Faktorgruppe

30.10.2011, 10:42

loyloep

Faktorgruppe

Meine Frage:
Zeigen Sie: Die Faktorgruppe Q/Z ist kein Ring.

Meine Ideen:
Als Tip wurde angeben die Behauptung zu reformulieren, was mir allerdings auch nicht weiterhilft. Hat jemand eine Idee, wie man zur Lösung vorgeht?

30.10.2011, 11:38

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du dir vorstellen wie diese Faktorgruppe aussieht, d.h. kannst du bestimmen wann zwei Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ in der selben Restklasse sind?

30.10.2011, 12:03

loyloep

Auf diesen Beitrag antworten »

Formal sieht die Faktorgruppe so aus: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q/\mathbb Z = \lbrace a \mathbb Z = \mathbb Z a \vert a \in \mathbb Q \rbrace \end{eqnarray*}$ .

Um zu zeigen, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} \mathbb Q/ \mathbb Z \end{eqnarray*}$ um keinen Ring handelt, wäre ja nur zu überprüfen, welche der Ringeigenschaften nicht gilt.

30.10.2011, 12:51

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von loyloep
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q/\mathbb Z = \lbrace a \mathbb Z = \mathbb Z a \vert a \in \mathbb Q \rbrace \end{eqnarray*}$

Das ist zum einen nicht ganz richtig und zum anderen etwas ungeschickt.
$\begin{eqnarray*} a \mathbb Z \end{eqnarray*}$ würde ich nicht schreiben, da es sicht bei der ausgelassenen Operation um die Addition handelt und nicht die (zumindest auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ) auch vorhandene Multiplikation.
Ich würde daher
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q/\mathbb Z = \lbrace a + \mathbb Z \vert a \in \mathbb Q \rbrace \end{eqnarray*}$
schreiben. Da $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ kommutativ ist gilt tasächlich $\begin{eqnarray*} a + \mathbb Z = \mathbb Z + a \end{eqnarray*}$ , aber das gehört nicht in die Definition.

Meine zweite Frage hast du allerdings noch nicht beantwortet.

Zitat:

Original von pseudo-nym
[...] kannst du bestimmen wann zwei Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ in der selben Restklasse sind?

30.10.2011, 13:16

loyloep

Auf diesen Beitrag antworten »

Wann zwei Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ in der Restklasse sind, kann ich nicht sagen. Das erschließt sich für mich nicht aus der Formel.

30.10.2011, 14:08

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, dann würde ich mich da einmal ransetzen.

Generell musst du natürlich zeigen, dass es eine Multiplikation gibt deren Ergebnis von der Wahl der Repräsentanten abhängt, aber um Ideen zu bekommen was du multiplizieren musst wird eine genauere Kenntnis der Struktur von $\begin{eqnarray*} \mathbb Q / \mathbb Z \end{eqnarray*}$ nützlich sein.

Du könnest dir z.B. mal ein festes a wählen und dir überlegen wie die zugehörige Äquivalenzklasse explizit aussieht.

31.10.2011, 10:02

loyloep

Auf diesen Beitrag antworten »

Da $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ muss es unendlich, abzählbar viele Äquivalenzklassen geben.

Zwei Elemente $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ liegen in der gleichen Äquivalenzklasse wenn ihre Differenz $\begin{eqnarray*} b-a = 1k \quad k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein ganzzahliges Vielfaches von Eins ist.

Wie zeige ich nun aber, dass eine Multiplikation gibt, deren Ergebnis von der Wahl der Repräsentanten abhängt?

Neue Frage »

Antworten »

Faktorgruppe

Verwandte Themen