Mengenlehre - Ansätze und Links für HA

Neue Frage »

sallal Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenlehre - Ansätze und Links für HA
Hallo,

Ich suche nach ein paar Ansätzen für eine Hausaufgabe, die ich bis zum kommenden Mittwoch machen soll.
Googlen hat mir wenig gebracht, die Erklärungen die ich dort fand waren nicht so sehr auf diesen Themenbereich zugeschnitten.

Die Aufgabe, mit der ich zu kämpfen habe ist folgende:
Sei M und N nichtleere Mengen und sei f:M->N eine Abbildung. Zeige, dass {(a,b) element M x M : f(a) = f(b)} eine Äquivalenzrelation auf M ist. Gebe in dem Fall M = IR x IR , N = IR, f((x,y))=x^2+y^2 für alle (x,y) element M eine geometrische Beschreibung der entsprechenden Äqv.klassen.

So, der liebe Prof setzt da aber Wissen vorraus, das wir nie erfahren haben. Aufgabe 1 konnte ich noch nach intensivem googlen lösen, aber mit der hier komme ich einfach nicht klar. Daher frage ich nach einigen nützlichen Links, die mir dabei auf die Sprünge helfen könnten.
Meine konkreten Schwachstellen: Abbildungen, Äquivalenzrelationen, Äquivalenzklassen

Grüße.
sallal
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlehre - Ansätze und Links für HA
Um zu zeigen, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt musst du folgendes überprüfen:

1.) (a,a) muss in der Relation liegen

2.) liegt (a,b) in der Relation, dann muss auch (b,a) in der Relation liegen

3.) liegen (a,b) und (a,c) in der Relation, dann muss auch (a,c) in der Relation liegen.

Die Äquivalenzklasse von a ist die Menge aller Elemente, die zu a Äquivalent sind. Sei also (a,b) eine Äquivalenzrelation auf MXM, dann ist die Äquivalenzklasse von a.

Eine Abbildung von einer Menge M auf eine Menge N ordnet jedem Element der Menge M genau ein Element der Menge N zu. Abbildungen (oder auch Funktionen) sollten bereits aus der Schule bekannt sein.

so, nun kann man ja mal damit beginnen, zu prüfen, ob es sich um eine Äquivalenzrelation handelt.
Newbie... Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich vor selbigem Problem stehe geb ich hier mal meinen Senf dazu.
Das der erste Teil eine Äquivalenzrelation ist hab ich durchschaut. Ich frage mich nur:

Bei f((x,y)) : = x²+y² mit (x,y) RxR soll ich ja die Äquivalenklassen geometrisch Beschreiben. Aber hier ist ja meine Relation x²+y², oder? Das ist doch nur eine Verknüpfung, diese Operation kann ich doch für alle
(x,y) RxR durchführen, oder nicht? Wären dann nicht alle (x,y) in der selben Äquivalenzmenge, weil ich ja für jedes a jedes b nehmen kann und x²+y² gilt?
Oder hab ich hier etwas ganz gravierends übersehen? Dieser Theorie nach wäre ja die Äquivalenzklasse RxR...

MfG,

Tobi
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Menge M ist hier bereits das Kertesische Produkt , die Menge M ist .

Die Relation enthält also die Tupel der Form , wobei der erste Eintrag des Tupels wieder ein Tupel ist.
Newbie... Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von lgrizu
Deine Menge M ist hier bereits das Kertesische Produkt , die Menge M ist .

Die Relation enthält also die Tupel der Form , wobei der erste Eintrag des Tupels wieder ein Tupel ist.

Äääh, ist M jetzt RxR oder R? Eigentlich ja RxR, oder? Was meinst dann mit "die Menge M ist R"?
Da komm ich gerade nicht mehr hinterher...
Was genau meinst du jetzt mit Einträgen der Relation?
Ist denn meine Annahme richtig, das die Relation x²+y² für alle (a,b) aus M=RxR gilt?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ähem, Tippfehler, M ist RXR, N ist R.....

Die Relation ist immer noch die gleich wie am Anfang.

Es ist (x,y) aus M=RXR und f(x,y) aus N=R.

Es ist also die Relation gegeben, die die Tupel ((x,y),f(x,y)).
 
 
Newbie... Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe also das Tupel (x,y) aus RxR=M und dieses wird durch f((x,y)) in R=N abgebildet, oder?
Und mein anfängliche Äquivalenzrelation lautet f(a)=f(b). Also suche ich jetzt alle (x,y) für die f(x)=f(y) ist?
Es ist doch f((x,y))=x²+y² oder nicht? So langsam verwirrt es mich, ich weiß nicht mal genau was ich da jetzt geometrisch deuten soll...
Deine Tupeln helfen mir da auch nicht so recht weiter.

Ich kann dir folgen, wenn du sagst:
M=RxR und N=R und (x,y) aus M und f((x,y)) aus N.
(x,y) werden ja auf f((x,y)) abgebildet, und zwar durch die Zuordnungsvorschrift x²+y² (soweit richtig?)
Aber ab da steige ich aus. Wie soll ich dann die Relation f(a)=f(b) da rein bringen?

Irgendwie verwirrt mich das x und y als f(x,y) verknüpft sind, da komme ich nicht mehr weiter. Irgendwie müssen ja, um die Äquivalenzrelation zu erfüllen, die beiden Abbilder von (x,y) aus M gleich sein. aber die abbilder von x und y sind doch beide x²+y²?
Ich steig nicht durch...
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch Mist geschrieben, die Relation ist je eine Relation auf MXM und nicht auf MXN also auf .

Es ist also die Abbildungsvorschrift gegeben und die Relation ist die Menge:

.

Nun ist ja bereits gezeigt, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, denn das sollte man am Anfang zeigen, sicherlich ist sie symmetrisch, reflexiv und transitiv.

Jetzt geht es an die Bestimmung der Äquivalenzklassen, dazu nehmen wir uns ein Tupel heraus und in der Äquivalenzklasse liegen nun alle Tupel, die den gleichen Funktionswert annehmen.
Newbie... Auf diesen Beitrag antworten »

Mmh, ok. Das lass ich mir lieber morgen nochmal durch den Kopf gehen, aber ich denke jetzt hab ichs.
Kannst du nochmal in meinen Thread gucken (Den in dem du mich auf diesen hier aufmerksam gemacht hast). Dort habe ich noch eine Aufgabe mit einer vollständigen Induktion, bei der ich ab einem bestimmten Punkt nicht mehr weiter komme...

Man, das frustriert alles...

Danke nochmal!
MfG,
Tobi
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »