Seien M,N Mengen und f: M->N eine Abbildung. Beweisen oder widerlegen sie.

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kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »
Seien M,N Mengen und f: M->N eine Abbildung. Beweisen oder widerlegen sie.
Liebe Community,

da ich mal wieder ziemlich verzweifelt an meine Analysisaufgaben herangehe
(Siehe auch Dateianhang)
suche ich nun Hilfe bei euch.

a) f(A) geschnitten f(B) = f(A geschnitten B) für alle A, B Teilmenge von M
b) f(A) vereinigt f(B) = f(A vereinigt B) für alle A,B Teilmenge von M
c) f(A Komplement) = (f(A))komplement für alle A Teilmenge M

Meine Ansätze hierfür sind nur das ich die Äquivalenzen der Aussagen durch Teilmenge der linken zur rechten und rechten zur linken Seite beweisen müsste. aber das wäre ja beim normalen Beweis der fall und nicht beim Beweis einer Abbildung. wie würde ich hier herangehen müssen?

Vielen Dank im Voraus

MfG Kevin
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Äquivalenz von Aussagen willst du hier zeigen?

Es ist hier einfach eine Gleichheit von Mengen zu zeigen, f(...) bezeichnet eine Menge. Zeige als, dass die Mengen jeweils Teilmengen voneinander sind. Davor solltest du dir aber vielleicht Gedanken machen, ob die Gleichheit überhaupt gegeben ist. Vielleicht findet man ein einfaches Gegenbeispiel?
 
 
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Iorek,

Also müsste ich dies einfach nur normal wie ein Beweis von Mengen durchführen ohne das f zu beachten?
z.B für a)

(A )geschnitten( B ) = (A geschnitten B)

jedoch ist dadurch die Gleichheit schon bewiesen, da es ja nun egal ist ob beides extra in Klammern steht oder in einer. Das verwirrt mich halt ein bisschen

MfG Kevin
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich darfst du nicht einfach das f ignorieren.

Wie ist denn definiert?
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

das f geht laut Aufgabenstellung von M gegen N also M -> N

es zählt auch wiederrum für alle A,B Teilmengen von M

also soweit komme ich nun mit dem definieren von f
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

f ist eine Funktion von M nach N, ok. Aber was ist denn nun ? Was sollte sich doch in deinen Unterlagen finden lassen. Stichwörter wären Bild, Bildmenge, Bild unter der Funktion f oder ähnliches.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

f(A) dürfte in dem Falle die Menge bzw Bildmenge A sein die auf diese Funktion F zugeordnet ist.
Achso also wäre das in dem Falle auf der linken seite die Menge A einer Funktion und die Menge B einer Funktion und auf der rechten seite Die Menge A und B der selben Funktion?

Dann würde das natürlich auch einen Sinn ergeben
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, in die Richtung wird das gehen.

Bei der i) ist gefragt, ob der Schnitt der Bildmengen gleich der Bildmenge der Schnitte ist. Einmal bildest du also zuerst ab und schneidest dann die Bildmengen, danach schneidest du zuerst und bildest dann den Schnitt ab.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

gut das ist für mich erstmal einleuchtend, danke hierfür
Jetzt brauch ich nur noch einen Ansatz dafür wie ich dies beweisen kann
In der vorlesung lernten wir dies geht nicht viel anders als bei normalen Beweisen:
also sozusagen:

Sei f M -> N eine Abbildung

ja gut dann hörts schon auf , ich würde jetzt das x als element der Bildmenge A und als element der Bildmenge B zuordnen und dann irgendwie (nur wie) beweisen Das dieses x auch im Schnitt der funktion von A und B liegt. Aber das wahrscheinlich eh falsch

MfG Kevin
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso falsch? Das wäre ein guter Ansatz.

Allerdings solltest du noch einmal meinen Punkt mit den einfachen Beispielen überdenken. Ist die Aussage richtig? Gibt es vielleicht Mengen und Funktionen, auf die die Gleichheit nicht zutrifft? Mach dir die gegebene Aussage einmal an einfachen Beispielen klar.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

hm dann versuche ich dies mal durch die Menge {1,2,3} soll ja einfach sein
da A und B Teilmengen von M sind würde ich jetzt für A festlegen {1,2} und für B {2,3} heißt ja nicht das diese disjunkt sind.

gut für die linke seite würde man dann meinen {1,2} geschnitten {2,3}
auf der rechten seite wäre das halt in Klammern, irgendwie komme ich doch nicht weiter um ehrlich zu sein xD

könntest du mir da noch einen ansatz geben?

MfG Kevin
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Guck dir einmal die Funktion an. Damit lässt sich etwas schönes konstruieren.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

gut da steh ich jetzt leicht auf dem Schlauch , inwiefern kann ich damit etwas konstruieren?

MfG Kevin
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst in der Zeit nicht arg viel probiert haben. unglücklich



Sieh jetzt noch einmal die beiden Seiten der Gleichung an, was steht links, was steht rechts? Gibt es Teilmengen der reellen Zahlen, sodass diese Gleichung nicht mehr zutrifft?
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde ja gerne was probieren, ich klemme mich ja auch voll dahinter nur ich verstehe in den Vorlesungen schon so gut wie garnix und in den übungen noch weniger, darum versuche ich es mir so gut wie möglich selbst oder halt durch hilfe anderer beizubringen :/

hm naja Teilmengen der reellen zahlen, für mich ist die funktion eine normale Parabel die eigentlich bei jeder der Reellen Zahlen zutrifft.
Drum trifft die Gleichung meines erachtens immer zu oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kevin1991
für mich ist die funktion eine normale Parabel die eigentlich bei jeder der Reellen Zahlen zutrifft.


Dieser Satz ergibt keinen Sinn.

Schreib dir die gegebenen Mengen einmal hin, formulier mit deinen eigenen Worten, was diese Mengen beschreiben. Du scheinst dir noch keine Gedanken gemacht zu haben, was für Mengen hier überhaupt vorliegen. Wie ist definiert, was bedeutet, wie kann man das umschreiben? Wo ist der Unterschied bei den beiden Mengen?
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Seien M,N Mengen und f: M->N eine Abbildung. Beweisen oder widerlegen sie.
Hallo Iorek ,
ich bin nochmal auf einen vorherigen Beitrag von dir eingegangen in dem es hieß, es liese sich etwas was R -> R , x -> x^2 konstruieren

Da R die Menge aller reellen zahlen also - unendlich bis + unendlich ist

z.B. wäre dabei eine Konstruktion

{-2,-1,0,1,2} {4,1,0,1,2}

was mir dabei auffällt ist das die Zahlen von x^2 nur im positiven liegen können meintest du das damit das die Gleichung hierbei nicht mehr zutrifft?

MfG Kevin
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du denn jetzt mit diesen beiden Mengen zeigen?

Nimm dir wirklich einmal die Zeit, die beiden Mengen stur nach Definition aufzuschreiben. Dir scheint überhaupt nicht klar zu sein, wie die Mengen aussehen, über die hier geredet wird. Ohne das werden wir hier aber nicht wirklich weiter kommen.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weis doch auch nicht ich geb nur versuche wie ichs lösen würde unglücklich

Und ja mir ist überhaupt nicht klar wie diese Mengen aussehen weil ich weder die logik noch den sinn hinter solchen Aufgaben sehe.
Das einzige was ich will ist, das mein informatikstudium nicht an mathematik scheitert, drum versuche ich es zu verstehen, aber das geht nicht weil es wie gesagt alles für mich unlogisch erscheint.

Kann halt nicht jeder ein Genie sein und alles auf anhieb verstehen.

Tut mir leid das ich jetzt etwas genervt klinge, aber ich verzweifel einfach daran das ich heute wie gestern den ganzen tag hinter den aufgaben sitze, versuche etwas zu verstehen, aber es einfach nicht kapier und ich nix davon habe.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die ersten 5 Monate jeden Tag bis 00.00 Uhr an den Übungsblättern gesessen, ohne zu verstehen was die Aufgabe von mir will.

Trotz allem kann ich dir nicht helfen, wenn du dir nicht selber einmal klar machst, wie diese Mengen aussehen. Dazu gehört es auch, sich stur nach Definition aufzuschreiben.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich würde auch gerne eine Definition dazu aufschreiben aber ich finde wirklich keine Aufgabe in meinen hefter die wir in den vorlesungen behandelt haben, die auch nur ansatzweise dieser hier ähnelt und aus dem nichts kann ich mir ja nunmal nix zusammendenken unglücklich

das einzige was ich weis ist das f eine Funktion symbolisiert
und A und B Mengen

f(A) geschnitten f(B) den schnitt der funktion mit der menge A und der funktion mit der menge B

und

f(A geschnitten B) die funktion welche den Schnitt zwischen A und B enthält.

Aber das haben wir ja auch schon eher herausgefunden
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr habt also keine Definition für den Ausdruck aufgeschrieben? Da kann ich mir nicht wirklich vorstellen. Aber gut, wenn es daran mangelt: Für eine Funktion und eine Menge heißt das Bild von unter .
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben extrem viele Definitionen aufgeschrieben, diese fand ich aber in meinen Unterlagen nicht und wenn hätte ich eh nicht gewusst was damit gemeint ist.

okey also bedeutet das fürs allgemeine

y ist Element der Natürlichen Zahlen
und es existiert ein x was Element der Menge M ist für das gilt , wenn man dies in die funktion einsetzt erhält man y.

das kann ich ja sozusagen auch auf f(B) übertragen halt mit z statt y (zum Beispiel) oder?

wenn mich nicht alles täuscht kann ich für diesen ausdruck bei f(A) auch schreiben:
{f(x) : x € A} (ich nehm jetzt einfach mal € für Element)

gut jetzt fang ich an zu beweisen jedoch kein x sondern das y oder? also
Sei y € f(A geschnitten B) zu zeigen y € f(A) gescnitten f(B)...

ist der Anfang erstmal richtig?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

So langsam geht es doch in die richtige Richtung.

Warum sollte aber y eine natürliche Zahl sein? ist einfach irgendeine beliebige Menge, nicht zu verwechseln mit .

Die andere Schreibweise wäre auch möglich, ja. smile
, andere Schreibweisen könnte man bestimmt auch noch finden, aber diese hier reichen.

Du willst jetzt zeigen: , dafür ist ein ein guter Anfang, ja.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Neue Vorgehensweise, glaube ich hab mirs zu schwer überlegt.

a) f(A) geschnitten f(B) = f(A geschnitten B)

erst zu zeigen das f(A geschnitten B) ist Teilmenge von f(A) geschnitten f(B)


Sei y in f(A geschnitten B) zu zeigen y in f(A) geschnitten f(B)

Also gibt es ein x in f(x) = y (für die Funktion)
und es gibt ein x in A geschnitten B

Also ist x in A und x in B

dies erstmal für den Schritt, da jetzt auch noch für die Funktion gilt f(x)=y
das wenn man für x das A und B einsetzt , für A und B es auch ein y gibt.

und y ist sozusagen in A geschnitten B .


Glaube so ist das richtig, weis nur nicht ob ich den Teil mit den x wirklich machen muss?


nun von der anderen Seite
Sei y in f(A) geschnitten f(B)
Also y ist in f(A) und in f(B)

Also gibt es ein x in A f(x) = y und ein x in B mit f(x)

hm gut so rum hab ich jetzt wieder ein Problem wie ich weitermache.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kevin1991
Also gibt es ein x in f(x) = y (für die Funktion)
und es gibt ein x in A geschnitten B


Was willst du hier sagen?

Zitat:
Original von kevin1991
Also ist x in A und x in B


Richtig, damit solltest du weiter arbeiten. Was gilt für dieses x, was kannst du darüber sagen, was kann man folgern?

Zitat:
Original von kevin1991
dies erstmal für den Schritt, da jetzt auch noch für die Funktion gilt f(x)=y
das wenn man für x das A und B einsetzt , für A und B es auch ein y gibt.


Hier gehts wieder durcheinander.

Zitat:
Original von kevin1991
und y ist sozusagen in A geschnitten B .


Das ist falsch, y ist schließlich ein Funktionswert und kann deshalb nicht in A oder B liegen.

Der Grundgedanke geht aber in die richtige Richtung. Über die Rückrichtung solltest du dir noch keine Gedanken machen, versuche zuerst einmal diese Richtung zu überarbeiten und zu verbessern.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit der ersten festlegung das es ein x in f(x) = y gibt wollte ich nur sagen das ich halt für die funktion ein y bekomme durch einsetzen x. aber ich war mir ja selber unklar ob ich das mit den x machen bzw beweisen muss

Also fange ich nochmal den einen Schritt an:

sei y in f(A geschnitten B) zu zeigen y in f(A) geschnitten f(B)

Angenommen x ist in f(A geschnitten B)
Also ist x in A und x in B (soweit sagtest du ja wäre es richtig)

zu zeigen ist aber das x in f(A) geschnitten f(B) ist

da wir nun wissen das x in A und x in B ist wissen wir auch das x in f(A) und x in f(B) steckt

mir fehlt aber noch ein Grundlegender Gedanke soweit ich mich erinnern kann oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt gehst du wieder in die falsche Richtung...wieso sollte sein? Und warum sollte aus und folgen, dass und ist.

Wir wollen zeigen: .

Dazu : sei , dann existiert ein für das gilt: . Insbesondere ist und damit ist .

Die letzten zwei Schritte solltest du jetzt alleine hinbekommen.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

ou man , ich verwirre mich noch selber.

okey also ist y € f(A)

zu beweisen ist ja y€ f(A) geschnitten f(B)
den ersten Teil haben wir dafür ja bewiesen

wenn ein x€ A geschnitten B existiert dann gilt ja für f(x) = y auch x€ B
und sozusagen f(x) = y € f(B)

somit y € f(A) und y € f(B)

übersetzt y € f(A) geschnitten f(B)

?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von kevin1991

wenn ein x€ A geschnitten B existiert dann gilt ja für f(x) = y auch x€ B
und sozusagen f(x) = y € f(B)

somit y € f(A) und y € f(B)

übersetzt y € f(A) geschnitten f(B)

?


Der rote Teil ist überflüssig, der Rest soweit richtig.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Okey dann hätte ich ja diese Seite erstmal geschafft, dann versuche ich es mal von der anderen Seite her zu lösen.

wir haben ja erst bewiesen das ein y € f(A) geschnitten f(B) existiert

von der anderen seite beweisen wir nun das ein

y € A geschnitten B existiert

Also fange ich an

Sei x € f(A) geschnitten f(B)
dann gilt
x € f(A) und x € f(B)

gut ich weis nun nicht mehr weiter.
irgendwie sieht das für mich so gut wie alles gleich aus o.O
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Achte bitte wieder auf deine Ausdrucksweise. Wir haben nicht bewiesen, dass ein existiert. Wir wollen jetzt auch nicht zeigen, dass ein existiert. unglücklich

Und bevor du dich an diesem Beweis probierst: du wirst es nicht schaffen, diese Teilmengenbeziehung ist nämlich nicht immer erfüllt, ein Beweis also unmöglich. Jetzt solltest du dir nochmal die Funktion ansehen, mit dieser Funktion lässt sich nämlich ein Gegenbeispiel konstruieren.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich halt nicht, wie man ein Gegenbeispiel konstruieren kann?

ich verstehe ja das die funktion im bereich der Reellen Zahlen von x gegen x^2 angezeigt wird.
trotzdem ist mir unschlüssig wie ich das in meine Aufgabenstellung mit einarbeite.
In der Vorlesung hab ich gelernt das diese Funktion weder injektiv noch surjektiv ist aber was hilft mir das in diesem Falle weiter?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

In geringem Maße hilft dir das weiter, ja.

Noch einmal: mach dir in eigenen Worten die Mengen klar.

, was ist das für eine Menge? Beschreib sie mit mathematischen Ausdrücken und in Prosa.
, selbiges hierfür.

Sei , dann gibt es ein Element und ein Element für die gilt: . Was kann man aber für und eben nicht sagen? Das sollte dir auch noch einen Denkanstoß geben können.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

okey ^^

mathematische begriffe und prosa da haste mich ja jetzt vor eine aufgabe gestellt Big Laugh
also diese Aussage beschreibt die Schnittmenge zwischen den Mengen A und B einer Funktion

Währendessen die schnittmenge zwischen zwei verschiedenen Funktionen Beschreibt und zwar einmal der Funktion mit der Menge A und einmal der Funktion mit der Menge B

Mal eine Frage am Rande: wieso eigentlich geben wir nun vor das y Element von etwas Sei und nicht mehr x , hat das damit zu tun das Wir Aussagen von Funktionen beweisen?

Ah okey da der Schnitt beider Mengen gegeben ist kann man von x1 und x2 nicht behaupten das sie außerhalb von f(A) und f(B) liegen ist das richtig?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Bitte keine Aussagen und Mengen durcheinander schmeißen.

ist eine Menge, ebenso wie , aber keine Aussage. Die zu zeigende oder widerlegende Aussage ist, dass diese Mengen gleich sind: .

Es bezeichnet auch nicht die Schnittmenge zwischen irgendwelchen Mengen und einer Funktion, du kannst eine Menge und eine Funktion erst einmal gar nicht schneiden, wie soll das gehen? Greif lieber auf die Definition der Bildmenge zurück, alles andere führt zu Unsinn.

Warum man es nennt...es ist zwar eine Variable, aber es gibt einige Standardvariablen, die für bestimmte Zwecke genutzt werden. So ist ein gern genutzter Buchstabe für einen Funktionswert. Da wir mit eine Menge von Funktionswerten haben, ist es eben . Du könntest auch schreiben, allerdings ist auch schon mit der eulerschen Zahl verknüpft etc.

Prinzipiell ist es egal, wie du das nennst, solange du es konsequent durchziehst. Allerdings kann es sein, dass du einige fragende Blicke erntest.

Zitat:
Original von kevin1991
Ah okey da der Schnitt beider Mengen gegeben ist kann man von x1 und x2 nicht behaupten das sie außerhalb von f(A) und f(B) liegen ist das richtig?


Ich verstehe nicht, was du damit sagen willst. Noch ein Wink mit dem Zaunpfahl: warum nenne ich es gerade und ? Was könnte das damit zu tun haben, dass wir hier die Gleichheit der Mengen widerlegen wollen?
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

hm :/

Ich hätte mal eine ganz dumme frage. Könntest du mir vllt deine idee anhand von Namen oder sonstigen dingen erklären.

Also ein Dozent hat und in Einer Übungsstunde zum Beispiel Relationen zwischen zwei Mengen mit Namen erklärt.

zum Beispiel Transitivität anhand von: Peter ist mit Klaus verwand und Klaus mit Hans, also ist folglisch Peter mit Hans verwand.

(nur um ein Beispiel zu nennen)

Vielleicht hilft mir das hier in diesem Falle auch weiter um endlich mal auf ein verwertbares Ergebnis zu kommen.

Vielen Dank schonmal im Voraus
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wüsste gerade nicht, wie man das mit noch anschaulicheren Sachen erklären soll...

Damit diese Aufgabe endlich mal vorbei ist: wähle sowie die Mengen und . Damit lässt sich der von mir angestrebte Widerspruch erzeugen.
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Hilfe,

ich bekomm heute erstmal nix mehr in den Kopf, werde versuchen es morgen nochmal anzuschaun und vllt dann besser zu verstehen und endlich eine Lösung zu finden.
ich werde mich diesbezüglich nochmal hier melden.

Vielen Dank

MfG Kevin
kevin1991 Auf diesen Beitrag antworten »

so ich melde mich nochmal

Also laut deiner Aussage A(-unendlich,0) und B (0, unendlich) willst du damit die Funktion im negativen Bereich beschreiben. wo meine idee ja auch schon war das wenn man die Werte in diesem Bereich quadriert je ein positiver Wert rauskommt. Aber wie hilft mir das bei der Aufgabe weiter?

MfG Kevin
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