Äquivalenzrelation nachweisen

30.10.2011, 14:13	Drusilla	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation nachweisen Meine Frage: Ich habe da eine Relation $\begin{eqnarray} S \subseteq R² x R²<br /> S:={((x1,y1),(x2,y2)) so dass gilt: x1²+y1²=x2²+y2²} \end{eqnarray}$ Wie soll ich hier konkret Äquivalenzklassen nachweisen? Meine Ideen: reflexiv: sei x2,y2,y1= x1 dann ist sie reflexiv denn (x1,x1) ~ (x1,x1) -> zu sich selbst symmetrisch: sei x2= x1 und y2 = y1 dann (x1,y1) ~ (x1,y1) bzw. (x1,y1)~(y1,x1) x1²+y1²= x1²+y1² 1=1 transitiv: Wie am besten nachweisen??? meine Idee: (x1,y2) ~ (x2,y1) dann auch (x1,y1) was ja auch Sinn macht. Wäre das dann schon der Beweis oder muss ich noch was rechnen? Odfer muss ichs ganz anders amchen mit einem "ausgedachten" z (oder z-Paar: (z1,z2) ????
06.11.2011, 14:14	wasilij4423	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hänge grad an derselben Aufgabe, würde muich ebenfalls über antworten freuen!
06.11.2011, 14:30	DP1996	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Für die Reflexivität musst du beachten, dass die einzelnen Komponenten der Relation selbst geordnete Paare sind, d.h. du musst nachweisen, dass (x1,y1)~(x1,y1) ist. 2.Das gleiche gilt für die Symmetrie: Du musst zeigen, dass aus (x1,y1)~(x2,y2) folgt, dass (x2,y2)~(x1,y1) ist 3. Das funktioniert am besten, indem du sagst: Wenn (x1,y1)~(x2,y2) und (x2,y2)~(x3,y3) gilt, dann gilt auch (x1,y1)~(x3,y3) Nachrechnen, dass das auch stimmt, muss man bei allen 3en.
06.11.2011, 15:35	Wasilij4423	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe das jetzt folgendermaßen geschrieben: Ä1: (x1,y1)~(x1,y1) <=> $\begin{eqnarray} x1^2+y1^2=x1^2+y1^2 \end{eqnarray}$ => Wahr. Ä2: (x2,y2)~(x1,y1) <=> $\begin{eqnarray} x2^2+y2^2=x1^2+y1^2 \end{eqnarray}$ => wahr. am dritten sitz ich noch.
06.11.2011, 15:39	Wasilij4423	Auf diesen Beitrag antworten »
Ä3: (x1,y1)~(x2,y2)~(x3,y3) <=> $\begin{eqnarray} x1^2+y1^2=x2^2+y2^2=x3^2+y3^2 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} x1^2+y1^2=x3^2+y3^2 \end{eqnarray}$ => (x1,y1)~(x3,y3) wars das?
06.11.2011, 16:17	WaechterT	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Drusilla, deine Herangehensweise ist etwas durcheinander. Mach dir zuerst einmal klar, was du zeigen musst, und dann lege Bedingungen für deinen Beweis entsprechend fest. Zum Beispiel setzt du bei den Beweisen immer voraus, dass $\begin{eqnarray} (x_1,y_1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (x_2, y_2) \end{eqnarray}$ gleich sind - damit beweist du aber immer nur (x~y) => (y~x) wenn x=y, betrachtest also immer den selben Spezialfall. Symmetrie beispielsweise würde aber bedeuten, dass (x~y) => (y~x) für beliebige x und y. Dann zeige, dass daraus die gewünschte Eigenschaft folgt. Beispiel symmetrisch: zu zeigen: $\begin{eqnarray} x \sim y \Rightarrow y \sim x \end{eqnarray}$ Also: Sei $\begin{eqnarray} (x_1,y_1) \sim (x_2,y_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_1^2 + y_1^2 = x_2^2 + y_2^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_2^2 + y_2^2 = x_1^2 + y_1^2 \end{eqnarray}$ (wegen Gleichheit) $\begin{eqnarray} \Rightarrow (x_2,y_2) \sim (x_1,y_1) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ S ist symmetrisch Also wenn man das Ganze überfliegt steht in der ersten Zeile (x~y) dann kommenn Folgerungen und dann am Schluss folgt (y~x) und DAS ist die Definition von symmetrisch. Wenn du die richtigen Voraussetzungen findest ist der Beweis an sich oft gar nicht mehr so schwer.
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