bildet.

Charakteristische Punkte:

Schau doch mal wo sich die drei Graphen in der Skizze hier schneiden....also in welchem Punkt....das sind die charakteristischen Punkte.

Achja und solche Graphen bezeichnet man übrigens als Hyperbeln, also immer wenn der Exponent negativ ist.

Und noch eine Ergänzung zum zweiten Funktionstypen mit den ungeraden Exponenten bezüglich der charakteristischen Punkte:

Neben dem Usprung gibt es auch hier noch zwei weitere erwähnenswerte Punkte, was die diese Skizze vielleicht verdeutlicht (gemeinsame Punkte):

Ich hoffe das hilft dir weiter.
Bei Fragen einfach melden.

Gruß Björn

06.01.2007, 13:49

Medi

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bjoern1982

D=IR\{0}

I R? Oder wolltest du das R nur so machen: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Bjoern1982
Verlauf und Wb :

Also bei mir sieht das so aus:

Hä? Das versteh ich nicht ... ich habs doch richtig eingegeben ...
Mach das bitte mal da: http://www.matheboard.de/plotter.php

Zitat:

Original von Bjoern1982
Symmetrie:

Wenn du in $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-2m}=\frac{1}{x^{2m}} \end{eqnarray*}$ für x hier -x einsetzt entsteht ja

$\begin{eqnarray*} f(-x)=\frac{1}{(-x)^{2m}} \end{eqnarray*}$

Und da der Exponent eine gerade Zahl ist wird aus dem minus immer ein plus und es gilt damit f(-x)=f(x) -----> achsensymmetrisch zur y-AChse

Du musst eben überprüfen ob auch wieder f(x) rauskommt wenn man für f(-x) bildet.

Davon versteh ich nur Bahnhof .. unglücklich

Zitat:

Original von Bjoern1982
Charakteristische Punkte:

Schau doch mal wo sich die drei Graphen in der Skizze hier schneiden....also in welchem Punkt....das sind die charakteristischen Punkte.

Also (1;1) und (-1;1)?

Zitat:

Original von Bjoern1982
Neben dem Usprung gibt es auch hier noch zwei weitere erwähnenswerte Punkte, was die diese Skizze vielleicht verdeutlicht (gemeinsame Punkte):

Also (-1;-1) und (1;1)?!

Die Medi

06.01.2007, 14:06

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

I R? Oder wolltest du das R nur so machen: $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$

Ja, ich war zu faul das mit dem Formeleditor zu machen....ich meinte IR, also die Menge der reellen Zahlen (also mit Doppelbalken) Augenzwinkern

Zitat:

Mach das bitte mal da: http://www.matheboard.de/plotter.php

Das hab ich ja da gemacht verwirrt

Zitat:

Davon versteh ich nur Bahnhof ..

Ich wollte dir nur mal allgemeingültige Methoden zeigen wie man bestimmte Arten von Symmetrie immer nachweisen kann.
Falls dir das unbekannt vorkommt und ihr das noch nie im Unterricht so hattet dann geht das eben nur durch zeichnen einiger Beispielgraphen.....das ist dann zwar kein mathematischer Beweis aber anhand der Graphen kann man zumindest eine bestimmte Symmetrie vermuten...

Der Rest stimmt.

Gruß Björn

06.01.2007, 14:51

Medi

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Und wieso sind die Graphen bei dir oben und bei mir unten??

06.01.2007, 15:10

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Da bin ich leider auch überfragt...

Dein Graph passt eigentlich zu $\begin{eqnarray*} f(x)=-x^{-2} \end{eqnarray*}$

Probiers doch nochmal...

Moment ^^ jetzt seh ichs....du hast wahrscheinlich beim Wertebereich für die x und y-Werte 5:-5 eingegeben.

Man muss aber immer erst die untere Grenze eingeben, also -5:5

Das siehst du daran dass in deinem Koordinatensystem die negativen y-Werte oberhalb der x-AChse sind...

Ist der Rest denn klar ?

Björn

06.01.2007, 15:50

Medi

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Achsooo, ich verstehe^^
Danke, ja dann is alles andere klar. smile

Wie war jetzt da der Wb?^^

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Und nun zur 4. Gleichung?

Bezeichnung:
Potenzfunktionen mit ungeradem, negativem Exponenten

Db:
$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Wb:
$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und nix weiter, oder? kann ja alles sein?!

Verlauf:
I + III

NS:
/

Sy:
/

Monotonie:
...

Charakteristische Punkte:
(1;1) (-1;-1)

Symmetrie:
achsensymmetrisch zum Koordinatenursprung?

---------------------------------------------------------------

Noch ne Frage zur Monotonie der letzten Gleichung,
ich denke es geht nicht das x größer ist als Unendlich?!

LG,
Medi

06.01.2007, 16:14

Bjoern1982

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Zitat:

Wie war jetzt da der Wb?

Schau dir den Graphen bzw die Graphen zu diesem Funktionstyp doch genau an....welche y-Werte werden hier nur angenommen, da diese Graphen ja immer oberhalb der x-Achse verlaufen ?

Zur 4. Funktion:

Db:

Auf den ersten Blick scheint es zwar so als könne man alles für x einsetzen, aber auch hier gilt wieder $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{-(2m-1)}=\frac{1}{x^{2m-1}} \end{eqnarray*}$

Aufgrund des negativen Exponenten steht auch hier wieder das x im Nenner...was muss man also wiederum ausschließen ?

Zitat:

Wb:
$\begin{eqnarray*} y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und nix weiter, oder? kann ja alles sein?!

Einen y-Wert muss man hier ausschließen...kann dieser Bruch jemals null werden ? (siehe NS)

Monotonie:

Was bereitet dir denn hier genau Probleme? Das mathematische Aufschreiben oder das Erkennen wann der Graph steigt oder fällt ?

Zitat:

Charakteristische Punkte:
(1;1) (-1;-1)

Symmetrie:
achsensymmetrisch zum Koordinatenursprung?

You got it Medi Freude

Zur letzten Funktion:

Zitat:

Monotonie:

$\begin{eqnarray*} -\infty < x < 0 \end{eqnarray*}$ ----> str. mo. fallend

$\begin{eqnarray*} 0 < x < \infty \end{eqnarray*}$ ----> str. mo. steigend

Beziehst du dich hierauf mit deiner Frage?

Ich betrachte ja einmal das Intervall zwischen minus unendlich und null bzw das Intervall zeischen 0 und unendlich. Anders könnte man auch sagen man betrachtet alle x-Werte die kleiner als null sind und alle die größer als null sind und ordnet jedem dieser Bereiche die entsprechende Monotonie zu.

Gruß Björn

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