Verteilungsfunktion

28.10.2011, 18:56

Gast11022013

Verteilungsfunktion

Meine Frage:
Hallo, ich habe mal eine eher grundsätzliche Frage.

Was ist der Unterschied zwischen einer Verteilungsfunktion eines Wahrscheinlichkeitsmaßes und einer Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen?

Meine Ideen:
Sei P eine Wahrscheinlichkeitsmaß.

$\begin{eqnarray*} F_P:c\in\mathbb R\to P((-\infty,c]) \end{eqnarray*}$

Sei X Zufallsvariable.

$\begin{eqnarray*} F_X(x)=P(X\leq x) \end{eqnarray*}$

Wo ist da der Unterschied?

28.10.2011, 20:17

Zündholz

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RE: Verteilungsfunktion
Hallo,
wenn ich das ganze mal so salopp sagen darf, es gibt keinen. Zumindest so wie ich das sehe. Letztendlich ist eine Zufallsvariable ein Werkzeug um mit Verteilungen anschaulicher arbeiten zu können, wobei diese eben nicht nötig ist. Denn es ist ja prinzipiell egal ob man mit dem Bildmaß P_X hantiert oder mit einer Verteilung Q := P_X.
Von dem her kann man beides benutzen um über ein und die selbe Sache Aussagen zu treffen.

Oder hab ich deine Frage missverstanden?

28.10.2011, 21:26

Gast11022013

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Es geht mir um folgende Definition aus

Hans-Otto Georgii: "Stochastik"

Zitat:

4. Auflage, S. 22

Ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der reellen Achse $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ , so heißt die Funktion $\begin{eqnarray*} F_P:c\to P(]-\infty,c]) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ die (kumulative)Verteilungsfunktion von P. Ist ferner X eine reelle Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray*}$ , so heißt $\begin{eqnarray*} F_X(c):=P(X\leq c) \end{eqnarray*}$ die (kumulative) Verteilungsfunktion von X.

Ich frage mich deswegen, was der Unterschied zwischen der Verteilungsfunktion von P und der Verteilungsfunktion von X ist, weil es später immer nur "Verteilungsfunktion" heißt und ich nicht wirklich weiß, von welcher denn nun die Rede ist.

28.10.2011, 21:36

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ich frage mich deswegen, was der Unterschied zwischen der Verteilungsfunktion von P und der Verteilungsfunktion von X ist, weil es später immer nur "Verteilungsfunktion" heißt und ich nicht wirklich weiß, von welcher denn nun die Rede ist.

In der Regel wird dies aber aus dem jeweiligen Kontext ersichtlich.

28.10.2011, 21:38

Gast11022013

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Also gibt es doch einen Unterschied?

28.10.2011, 21:40

Math1986

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Nein, gibt es nicht, ausser das mal ein Wahrscheinlichkeitsmaß und mal eine Zufallsvariable gemeint ist.
Was genau gemeint ist geht aus dem Kontext hervor.

28.10.2011, 21:40

René Gruber

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Im Lichte dieser ersten Definition

Zitat:

Original von Dennis2010 (Bezeichnung leicht geändert)
Ist Q ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf der reellen Achse $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ , so heißt die Funktion $\begin{eqnarray*} F_Q:c\to Q(]-\infty,c]) \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ die (kumulative)Verteilungsfunktion von Q.

ist $\begin{eqnarray*} F_X \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion zum Maß $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ , welches ja auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,\mathcal{B}) \end{eqnarray*}$ definiert ist über

$\begin{eqnarray*} P_X(B) := P(X^{-1}(B)) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} B\in \mathcal{B} \end{eqnarray*}$ .

Wie du gesehen hast, habe ich oben in der Definition das dortige P in ein Q umgewandelt, um Konfusionen mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß P aus dem Grundraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray*}$ zu vermeiden.

28.10.2011, 21:57

Gast11022013

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Ist denn oben bei der Definition der Vertelilungsfunktion von P und der Definition der Verteilungsfunktio von X von dem selben P die Rede?

28.10.2011, 22:25

René Gruber

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Eben NICHT.

Auch wenn das oben formal korrekt ist - jeder Satz steht dort für sich allein - sollte man in Lehrbüchern sowas vielleicht doch besser vermeiden: Nicht jeder vermag zu erkennen, dass die beiden P's nichts miteinander zu tun haben außer der Tatsache, dass beides W-Maße sind.

28.10.2011, 22:27

Gast11022013

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Könnte mir dann vielleicht doch nochmal erklären, wieso es keinen Unterschied gibt?

Denn ich verstehe das leider nicht.

28.10.2011, 22:29

René Gruber

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Ich hab nichts von "keinem Unterschied" gesagt, sondern wie die beiden Dinge miteinander zusammenhängen.

28.10.2011, 22:34

Gast11022013

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Ja, aber oben war mal davon die Rede, daß es da keinen Unterschied gäbe.

Und das verwirrt mich jetzt gerade.

28.10.2011, 22:36

René Gruber

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Es war eine saloppe Aussage, die Zündholz anschließend präzisiert hat, vergleichbar dem, was ich dann aufgeschrieben habe. Was ist denn daran jetzt noch unklar? Muss man denn alles zehnmal wiederholen?

28.10.2011, 22:40

Gast11022013

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Ah, ich glaube, jetzt habe ich Deinen Beitrag verstanden.

Du wolltest mir erklären, wie man entweder die Verteilungsfunktion für ein Wahrscheinlichkeitsmaß definieren kann oder dieselbe Verteilungsfunktion (da braucht man dann die Verteilung) über eine Zufallsvariable.

28.10.2011, 23:21

Gast11022013

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Also, wenn ich das jetzt auch mal salopp sagen darf:

Wenn man ein Wahrscheinlichkeitsmaß gegeben hat und davon die Verteilungsfunktion hat, so kann man dazu auch eine Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen finden, insofern man das gegebene Wahrscheinlichkeitsmaß sozusagen als die Verteilung der Zufallsvariable "konstruiert".

So? Korrekt verstanden?

28.10.2011, 23:36

René Gruber

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Ich denke, es steht alles oben mehr als deutlich, in mathematisch exakter Sprache da. Immer neue, phantasievolle Umdeutungen mit fragwürdigen Kausaltätsverdrehungen kommentieren zu müssen, dazu habe ich echt keine Lust.

28.10.2011, 23:54

Gast11022013

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Hm, okay.

Ich wollte einfach nur den Zusammenhang zwischen einer Verteilungsfunktion eines gegebenen W.-Maßes und einer Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen, die die Situation ebenso ausdrückt, verstehen und habe das in ein paar Worten formuliert, weil ich es dann vielleicht besser verstehe als mit den mathematischen Formalien.

Wenn das nicht klar war, ist das schade.

Ich versuche es trotzdem nochmal.

Es gilt also $\begin{eqnarray*} F_X=F_{P_X} \end{eqnarray*}$

Wenn ich also ein W.-Maß $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ habe und es als $\begin{eqnarray*} P_X \end{eqnarray*}$ auffasse, so müsste man also eine Zufallsvariable finden, die das erfüllt. Dann hätte man einen Zusammenhang hergestellt zwischen einem gegebenen W.-Maß und einer Zufallsvariablen.

Ist das vielleicht weniger "phantasievoll"?

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