Mengenlehre - Beweis Äquivalenzrelation

29.10.2011, 15:02

Wärenettwennmanhilft

Mengenlehre - Beweis Äquivalenzrelation

Meine Frage:
Hallo,

ich habe hier eine Aufgabe aus der Mengenlehre bekommen:

Seien f:A -> B eine Abbildung.
A und B seien nicht leere Mengen.

ich soll nachweisen, dass folgende Relation eine Ä.relation ist:
\left\{ (a,b)\in A: \ f(a)=f(b)\right\}

Meine Ideen:
Die Vorraussetzung für eine Ä.relation : reflexiv, symmetrisch, transitiv.
Also gilt es diese drei Eigenschaften nachzuweisen.

f(a) und f(b) sind ja sogesehen funktionen, die die beziehung beschreiben...mit anderen worten sind die paare gesucht, die diese gleichung zu einer wahren aussage machen....

Jetzt weiß ich aber nicht, wie ich das mathematisch überprüfen muss...

Es reicht ja, wenn mir jemand exemplarisch einen denkanstoß für die reflexivität geben könnte, damit ich den nachweis sonst schaffe.

ich weiß: Reflexiv= Für alle a aus A: (a,a) ...

Ich würde jetzt gedanklich sagen: Wenn man auf beiden Seiten dieselben werte in die gleiche funktion setzt muss auch dasselbe rauskommen....ist ja irgendwie logisch....
mathematisch komme ich nur auf die idee:
f(a)=f(b) ist dann erfüllt, wenn a=b ... wenn a dasselbe ist wie b, dann gilt automatisch f(a)=f(a)

Ist dies als beweis gültig? was muss noch kommen?

29.10.2011, 15:04

Wärenettwennmanhilft

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Tut mir leid:

{\left\{ (a,b)\in A: \ f(a)=f(b)\right\}

29.10.2011, 15:07

Wärenettwennmanhilft

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Weiß nicht wieso das nicht klappt....naja formel ist:

{(a,b)eA: f(a)=f(b)}

29.10.2011, 15:28

Shalec

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Zitat:

Original von Wärenettwennmanhilft
Tut mir leid:

{\left\{ (a,b)\in A: \ f(a)=f(b)\right\}

versuchs mal mit [ latex] und [ /latex] vor bzw. hinter deinem ausdruck Augenzwinkern

dann klappts!

$\begin{eqnarray*} \{\left\{ (a,b)\in A: \ f(a)=f(b)\right\} \end{eqnarray*}$

So mal zu deiner Aufgabe.

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \{\left\{ (a,b)\in A: \ f(a)=f(b)\right\} \end{eqnarray*}$ definiert eine Ä.relation.

d.h. Teilbehauptung 1) die Menge ist Reflexiv (d.h. für $\begin{eqnarray*} (a,a)\in A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(a)=f(a) \end{eqnarray*}$ )

Teilbehauptung 2) Symmetrie - was musst du hierfür zeigen, damit die symmetrieeigenschaft erfüllt ist? (x~y <=> y~x)

3) Transitivität.. was musst du hier zeigen? (x~y, y~z => x~z)

29.10.2011, 15:35

Wärenettwennmanhilft

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Zitat:

Original von Shalec

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \{\left\{ (a,b)\in A: \ f(a)=f(b)\right\} \end{eqnarray*}$ definiert eine Ä.relation.

d.h. Teilbehauptung 1) die Menge ist Reflexiv (d.h. für $\begin{eqnarray*} (a,a)\in A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(a)=f(a) \end{eqnarray*}$ )

Ersteinmal eine Frage zu der mathematischen Sprache: wenn da steht f(a)=f(b) heißt das, dass die eigenschaft der relation ist oder ist das die funktion der relation oder wie nenne ich das?

Zu dem was du geschrieben hast: Das ist doch noch kein beweis oder? na klar logisch ist es ja, wenn das sogesehen zwei funktionen auf beiden seiten vom gleichheitszeichen sind, die beide absolut gleich sind, dann ist diese gleichung erfüllt, wenn ich auf beiden seiten dasselbe einsetze...aber dann hab ich das doch nicht mathematisch verpackt oder doch?

Hoffe man merkt, dass ich nicht weiß, wann der beweis nun erbracht ist und was als beweis gilt

29.10.2011, 16:00

Shalec

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Zitat:

Original von Wärenettwennmanhilft

Zitat:

Original von Shalec

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \left\{ (a,b)\in A: \ f(a)=f(b)\right\} \end{eqnarray*}$ definiert eine Ä.relation.

d.h. Teilbehauptung 1) die Menge ist Reflexiv (d.h. für $\begin{eqnarray*} (a,a)\in A \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(a)=f(a) \end{eqnarray*}$ )

Ersteinmal eine Frage zu der mathematischen Sprache: wenn da steht f(a)=f(b) heißt das, dass die eigenschaft der relation ist oder ist das die funktion der relation oder wie nenne ich das?

Mengen haben ja eine gewisse gestalt.. $\begin{eqnarray*} \{\text{Elemente der Menge }: \text{diese Eigenschaft wird von jedem Element der Menge erfüllt }\} \end{eqnarray*}$

D.h. deine Behauptung besagt, dass deine Menge eine Äquivalenzrelation definiert. Um eine Äquivalenzrelation zu sein, musst du zeigen, dass alle 3 Eigenschaften erfüllt sind.

Zitat:

Original von Wärenettwennmanhilft
Zu dem was du geschrieben hast: Das ist doch noch kein beweis oder? na klar logisch ist es ja, wenn das sogesehen zwei funktionen auf beiden seiten vom gleichheitszeichen sind, die beide absolut gleich sind, dann ist diese gleichung erfüllt, wenn ich auf beiden seiten dasselbe einsetze...aber dann hab ich das doch nicht mathematisch verpackt oder doch?

Hoffe man merkt, dass ich nicht weiß, wann der beweis nun erbracht ist und was als beweis gilt

Ich hab noch keinen Beweis geführt, nur Hilfestellungen gegeben, sodass du den Beweis führen kannst Augenzwinkern

In diesem Fall (1) behauptest du, dass deine Menge reflexiv definiert ist.
Das einzige was dir zur Verfügung steht, um den Beweis zu führen sind deine Angaben oben. D.h. du hast ne Abbildung f: A-> B, deine Menge besagt, dass alle Paare (a,b) (bzw. 2-Tupel) auf das gleiche Bild abgebildet werden.

Das sagt dir zur Reflexivität, dass du zeigen musst, dass (a,b) ~ (a,b).
du weißt, dass für (a,b) gilt, dass: f(a)=f(b). Aus dieser Tatsache, kannst du was folgern.

Die Symmetrie ist etwas schwerer..

Guck mal hier (Wiki)

29.10.2011, 16:07

Wärenettwennmanhilft

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Zitat:

Original von Shalec
[
Ich hab noch keinen Beweis geführt, nur Hilfestellungen gegeben, sodass du den Beweis führen kannst Augenzwinkern

da steht jetzt, dass (a,b) in relation zu (a,b) steht....ich dachte immer reflexivität bedeutet: x steht in relation zu x, also (x,x)....das heißt für mich sogesagt: wenn ich f(x)=f(x), also überall x einsetze, dann ist diese gleichung erfüllt ?

29.10.2011, 16:47

Shalec

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Reflexivität bedeutet:

$\begin{eqnarray*} \forall x\in X(=\{ x\ |\ Eigenschaft\})\quad:\ x\sim x \end{eqnarray*}$

Deine $\begin{eqnarray*} x\in M(:= \{ (a,b)\in A\ |\ f(a)=f(b)\}) \end{eqnarray*}$ haben gerade die Gestalt: $\begin{eqnarray*} x= (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ damit das überhaupt ein Element aus M sein kann. smile

29.10.2011, 17:18

Wärenettwennmanhilft

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Also ist da ein fundamentaler fehler meinerseits?

Ich war davon ausgegangen, dass reflexiv ganz salopp gesagt ist:

(x,y) wenn x=y also wenn bei beiden derselbe wert steht wie bspw. (1/1)

Was heißt denn dann dieses steht in Relation zu sich selbst? Dieser beitrag verwirrt zunehmen Big Laugh

30.10.2011, 11:37

Shalec

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Hallo

erklär mir mal mit deinen Worten, was du bislang unter eine Äquivalenzrelation verstanden hast.
Überlege dir hierzu auch einmal eine formelle - nicht mathematische - Definition der Wörter: Relation und Äquivalenz. Oft sind diese gedanklich sehr stark mit einander verbunden Augenzwinkern

(hilft für das Arbeiten mit solchen Begriffen enorm)

Ich weiß jetzt nicht genau, ob die Menge gerade jene Menge ist, die Elemente beinhaltet, sodass diese in relation zu einander stehen (bzw. Äquivalent zu einander sind).. d.h.
falls $\begin{eqnarray*} x\sim y \end{eqnarray*}$ dann ist $\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} (x,y)\in M:=\{ (a,b)\ :\ f(a)=f(b) \} \end{eqnarray*}$

das gilt noch zu klären.

Weil, ist die Menge M,eine Menge die nur Elemente beinhaltet, für diese eine Ä.relation (Behauptung) vorliegt, dann ist das trivialerweise bereits gegeben..

d.h. für (x,x) aus M gilt f(x)=f(x) und damit x~x
für (x,y) aus M gilt f(x)=f(y) und damit eben x~y sowie y~x
für (x,y) und (y,z) aus M gilt: f(x)=f(y), f(y)=f(z) und damit ebenfalls x~y, y~z und so x~z.

aber das scheint mir zu einfach smile

30.10.2011, 12:46

Wärenettwennmanhilft

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Also zur Relation:
Eine Relation ist die Beziehung zwischen zwei Elementen, die eine Teilmenge des kartesischen Profukts sind. Wenn also (x,y) da steht, dann steht x mit y in beziehung. Eben die Beziehung, die im Hinteren Teil beschrieben wird: wenn bspw. {(x,y)e R*R: y=x²)}, dann sind die k. Produkte all diejenigen, die diese Gleichung erfüllen...also bspw. (2,4) oder sowas..... Also steht hinten für mich die Eigenschaft der beziehung...

Äquivalenz heißt erstmal gleich....also sind für mich Äquivalenzrelationen, relationen mit gleichen eigenschaften.....hier ist wohl auch ein problem...ich sehe kaum einen unterschied zu einer relation!!

Für was steht die Bezeichnung: x~y eigentlich heißt das doch x ist äquivalent zu y? heißt das, dass es wirklich dieselben werte sind oder steht das eher dazu, dass x in einer beziehung mit y steht?

Die Menge M beinhaltet nur Elemente!

Tut mir leid, dass ich so schwerfällig im verstehen bin :/

Aber ich verstehe folgendes einfach nicht:

Zitat:

d.h. für (x,x) aus M gilt f(x)=f(x) und damit x~x
für (x,y) aus M gilt f(x)=f(y) und damit eben x~y sowie y~x
für (x,y) und (y,z) aus M gilt: f(x)=f(y), f(y)=f(z) und damit ebenfalls x~y, y~z und so x~z.

Das sind jetzt die reflexivität, symmetrie und transitivität....
aber was sagt das denn aus?
Ich lese bspw. für die reflexivität: a steht in relation mit sich selbst? wie ist das zu verstehen? da machts einfahc nicht klick bei mir Hammer

Bei dem was du geschrieben hast: Inwiefern hab ich denn jetzt auch nur irgendwas nachgewiesen?

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