Induktion beweis

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Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion beweis
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Ich wollte das gaze per induktion machen:



Nur leider weiss ich nicht weiter. Wie multipliziert man den zwei Summen ?
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Da sollte n+1 stehen und nicht 1k bzw. 11
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »
Da musst du nochmal ran...
Zitat:
Original von Monique023
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Inwiefern kann man einen Term "zeigen"??? Fehlt da nicht was? verwirrt
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

natürlich der soll größer gleich n^2 sein Big Laugh
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Monique023
natürlich der soll größer gleich n^2 sein

Ah..ja. Big Laugh


Dann schreiben wir es doch mal richtig hin, denn ich nehme an, die j's sind nur als Indizes gemeint:



Außerdem wird man noch voraussetzen müssen, dass alle positiv sind.
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich die Aufgabe auch vorhin gemacht habe, poste ich sie nochmal richtig. ^^

Seien positive reele Zahlen. Zeigen Sie :



Also Induktionsanfang hast du denke ich richtig gemacht?

Wie sieht denn nun dein Induktionsschritt aus? Bessr gesagt : Was machst du am besten erstmal mit den beiden Summen in den beiden Klammern? ( aus n+1 mach...? )
 
 
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, sorry mit der schreibweise habe ich hier so meine Probleme.

Danke das du diesen Part nun übernommenhast.
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verändere die Summe zu:



Allerdings kann ich die Induktionsannahme nicht einsetzen, da ich die Summen ja vorher Multiplzieren müsste, bzw. die addition zu viel ist...ich weiss aber nicht wie ich die Multiplizieren kann.

Mein Idex ist zwar k, aber das ist ja egal. Die Aufgabe ist sonst genau die selbe
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch noch nicht ganz richtig. Die letzen Glieder sind nicht n+1, schon garnicht beim Zweiten. ^^
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Ups sorry

Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Und nun überleg mal, wie man folgendes ausmultipliziert und versuche das Ganze auf diese Situation zu übertragen.

(a+b)(c+d)
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Jeden Faktor einmal, allerdings darf ich die Summen doch nicht einfach so Multiplizieren oder ?



müsste ich doch als erstes verrechnen. Dann halt die x(n+1) usw.
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib mal ganz genau hin, wie das ausmultipliziert aussieht. Wenn du das getahen hast, dann sind wir mit der Aufgabe schon fast fertig Augenzwinkern
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ich glaube ich hab es schon gerafft. Ich muss die ja auch nicht wirklich mit einander verrechenen. Ich kann ja auch einfach hinschreiben, dass man die als erstes multipliziert und dann einfach meine Induktionsvorraussetzung einsetzen oder ?
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Ob du dann auch den ganzen Rest siehst weiß ich natürlich nicht..., dass du nämlich dann im Anschluss noch eine kleinere Ungleichung zu zeigen hast zum Beispiel ^^

ps : Du musst das Ganze naürlich nicht unbedingt hier ausmultipliziert ausschreiben. Auf deinem Blatt aber schon...
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte dann



Sorry ich bin irgendwie unfähig das hier hinzuschreiben. traurig

Mit stift und papier, ist es tausendmal einfacher als hier im board
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlt ja nur ein + und da fehlt mir noch ein ^^

Solltest du aber auf dein Blatt schauen und wissen was ich meine, dann machen wir weiter, ansonsten musst du es nochmal ordentlich ausmultiplizieren. ^^

Jedenfalls soll ja der ganze Wirrwar da größer sein als

Jetzt schau dir also die linke Seite und die rechte Seite an und schau, was dir sofort auffällt, was bei dieser Ungleichungschonmal schnell ins Auge sticht, und welche Gültigkeit wohl erst noch bewiesen werden muss.
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay ich hab es mir jetz alles ordentlich hingeschrieben. Allerdings habe ich da immernoch eine Summe drin stehen (die beiden Summen zu einer Zusammengezogen).

Der letzte teil wird ja zu eins.

Nur was mache ich mit der Summe, außerdem frage ich micht grade warum das größer sein soll als .
Da steht doch
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast absolut recht, hab auf ein falsches Blatt geguckt O_O ( von aufgabe 2 Big Laugh )

Naja wir haben also auf der linken Seite 4 Terme und auf der rechten Seite 3 Terme. Ich schreibe es einmal kurz auf :



So diese Ungleichung soll also gelten. Jetzt betrachte mal deine Induktionsvorraussetzung, und vergleiche beide Seiten. Wenn du überlegst, welche Terme sich sozusagen gegenseitig " wegkürzen" , also nicht wegkürzen in dem Sinne, sondern im Sinne von das die Ungleichunggilt, welche Terme bleiben am Ende noch übrig? Ich weiß ein wenig schwammig vformuliert, aber vielleicht kommst du ja doch drauf ^^
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, also den ersten teil kann ich ja schonmal durch meine Induktionsvorraussetzung ersetzen.

Die Summe habe ich noch zusammengefasst. Aber was sich da jetz wegkürzt sehe ich grade nicht ? verwirrt

Vielleicht bei der Summe wenn ich xn mal habe und das durch x(n+1) teile bleibt nur noch 1/durch den größten Faktor.
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Ne das ist quatsch wir haben ja summen, allerdings verstehe ich immernoch nicht genau woaruf du hinaus willst. Hammer
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Also wie du richtig erwähnt hast, können wir den ersten Term auf der rechten Seite wie auch den auf der linken Seite durch unsere Brille der Induktionsvorraussetzung betrachten. Und wir haben auch links am Ende eine 1 und auch rechts am Ende eine 1.

Es bleiben also links noch die beiden mittleren Terme übrig und rechts die 2n. Wenn wir zeigen, dass auch dort die Größerbeziehung gilt, wären wir ja schön aus dem Schneider. Jetzt überleg aber mal, ob wir in der Vorlesung oder mal in der Übung eben eine solche Ungleichung hatten. Augenzwinkern
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Ehm...ob ich solch eine Ungleichung schonmal gesehen habe ?
Irgendwie nicht :-)

Allerdings baut sie ja auf einen änlichen prinzip wie die Dreiecksungleichung auf, weshalb sie glten muss.
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe dich ganz explizit auf Vorlesung und Übung aufmerksam gemacht. O_O

Wir haben eine ähnliche Ungleichung bereits bewiesen, auch wenn sie etwas allgemeiner war. Schau dir doch mal das Skript an und auch unsere Übungszettel. So viele hatten wir davon jawohl noch nicht Augenzwinkern
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich kann auch einfach diese Ungleichung beweisen.

Allso müsste die Summe durch dem Geteilten + der kehrwert größer sein als 2n

Also hätte ich einfach an/bn+bn/an>2n da kürze ich die n´s weg
und bekomme die Binomischeformel raus.

Somit ist es genau das selbe

Danke dir. Prost
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Ja , schau mal Hausaufgabe 2 Aufgabe 3 a) i) ^^

Gut nächtle dann, hast du eigentlich schon Aufgabe 2 gelöst? Hab schon N als 10 verstanden, aber den Beweis bekomme ich net ganz hin O_o
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du den Beweis ?

?
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Siewht leicht aus , aber verdammt nochmal böse
Monique023 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir auch nicht ganz sicher.

Ich hab das ganze mittels abschätzen gemacht. Allerdings kommt man dann auch nicht auf n>9 bzw.
also dass er 10 sein soll oder größer, sondern nur n>3 oder so.

Die ist wirklich schwer.
Pfirsichtee Auf diesen Beitrag antworten »

Ok , dann gut Nacht ^^
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