Äquivalenzen zu affin abhängig

28.10.2011, 13:41

Lea

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Äquivalenzen zu affin abhängig

Hallo,
hab eine Aufgabe bei der ich nicht richtig voran komme:
Ich will die Äquivalenz für $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und Vektoren $\begin{eqnarray*} \nu_1,..., \nu_m \end{eqnarray*}$ der folgenden Aussagen zeigen:

a) $\begin{eqnarray*} \{\nu_1,...,\nu_m\} \end{eqnarray*}$ ist affin abhängig.
b) Es existiert ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R^m, \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i \nu_i=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ .
c) Die Menge $\begin{eqnarray*} \{ \nu_2 - \nu_1,..., \nu_m - \nu_1 \} \end{eqnarray*}$ ist linear abhängig.
d) Die Menge $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} \nu_1 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} \nu_2 \\ 1 \end{pmatrix},...,\begin{pmatrix} \nu_m \\ 1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray*}$ ist linear abhängig.

Ich wollte das ungefähr so zeigen: a) -> b) -> c) -> d) -> a)

1. a) -> b): also im Prinzip ist das ja die Definition von affin abhängig oder? ABer irgendwie muss ich das ja zeigen. Habe überlegt, das über die affine Hülle zu tun: Eine endliche Menge S von Vektoren heißt affin abhängig genau dann, wenn es einen Vektor $\begin{eqnarray*} \nu \in S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \nu \in aff (S\ \nu) \end{eqnarray*}$ gibt. Komme da aber irgendwie nicht so richtig weiter.
2. b) -> c): Die Def. für lineare Anhängigkeit in bezug auf c) wäre ja: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^m \lambda_i (\nu_i- \nu_1)=0 \end{eqnarray*}$ und mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
Mir fehlen nur immer die Ideen zu den Zwischenschritten wie ich von dem einen auf das andere komme. Kann mir da jemand mit ein paar Tipps vllt. auf die Sprünge helfen. Wäre echt super. Danke schonmal.

28.10.2011, 18:37

Dustin

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Hallo Lea!

Also, die Definition für lineare Abhängigkeit hast du ja offensichtlich drauf. Im Grunde ist diese Aufgabe nicht allzu schwierig, wenn du dir die Definitionen von c) und d) sauber aufschreibst (bei c) hast du das ja schon getan).
Wichtig: Benenne die Parameter aus b), c) und d) unterschiedlich! Zum Beispiel nennst du sie bei b) $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ , bei c) $\begin{eqnarray*} \lambda^*_i \end{eqnarray*}$ und bei d) $\begin{eqnarray*} \lambda^-_i \end{eqnarray*}$ .

Wenn du jetzt zum Beispiel b --> c zeigen willst, besteht dein Ziel darin, aus den vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ , die nach Voraussetzung die Bedingungen aus b) erfüllen, die $\begin{eqnarray*} \lambda^*_i \end{eqnarray*}$ so zu berechnen, dass die Bedingungen von c) erfüllt sind.

Relativ am einfachsten ist es übrigens, b ==> d und d ==> c zu zeigen.

IOch hoffe, dich bringen diese allgemeinen Hinweise schon weiter. Wenn nicht, melde dich nochmal, dann können wir auch noch ein wenig konkreter werden.

VG Dustin

29.10.2011, 11:06

Lea

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RE: Äquivalenzen zu affin abhängig
Hallo,

danke für die Antwort.

Also ich hab es jetzt mal formal aufgeschrieben:

b) Es existiert ein $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R^m, \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i \nu_i=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ .

c) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^m \lambda_i *(\nu_i- \nu_1)=0 \end{eqnarray*}$ und mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_i* \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

d) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda^-_i \begin{pmatrix} \nu_i \\ 1 \end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$ und mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda^-_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Dustin
Wenn du jetzt zum Beispiel b --> c zeigen willst, besteht dein Ziel darin, aus den vorgegebenen $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ , die nach Voraussetzung die Bedingungen aus b) erfüllen, die $\begin{eqnarray*} \lambda^*_i \end{eqnarray*}$ so zu berechnen, dass die Bedingungen von c) erfüllt sind.

So im Prinzip ist mir das klar. Ich weiß allerdings nicht so recht wie da ran gehen soll und das aufschreiben soll.

Wo mir das Prinzip allerdings nicht so ganz klar ist, ist von a) -> b) und von
d)-> a).

30.10.2011, 02:39

Dustin

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Hallöchen! smile

smile

Also deine Schreibweisen sind schon mal gut und richtig!

Zitat:

Ich weiß allerdings nicht so recht wie da ran gehen soll und das aufschreib

Beispiel: Wir wollen b--> c zeigen. Wir wissen also, dass es ein $\begin{eqnarray*} \lambda\in R^m \end{eqnarray*}$ gibt, das die Bedingungen aus b) erfüllt.
Jetzt überlegst Du Dir, wie man daraus ein $\begin{eqnarray*} \lambda^* \end{eqnarray*}$ ableiten kann, dass c) erfüllt.
Wenn Du bedenkst, dass Du die Summe bei c) auch bei i=1 starten lassen kannst (warum?) und dann die Summe in zwei Summen zerlegst, dann steht da bei c):

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda^*_i \nu_i- \sum\limits_{i=1}^m\lambda^*_i \nu_1=0 \end{eqnarray*}$ und mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_i* \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt vergleich das mal mit der Voraussetzung aus b) und dann sag mir, wie man $\begin{eqnarray*} \lambda^* \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmen kann.

Zitat:

Wo mir das Prinzip allerdings nicht so ganz klar ist, ist von a) -> b) und von d)-> a).

Wie habt Ihr denn affine Abhängigkeit definiert? Wenn die Definition genau mit b) übereinstimmt, brauchst du da nix zu zeigen.

Viele Grüße, Dustin

30.10.2011, 11:05

Lea

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RE: Äquivalenzen zu affin abhängig
Hallo,
also ich wäre dann soweit:
c) kann man auch bei i=1 starten lassen, weil der erste Summand 0 ergibt.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda^*_i \nu_i- \sum\limits_{i=1}^m\lambda^*_i \nu_1= \sum\limits_{i=1}^m \lambda^*_i \nu_i- \nu_1\sum\limits_{i=1}^m\lambda^*_i=0 \end{eqnarray*}$ und mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_i* \neq 0 \end{eqnarray*}$ .
So sieht das ja sehr ähnlich zur Voraussetzung in b) aus. Und da in b) dies genau für ein $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, gilt dies ebenso hier für ein $\begin{eqnarray*} \lambda*\neq 0 \end{eqnarray*}$ Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt. Reicht das als Begründung der Äquivalenz?
Habe es so ähnlich bei c) nach d) probiert, aber da ging es irgendwie nicht so einfach durch umformen. Der Vektor irritiert mich da etwas.

zu a)->b) und d)->a):
Ich habe im Internet die Definition für affine Abhängigkeit so gefunden wie in b). Wir haben es allerdings so definiert:Eine endliche Menge S von Vektoren heißt affin abhängig genau dann, wenn es einen Vektor $\begin{eqnarray*} \nu \in S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \nu \in aff (S\ \nu) \end{eqnarray*}$ gibt. (Also über die affine Hülle.) Von daher denke ich, dass ich da durchaus noch was zeigen muss oder?

Grüße

Les

30.10.2011, 11:37

Dustin

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Guten Morgen Lea smile

smile

Zitat:

c) kann man auch bei i=1 starten lassen, weil der erste Summand 0 ergibt. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda^*_i \nu_i- \sum\limits_{i=1}^m\lambda^*_i \nu_1= \sum\limits_{i=1}^m \lambda^*_i \nu_i- \nu_1\sum\limits_{i=1}^m\lambda^*_i=0 \end{eqnarray*}$ und mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_i* \neq 0 \end{eqnarray*}$ . So sieht das ja sehr ähnlich zur Voraussetzung in b) aus. Und da in b) dies genau für ein $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ gilt, gilt dies ebenso hier für ein $\begin{eqnarray*} \lambda*\neq 0 \end{eqnarray*}$ Ich hoffe ich habe mich verständlich ausgedrückt. Reicht das als Begründung der Äquivalenz?

Noch etwas präziser (das meintest du wahrscheinlich auch): Mit $\begin{eqnarray*} \lambda^*:=\lambda \end{eqnarray*}$ sind die Bedingungen aus c) erfüllt, also gilt b --> c.
(Zum Verständnis der Schreibweise: $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist der Vektor mit den Einträgen $\begin{eqnarray*} \lambda_i \end{eqnarray*}$ )
Übrigens hast du da auch gleich c --> b, wenn du $\begin{eqnarray*} \lambda^* \end{eqnarray*}$ als gegeben ansiehst und dann $\begin{eqnarray*} \lambda=\lambda^* \end{eqnarray*}$ setzt.

Zitat:

Habe es so ähnlich bei c) nach d) probiert, aber da ging es irgendwie nicht so einfach durch umformen. Der Vektor irritiert mich da etwas.

Die Vektorgleichung ist ja nur eine Kurzschreibweise für zwei Gleichungen. Diese beiden Gleichungen lauten...?

Zitat:

Wir haben es allerdings so definiert:Eine endliche Menge S von Vektoren heißt affin abhängig genau dann, wenn es einen Vektor $\begin{eqnarray*} \nu \in S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \nu \in aff (S\ \nu) \end{eqnarray*}$ gibt. (Also über die affine Hülle.) Von daher denke ich, dass ich da durchaus noch was zeigen muss oder?

Ja, dann bleibt noch etwas zu zeigen. Was bedeutet das denn als Gleichung geschrieben, wenn v zur affinen Hülle von Sv gehört?

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30.10.2011, 11:54

Lea

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Ahh Danke. Jetzt habe ich c)-> d) glaube ich verstanden. Wenn ich das als 2 Gleichungen schreibe sind das genau die 2 aus b) bzw c) oder? halt für $\begin{eqnarray*} \lambda^-=\lambda^* \end{eqnarray*}$
Ich habe gerade gemerkt, das bei der Definition für affine Abhängigkeit ein Tippfehler drin war. $\begin{eqnarray*} \nu \in \end{eqnarray*}$ der affinen Hülle S ohne $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ Hat die Schreibweise irgendwie nicht angenommen.
Und da fehlt mir auch die Vorstellung. Kann das irgendwie nicht miteinander in Verbindung bringen.

30.10.2011, 12:49

Dustin

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Aaaalso:

Zitat:

Ahh Danke. Jetzt habe ich c)-> d) glaube ich verstanden. Wenn ich das als 2 Gleichungen schreibe sind das genau die 2 aus b) bzw c) oder? halt für $\begin{eqnarray*} \lambda^-=\lambda^* \end{eqnarray*}$

Fast, aber nicht ganz. d --> c wäre tatsächlich damit bereits abgeschlossen, dass man $\begin{eqnarray*} \lambda^*=\lambda^- \end{eqnarray*}$ setzt. Aber bei c --> d ist es komplizierter:
In d stecken ja zwei Gleichungen, (1) und (2), in c dagegen nur eine, die entsteht, wenn man (1)-v_1*(2) rechnet. Aus d folgt c, aber nicht umgekehrt. Analoges Beispiel:

Aus A=0 und B=0 folgt zwar A-B=0, aber nicht umgekehrt. Verstehst du, was ich meine?

c --> d ist also ein bisschen trickreicher. Ein Tipp: Aussage c sagt ja
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^m \lambda_i *(\nu_i- \nu_1)=0 \end{eqnarray*}$ und mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_i* \neq 0 \end{eqnarray*}$
Wie schon gesehen, kannst du die Summe auch bei i=1 starten lassen UND dabei $\begin{eqnarray*} \lambda_1* \end{eqnarray*}$ frei wählen. Jetzt wähle $\begin{eqnarray*} \lambda_1* \end{eqnarray*}$ so, dass d erfüllt ist. (Du setzt denach quasi wieder $\begin{eqnarray*} \lambda^-=\lambda^* \end{eqnarray*}$ )

Zitat:

Ich habe gerade gemerkt, das bei der Definition für affine Abhängigkeit ein Tippfehler drin war. $\begin{eqnarray*} \nu \in \end{eqnarray*}$ der affinen Hülle S ohne $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ Hat die Schreibweise irgendwie nicht angenommen.

Das hatte ich auch so verstanden und in meinem Post auch so gemeint smile

smile

Zitat:

Und da fehlt mir auch die Vorstellung. Kann das irgendwie nicht miteinander in Verbindung bringen.

Nunja, mit Vorstellung haben wir ja bislang auch nicht wirklich gearbeitet, eher mit mathematischer Schreibweise von linearer Abhängigkeit. Genauso gibt es eine mathematische Gleichung bzw. Konstruktion für eine affine Hülle.
Anschaulich gesprochen ist die affine Hülle einer Menge von Punkten der kleinste affine Raum (also Gerade, Ebene...), der alle diese Punkte enthält. Zum Beispiel ist die affine Hülle von zwei Punkten die Gerade durch diese beiden Punkte.
Ihr müsstet doch besprochen haben, wie man das mathematisch als Gleichung schreiben kann?! Sonst müssten wir für a-->b ein bissl umdenken Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.10.2011, 13:46

Lea

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Also wir haben affine Hülle so definiert:
Zu einer nichtleeren Menge $\begin{eqnarray*} S \subseteq \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ heißt aff (S) die affine Hülle von S, d.h. die Menge aller Vektoren, die die affine Kombination endlich vieler Elemente von S darstellbar sind.
affine Kombination:
zu einer Linearkombination $\begin{eqnarray*} x=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i x_i \end{eqnarray*}$
gilt zusätzlich
$\begin{eqnarray*} \lambda^T1=1 \end{eqnarray*}$ so heißt x affine Kombination von $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_k \end{eqnarray*}$ .

zur c)->d)
Irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch. Egal wie ich das $\begin{eqnarray*} \lambda_1^* \end{eqnarray*}$ wähle, fällt doch der erste Summand weg oder habe ich da was falsch verstanden?

30.10.2011, 13:57

Dustin

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Zitat:

zur c)->d) Irgendwie stehe ich da auf dem Schlauch. Egal wie ich das $\begin{eqnarray*} \lambda_1^* \end{eqnarray*}$ wähle, fällt doch der erste Summand weg oder habe ich da was falsch verstanden?

Eben. Lass es mich anders ausdrücken, das war vilt. verwirrend:
Voraussetzung ist c, d.h. du hast Zahlen $\begin{eqnarray*} \lambda_2*,\lambda_3*,...,\lambda_m* \end{eqnarray*}$ gegeben, die die Bedingung
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^m \lambda_i *(\nu_i- \nu_1)=0 \end{eqnarray*}$
erfüllen. Damit sind aber die beiden einzelnen Gleichungen aus d) noch nicht automatisch erfüllt (siehe mein Beispiel mit A und B). Dafür hast du aber noch die Freiheit, $\begin{eqnarray*} \lambda_1* \end{eqnarray*}$ frei zuwählen.
Du setzt also schon mal $\begin{eqnarray*} \lambda_i-=\lambda_i* \end{eqnarray*}$ für alle i >= 2 und musst jetzt noch $\begin{eqnarray*} \lambda_1- \end{eqnarray*}$ so wählen, dass beide Gleichungen aus d erfüllt sind.

Zu der affinen Hülle meld ich mich nochmal. Vielleicht ist es eh besser, eins nach dem anderen anzugehen.

VG Dustin

30.10.2011, 14:13

Lea

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Ja dann kann ich $\begin{eqnarray*} \lambda_1^- \end{eqnarray*}$ nur =0 wählen oder?

30.10.2011, 14:21

Lea

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Oder nein moment. Eigentlich darf es gerade nicht 0 sein, damit die Gleichungen aus d) erfüllt werden oder?

30.10.2011, 14:36

Dustin

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Null darf es nicht sein.
Machen wir am besten mal ein Zahlenbeispiel, damits eweng anschaulicher wird smile

smile

Sagen wir m=4 , wir haben also vier Vektoren v_1 bis v_4.
Jetzt sagt Bedingung c beispielsweise
$\begin{eqnarray*} 2(v_2-v_1)+3(v_3-v_1)-1(v_4-v_1)=0 \end{eqnarray*}$
(also die allgemeine Bedingung mit konkreten Zahlenbeispielen: $\begin{eqnarray*} \lambda_2*=2 \end{eqnarray*}$ usw.)
oder anders geschrieben
$\begin{eqnarray*} 2v_2+3v_3-v_4-(2+3-1)v_1=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt willst du daraus $\begin{eqnarray*} \lambda_1-,...,\lambda_4- \end{eqnarray*}$ so bestimmen, dass beide Gleichungen aus d erfüllt sind.
Wir setzen
$\begin{eqnarray*} \lambda_2-=2,\lambda_3-=3,\lambda_4-=-1 \end{eqnarray*}$
analog zu den $\begin{eqnarray*} \lambda_i* \end{eqnarray*}$

Da ja die Voraussetzung c nichts über $\begin{eqnarray*} \lambda_1* \end{eqnarray*}$ aussagt, können wir diesen Parameter bzw. das entsprechende $\begin{eqnarray*} \lambda_1- \end{eqnarray*}$ also noch frei wählen.
Frage: Wie muss $\begin{eqnarray*} \lambda_1- \end{eqnarray*}$ gewählt werden, damit d erfüllt ist?

30.10.2011, 14:53

Lea

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$\begin{eqnarray*} \lambda_1^-=-\sum\limits_{i=2}^m \lambda_i^- \end{eqnarray*}$ hoffentlich habe ich es jetzt so allgemein richtig aufgeschrieben. Das Beispiel hat mir sehr geholfen. Danke.

30.10.2011, 17:25

Dustin

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Büdde büdde smile

smile

Oft genug geht mir das genauso, wenn die Mathematikbücher sich frohgemut durch einen Dschungel von Variablen, Symbolen und Formeln wuseln, dass ich dann selber erstmal an so manchem Ast hängenbleibe Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beispiele wirken oft Wunder! Jedenfalls passts jetzt. Du setzt also

$\begin{eqnarray*} \lambda_1^-=-\sum\limits_{i=2}^m \lambda_i^* \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \lambda_i^-=\lambda_i^* \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\geq2 \end{eqnarray*}$ ,
um c --> d zu zeigen.

OK, dann mal zur Definition der affinen Abhängigkeit.

Zitat:

Zu einer nichtleeren Menge $\begin{eqnarray*} S \subseteq \mathbb K^n \end{eqnarray*}$ heißt aff (S) die affine Hülle von S, d.h. die Menge aller Vektoren, die die affine Kombination endlich vieler Elemente von S darstellbar sind. affine Kombination: zu einer Linearkombination $\begin{eqnarray*} x=\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i x_i \end{eqnarray*}$ gilt zusätzlich $\begin{eqnarray*} \lambda^T1=1 \end{eqnarray*}$ so heißt x affine Kombination von $\begin{eqnarray*} x_1,...,x_k \end{eqnarray*}$ .

Kannst du damit etwas anfangen? Wir müssten jetzt diese Definition als Gleichung schreiben.
Aussage a sagt aus, dass es einen Vektor aus der Menge $\begin{eqnarray*} S=\left\{ v_1,...,v_k\right\} \end{eqnarray*}$ gibt, der in der affinen Hülle der anderen Vektoren liegt.
Die Menge wäre damit $\begin{eqnarray*} S/v_k \end{eqnarray*}$ für ein k zwischen 1 und m und der Vektor x wäre $\begin{eqnarray*} v_k \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 17:32

Lea

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Zitat:

Original von Dustin
Aussage a sagt aus, dass es einen Vektor aus der Menge $\begin{eqnarray*} S=\left\{ v_1,...,v_k\right\} \end{eqnarray*}$ gibt, der in der affinen Hülle der anderen Vektoren liegt.
Die Menge wäre damit $\begin{eqnarray*} S/v_k \end{eqnarray*}$ für ein k zwischen 1 und m und der Vektor x wäre $\begin{eqnarray*} v_k \end{eqnarray*}$

Also irgendwie kann ich da nicht so richtig etwas mit anfangen. Bedeutet $\begin{eqnarray*} S/v_k \end{eqnarray*}$ die Menge S ohne den Vektor v_k?

30.10.2011, 17:43

Dustin

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Ja

smile

Also, ich versuchs mal, das ein wenig klarer zu machen:

--> Aussage a sagt aus, dass die Menge $\begin{eqnarray*} S=\left\{ v_1,...,v_k\right\} \end{eqnarray*}$ affin abhängig ist.

--> Das bedeutet nach der Def der affinen Abhängigkeit, dass es einen Vektor $\begin{eqnarray*} v_k\in S \end{eqnarray*}$ gibt, der eine Affinkombination der anderen Vektoren aus S ist, also die Vektoren aus $\begin{eqnarray*} S/v_k \end{eqnarray*}$ .

--> Was also ist eine Affinkombination? Eine Affinkombination ist eine Linearkombination mit der Zusatzbedingung, dass die Summe aller lambdas gleich Eins ist.

Jetzt Du: Stelle mal den Vektor $\begin{eqnarray*} v_k \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Vektoren aus $\begin{eqnarray*} S/v_k \end{eqnarray*}$ dar.

30.10.2011, 17:50

Lea

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Ich würde das jetzt so schreiben. Bin mir aber unsicher.

$\begin{eqnarray*} \nu_k=\sum\limits_{i=1}^{k-1} \lambda_i \nu_i \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 18:00

Dustin

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Die Summe von 1 bis k-1 laufen zu lassen, setzt voraus, dass v_k der letzte Vektor von S ist (also k=m). Sagen wir (wieder ein Beispiel, hat ja schonmal gut geklappt smile

smile

), dass m=5 ist und k=3 (a sagt ja nur, dass es ein v_k gibt, aber nicht, was k ist, deshalb müssen alle Möglichkeiten berücksiuchtigt werden).
Dann willst du also v_3 als Linearkombi von v_1,v_2,v_4,v_5 darstellen. Bei dir würde die Summe aber nur von 1 bis 2 laufen, die Vektoren v_4 und v_5 würden nicht vorkommen. Also schreibt man das besser so:

$\begin{eqnarray*} \nu_k=\sum\limits_{i\neq k,i=1}^{m} \lambda_i \nu_i \end{eqnarray*}$
Und da das Ganze eine Affinkombination ist, müssen die lambdas zusammengezählt Eins ergeben, also
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i\neq k,i=1}^m \lambda_i=1 \end{eqnarray*}$

30.10.2011, 18:07

Lea

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Ahja verstanden. Und jetzt muss ich ja irgendwie b) daraus folgern und ich muss noch berücksichtigen, dass es nicht nur eine Linearkombination ist sondern eine affin Kombination oder?

30.10.2011, 18:26

Dustin

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Der Unterschied zwischen einer Linear-und einer Affinkombination ist eben diese Zusatzbedingung
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i\neq k,i=1}^m \lambda_i=1 \end{eqnarray*}$

Genau, daraus muss jetzt b) gefolgert werden.

30.10.2011, 18:32

Lea

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Und jetzt muss es damit ich b) folgern kann ein lambda existieren, so dass die Linearkombination $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i \nu_i =0 \end{eqnarray*}$ und die Summe der lambdas gleich 0. Ich müsste ja irgendwie das i ungleich k wegnehmen und die Summe der lambdas müsste dann 0 ergeben. Aber irgendwie will mir keine schlüssige Erklärung dafür einfallen.

30.10.2011, 18:43

Dustin

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Voraussetzung a: Es gibt ein v_k und es gibt lambdas mit

$\begin{eqnarray*} \nu_k=\sum\limits_{i\neq k,i=1}^{m} \lambda_i ^+\nu_i \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i\neq k,i=1}^m \lambda_i^+=1 \end{eqnarray*}$
(ich hab die lambdas wieder umbenannt, um sie von den lambdas in b auseinanderzuhalten)

zu zeigen b: Es gibt lambdas mit
$\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R^m, \lambda \neq 0 \end{eqnarray*}$ , so dass
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i \nu_i=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ .

Fällt dir eine Ähnlichkeit zwischen den Gleichungen auf?

Wir haben für alle i ungleich k ein $\begin{eqnarray*} \lambda_i^+ \end{eqnarray*}$ gegeben. Die wichtigste Frage ist also, wie $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ gewählt werden muss.

30.10.2011, 18:53

Lea

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Es müsste $\begin{eqnarray*} \lambda_k=-1 \end{eqnarray*}$ da die Summe der $\begin{eqnarray*} \lambda i^+ \end{eqnarray*}$ ohne $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ 1 ist und somit 1 abgezogen werden muss, wenn das $\begin{eqnarray*} \lambda_k \end{eqnarray*}$ hinzukommt, damit 0 herauskommt. Ist nicht so ganz mathematisch. Ich hoffe man kann meine Überlegung erkennen.

30.10.2011, 19:13

Dustin

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Genau. Damit wäre auf jeden Fall die Bedingung
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i=0 \end{eqnarray*}$ .
erfüllt.
Und warum gilt dann automatisch auch die andere Bedingung
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i \nu_i=0 \end{eqnarray*}$ ?

Schau dir dazu nochmal die Voraussetzung
$\begin{eqnarray*} \nu_k=\sum\limits_{i\neq k,i=1}^{m} \lambda_i ^+\nu_i \end{eqnarray*}$
an!

30.10.2011, 19:32

Lea

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$\begin{eqnarray*} 0=\sum\limits_{i=1}^m \lambda_i^+ \nu_i=\sum\limits_{i\neq k, i=1}^{m} \lambda_i ^+\nu_i+\lambda_k^+\nu_k \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \lambda_k^+=-1 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \nu_k=\sum\limits_{i\neq k,i=1}^{m} \lambda_i ^+\nu_i \end{eqnarray*}$ und es soll 0 rauskommen. und lambda + = lambda oder?

zu d) -> a) habe ich mir folgendes überlegt:
wenn ich d) in 2 Gleichungen schreibe habe ich doch genau die Bedingung für affine abhängigkeit aus b) der Vektoren aus a) oder?

30.10.2011, 19:54

Dustin

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0=\sum\limits_{i=1}^m \lambda_i^+ \nu_i=\sum\limits_{i\neq k, i=1}^{m} \lambda_i ^+\nu_i+\lambda_k^+\nu_k \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} \lambda_k^+=-1 \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} \nu_k=\sum\limits_{i\neq k,i=1}^{m} \lambda_i ^+\nu_i \end{eqnarray*}$ und es soll 0 rauskommen. und lambda + = lambda oder?

Freude

Zitat:

zu d) -> a) habe ich mir folgendes überlegt: wenn ich d) in 2 Gleichungen schreibe habe ich doch genau die Bedingung für affine abhängigkeit aus b) der Vektoren aus a) oder?

Noch nicht so ganz.
Schreiben wir es uns nochmal ganz ausführlich hin.

Voraussetzung d sagt: Es gibt lambda- mit
V1. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i^- v_i =0 \end{eqnarray*}$
V2. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^m \lambda_i^-=0 \end{eqnarray*}$ und
V3. mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_i^- \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt musst du auf die Bedingungen von a kommen, die lauten:
Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v_k \end{eqnarray*}$ und es gibt lambda+ mit
B1. $\begin{eqnarray*} \nu_k=\sum\limits_{i\neq k,i=1}^{m} \lambda_i ^+\nu_i \end{eqnarray*}$
B2. $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i\neq k,i=1}^m \lambda_i^+=1 \end{eqnarray*}$

Das ist noch nicht genau dasselbe. Wie kommen wir von V1 auf B1 und von V2 auf B2?
Ich glaube, wir machen am Besten wieder ein Beispiel. m=4 Sagen wir, es würde gelten:
$\begin{eqnarray*} 2v_1+3v_2+0v_3-5v_4=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \lambda_1^- =2 \end{eqnarray*}$ usw.
Dann wäre auch V2 erfüllt, denn 2+3+0-5=0. Auch ist mindestens ein $\begin{eqnarray*} \lambda_i^- \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Also sind alle drei Voraussetzungen erfüllt.

Wie müsste hier das v_k und die $\begin{eqnarray*} \lambda_i^+ \end{eqnarray*}$ gewählt werden, um B1 und B2 zu erfüllen?

01.11.2011, 15:35

Lea

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Also ich habe $\begin{eqnarray*} \lambda^-_i=- \frac{1}{\lambda_k^-} \cdot \lambda_i^- \end{eqnarray*}$ gewählt. Dann habe ich $\begin{eqnarray*} \lambda^-_k=\sum\limits_{i=1}^m \lambda_i^- \nu_i - \sum\limits_{i=1, i \neq k}^m \lambda_i^- \nu_i \end{eqnarray*}$ so dargestellt und die Bedingung aus d) eingesetzt und mein gewähltes lambda verwendet und komme so genau auf v_k aus a).
Wenn ich dann mein gewähltes lambda in B2 einsetze und V2 ausnutze kommt genau eins raus.
Könnte das so passen?

01.11.2011, 19:34

Dustin

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Genau (bis auf ein paar Kleinigkeiten)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lambda^-_k=\sum\limits_{i=1}^m \lambda_i^- \nu_i - \sum\limits_{i=1, i \neq k}^m \lambda_i^- \nu_i \end{eqnarray*}$

Da feht $\begin{eqnarray*} v_k \end{eqnarray*}$ auf der linken Seite Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lambda^-_i=- \frac{1}{\lambda_k^-} \cdot \lambda_i^- \end{eqnarray*}$

Und hier sollte es links $\begin{eqnarray*} \lambda_i^+ \end{eqnarray*}$ heißen.

Ansonsten alles supi! Freude

Freude

EDIT: Eine Sache noch: Woher weißt du, dass $\begin{eqnarray*} \lambda_k^- \neq 0 \end{eqnarray*}$ ist? Sonst darfst du nämlich nicht teilen...

02.11.2011, 23:33

Lea

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Es existiert ja mindestens ein lambda ungleich 0. Mein lambda_k ist genau ein Lambda ungleich 0, für das dies gilt. Oder? Hoffe habe mich verständlich ausgedrückt.
Nochmal vielen Dank für die tolle Hilfe.

03.11.2011, 00:53

Dustin B

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Du hast dich verständlich ausgedrückt und auch das letzte Puzzleteil erfolgreich eingefügt smile

smile

(Ich bin Dustin, war nur zu faul zum Einloggen Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

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