Menge, Gruppe, Körper, Vektorraum

04.01.2007, 20:20

SilverBullet

Menge, Gruppe, Körper, Vektorraum

Lese grad in LA alles von vorne durch und da wollte ich nur mal nach einer Kleinigkeit nachfragen.

Habe es hier mal sehr lax formuliert und es wäre echt super nett wenn sich mal jemand durchlesen könnte was ich hingeschrieben habe und checkt ob das denn so etwa stimmt.

Habe auch noch ein paar Fragen diese habe ich fett geschrieben.

Also was eine Menge ist ist klar. Sack auf { Elemente rein und Sack zu }.

Wobei gilt : {1,1,2,2,3,3,3,3} ist das gleiche wie {1,2,3}. Richtig ?

Weiter gehts mit der Gruppe.

Eine Gruppe besteht aus einer Menge M und 1 Verknüpfung.
Welche Verknüpfung ist egal oder ?
Für die Verknüpfung muss gelten : Sie ist abgeschlossen in der Menge (also aus $\begin{eqnarray*} a \in M, b \in M \text{ folgt dann } a+b \in M \end{eqnarray*}$ .
Dann muss auf der Menge bezüglich der Verknüpfung noch gelten :
Assoziativität
Existenz eines Neutralen Elementes
Für jedes Element a aus M existiert ein Inverses Element -a sodass a + (-a) = Neutrales Element

Nun kommen wir zum Körper.
Ein Körper besteht aus einer Menge und 2 Verknüpfungen.
Welche Verknüpfungen das sind, ist egal? Oder muss es + und * sein ?
Es muss bezüglich jeder der beiden Verknüpfungen gelten :
Assoziativität
Kommutativität
Existenz eines neutralen und inversen Elementes.

Und nun noch der Vektorraum.
Ein Vektorraum besteht aus einem Körper K, dazu kommt noch eine Menge V mit einer Verknüpfung(ist dies dann nicht schon eine Gruppe?)
Und dann noch eine äußere Verknüpfung, sodass gilt : K x V - > V
Damit ist nur die skalare Multiplikation gemacht oder ?

mfg
Marc

04.01.2007, 20:29

kiste

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Menge, Gruppe, Körper, Vektorraum

Zitat:

Also was eine Menge ist ist klar. Sack auf { Elemente rein und Sack zu }.

Wobei gilt : {1,1,2,2,3,3,3,3} ist das gleiche wie {1,2,3}. Richtig ?

Soweit ich weiß darf ein Element nur einmal angegeben werden, {1,1} ist also keine Menge. Aber kann auch definitionssache sein

Zitat:

Eine Gruppe besteht aus einer Menge M und 1 Verknüpfung.
Welche Verknüpfung ist egal oder ?

Ja welche Verknüpfung ist egal, sie muss halt definiert sein

Zitat:

Für die Verknüpfung muss gelten : Sie ist abgeschlossen in der Menge (also aus $\begin{eqnarray*} a \in M, b \in M \text{ folgt dann } a+b \in M \end{eqnarray*}$ .
Dann muss auf der Menge bezüglich der Verknüpfung noch gelten :
Assoziativität
Existenz eines Neutralen Elementes

Die Existenz genau eines ist klar wenn man ein neutrales Element e hat da:
Sei f ein anderes neutrales Element gilt:
e = e * f = f mit der Verknüpfung * und der Anwendung der Eigenschaften neutraler Elemente

Zitat:

Welche Verknüpfungen das sind, ist egal? Oder muss es + und * sein ?

Ja das ist egal, + und * sind nur Schreibweisen für Verknüpfungen, es könnte genauso gut ~ und ^ sein.

Zitat:

Und nun noch der Vektorraum.
Ein Vektorraum besteht aus einem Körper K, dazu kommt noch eine Menge V mit einer Verknüpfung(ist dies dann nicht schon eine Gruppe?)

Sogar eine abelsche Gruppe

Zitat:

Und dann noch eine äußere Verknüpfung, sodass gilt : K x V - > V
Damit ist nur die skalare Multiplikation gemacht oder ?

Ja die Verknüpfung ist die skalare Multiplikation

04.01.2007, 20:45

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Super danke Big Laugh

04.01.2007, 22:27

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SilverBullet
Und nun noch der Vektorraum.
Ein Vektorraum besteht aus einem Körper K, dazu kommt noch eine Menge V mit einer Verknüpfung(ist dies dann nicht schon eine Gruppe?)
Und dann noch eine äußere Verknüpfung, sodass gilt : K x V - > V
Damit ist nur die skalare Multiplikation gemacht oder ?

Was meinst du mit der Frage in der Klammer? Nur weil die Menge $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ noch "dazukommt" (diese Ausdrucksweise ist übrigens nicht sehr sinnvoll. Zunächst müssen $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ nämlich gar nichts miteinander zu tun haben.), ist sie noch nicht eine abelsche Gruppe. Damit aber $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit den beiden Verknüpfungen ein Vektorraum ist, müssen bestimmte Gesetze gelten. $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist also eine Menge, auf der zwei Verknüpfungen $\begin{eqnarray*} +:V\times V\to V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cdot :K\times V\to V \end{eqnarray*}$ definiert sind. Für diese müssen dann, wie gesagt, noch bestimmte Gesetze gelten, damit das Tripel $\begin{eqnarray*} [V,+,\cdot] \end{eqnarray*}$ Vektorraum genannt wird. Welche das sind, siehe z.B. Wikipedia.

Gruß MSS

05.01.2007, 17:11

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wirft wieder meine Frage auf :

Im Skript haben wir geschrieben das "+" nicht als Plus zu verstehen ist sondern nur als Verknüpfung.

Aber in der Definition eines Vektorraumes wird ja zum Beispiel die Skalare Multiplikation gefordert wie auch das z.b. aus $\begin{eqnarray*} a \in V \text{ und } b\in \text{ auch folgt, dass } a+b \in V \end{eqnarray*}$

Also sind es doch nicht willkürliche Verknüpfungen sondern wirklich die "Multiplikation" und "Addition" oder ?

05.01.2007, 17:20

Auf diesen Beitrag antworten »

eben nicht. Das kannst du schon an einfachen Beispielen sehen. Die Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist ja auch nicht "gewöhnlich" oder. Dennoch liegt ein Vektorraum vor

05.01.2007, 17:20

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ob die Verknüpfung nun $\begin{eqnarray*} + \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ oder irgendwie anders heißt, ist vollkommen egal. Wichtig ist nur, dass $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ unter der Verknüpfung abgeschlossen ist (wie du gesagt hast) und dass die Vektorraumgesetze gelten. Das "Plus", was du kennst, ist dabei aber nicht die einzige Verknüpfung, die das erfüllt. Du kannst dir auch andere definieren. Außerdem gibt es auch Vektorräume, wo das "Plus", was du kennst, so gar nicht definiert ist.

Gruß MSS

06.01.2007, 18:05

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok alles klaro danke euch dreien Big Laugh

Geht jetzt allerdings weiter.

Spricht man nun von der Dimension eines K-VRes $\begin{eqnarray*} dim_KV \end{eqnarray*}$ so ist damit die Anzahl an "Vektoren" eines maximal linear unabhängigen Systemes gemeint (damit also eine Basis) welches den K-Vektorraum erzeugt :
KxV = V.

Also ich habe meine Skalare aus K und wieviele "Vektoren" brauche ich aus V um ganz V zu erzeugen. Diese Anzahl entspricht der Dimension des K-Vektorraumes.

Stimmt das so ?

06.01.2007, 20:39

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube du meinst das richtige.

Also: Du hast eine Basis eines Vektorraums. Das heißt du kannst jeden Vektor aus dem Vektorraum als Linearkombinationen der Vektoren darstellen, die in der Basis enthalten sind. Und die Anzahl derer entspricht der Dimension des Vektorraums

06.01.2007, 21:07

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm beantwortet leider noch nicht ganz meine Frage oder ich hab es noch nicht ganz verstanden. Ich probier es mal auszuformulieren :

V sei ein K-Vektorraum.

Dann bedeutet das jetzt :

K ist ein Körper und V ist eine Menge. Dazu wie bereits oben geschrieben die Verknüpfungen. Damit haben wir dann V als K-Vektorraum.

Die Dimension des K-Vektorraumes $\begin{eqnarray*} dim_K V \end{eqnarray*}$ entpricht also einer bestimmten Anzahl an Vektoren aus der Menge V? Mit dieser Anzahl an Vektoren welche linear unabhängig sind und somit eine Basis lassen sich alle anderen Vektoren aus V erzeugen.

So hoffe das ist richtig. Das wichtigste ist wo die Vektoren der Basis herkommen? Klar aus dem K-VR aber wo aus diesem K-VR. Sie kommen doch aus der Menge V richtig ? Die Skalare für die Skalare Multiplikation kommen ja aus dem Körper K aus dem K-VR.

06.01.2007, 21:11

Auf diesen Beitrag antworten »

richtig, aber eine Bemerkung habe ich noch. Augenzwinkern

Zitat:

Mit dieser Anzahl an Vektoren welche linear unabhängig sind und somit eine Basis lassen sich alle anderen Vektoren aus V erzeugen

Für eine Basis müssen die Vektoren nicht nur linear unabhängig sein, sondern auch eine Erzeugendenmenge. Wenn du z.B. die drei Basisvektoren hast, aber den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ betrachtest, dann sind die drei Vektoren keine Basis, obwohl sie linear unabhängig sind

06.01.2007, 22:29

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh da war es ! Hab eben als ich das oben geschrieben habe unter Druck gestanden da meine Freundin den Film schauen wollte und ich mich daher ein wenig beeilt hab Big Laugh

Sollte eigentlich heißen :

Mit dieser Anzahl an Vektoren welche maximal linear unabhängig sind und somit eine Basis lassen sich alle anderen Vektoren aus V erzeugen

Vielen lieben dank jedenfalls. So langsam fange ich endlich an zu verstehen Big Laugh

Leider ist alles bei unserem Prof ziemlich umständlich und kompliziert ausgedrückt. Bosch halt Big Laugh

Neue Frage »

Antworten »

Menge, Gruppe, Körper, Vektorraum

Verwandte Themen