Extremwertaufgabe nicht lösbar?

29.10.2011, 20:08

graNite

Extremwertaufgabe nicht lösbar?

ahoi
ich gebe nachhilfe und habe, weil uns die aufgaben ausgegangen sind, mir selbst eine extremwertaufgabe ausgedacht. beim rechnen sind wir aber irgendwann nicht mehr weitergekommen; für mich ist die aufgabe nicht lösbar, vielleicht auch, weil sie zu komplex ist. ich hoffe, ich kann sie gut erklären, aufmalen kann ich es nicht.

gegeben ist f(x)=q*x² (q,x>0). Begrenzt wird der ausschnitt, den wir betrachten, durch die geraden y=5 und x=5 und die koordinatenachsen.

Die Frage ist, für welches q wird die summe aus den flächen a und b maximal, wobei

a= ein dreieck ist, das gebildet wird aus der y-achse,der gerade g(x)=5 und der verbindung des ursprungs mit dem schnittpunkt von g(x) und f(x).
b=das größte quadrat unter f(x)ist , dessen rechte, untere ecke der punkt (5/0) ist.

Ich hoffe das ist verständlich genug, malts euch am besten auf. Big Laugh

Den Flächeninhalt von a habe ich schon in abhängigkeit von q, das ist meiner meinung nach $\begin{eqnarray*} 2,5*\sqrt{(5/q)} \end{eqnarray*}$

29.10.2011, 20:48

riwe

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RE: Extremwertaufgabe nicht lösbar?
deine quadratformel dürfte nicht stimmen unglücklich

"vermutung"

$\begin{eqnarray*} q=\frac{1}{5}\to A\approx 16.15 \end{eqnarray*}$

edit: wenn´s so wie im bilderl gemeint sein sollte

29.10.2011, 21:09

graNite

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RE: Extremwertaufgabe nicht lösbar?
genau so, vielen dank für dein bild.
die linke seite des dreiecks besteht aus dem y-achsenabschnitt, ist also 5 einheiten lang. und die obere kante ist doch x lang mit 5=q*x², weil ja die funktion an der stelle x die höhe 5 hat. demnach muss doch der flächeninhalt für das dreieck meiner meinung nach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*5*\sqrt{5/q} \end{eqnarray*}$ sein. bei q=1/5 wäre A dann 12,5 flächeneinheiten groß, nciht ca. 16,15, sehe ich das richtig?

29.10.2011, 21:37

riwe

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RE: Extremwertaufgabe nicht lösbar?
entschuldige, da habe ich a und b verwechselt.
klar das dreieck hat die fläche

$\begin{eqnarray*} A_\Delta=\frac{5}{2}\sqrt{\frac{5}{q}} \end{eqnarray*}$

das quadrat ist etwas ekliger zu berechnen

seine seite beträgt

$\begin{eqnarray*} a=\frac{10q+1-\sqrt{20q+1}}{2q} \end{eqnarray*}$

29.10.2011, 21:46

riwe

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RE: Extremwertaufgabe nicht lösbar?

Zitat:

Original von graNite
genau so, vielen dank für dein bild.
die linke seite des dreiecks besteht aus dem y-achsenabschnitt, ist also 5 einheiten lang. und die obere kante ist doch x lang mit 5=q*x², weil ja die funktion an der stelle x die höhe 5 hat. demnach muss doch der flächeninhalt für das dreieck meiner meinung nach $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}*5*\sqrt{5/q} \end{eqnarray*}$ sein. bei q=1/5 wäre A dann 12,5 flächeneinheiten groß, nciht ca. 16,15, sehe ich das richtig?

ich habe die GESAMTfläche berechnet, der rest steht 1 drüber Augenzwinkern

29.10.2011, 21:58

graNite

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Für die Lösung halten wir also erst einmal fest:

$\begin{eqnarray*} A=\frac{5}{2}\sqrt{\frac{5}{q}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B={(\frac{10q+1-\sqrt{20q+1}}{2q})}^{2} \end{eqnarray*}$

dann müssen wir also Summe S(q)=A(q)+B(q) aufstellen, ableiten und gleich 0 setzen, um den extrempunkt auszurechnen? sollte ja kein problem sein Big Laugh

29.10.2011, 22:12

riwe

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vermutung 2: $\begin{eqnarray*} q=\infty\to A = 25 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

29.10.2011, 22:24

graNite

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Also liegt es an der schlecht gestellten aufgabe, dass man q immer größer wählen kann, weil der flächeninhalt des quadrats schneller wächst als der des dreiecks sinkt?

29.10.2011, 22:56

graNite

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Zitat:

Original von riwe
vermutung 2: $\begin{eqnarray*} q=\infty\to A = 25 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

dann müsste doch auch gelten:

$\begin{eqnarray*} q= \frac{1}{\infty } \to A=25 \end{eqnarray*}$

//edit:blabla alles quatsch Big Laugh

nächstes mal denk ich mir ne einfachere aufgabe aus
danke trotzdem!

29.10.2011, 23:02

Bjoern1982

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Zitat:

nächstes mal denk ich mir ne einfachere aufgabe aus

Es gibt doch zig Webseiten gerade mit Extremwertaufgaben, ich kann mir nicht vorstellen, dass man da nicht fündig wird. Augenzwinkern

Oder auch wenn du mal die Suchfunktion hier im Board benutzt, findest du bestimmt einiges.

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