Boolsche Ringe und Isomorphismus |
30.10.2011, 17:41 | loyloep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Boolsche Ringe und Isomorphismus Den ersten Teil, also den Nachweis, dass ein Boolscher Ring ist, habe ich erbracht. Bei dem zweiten Teil, weiß ich nicht, wie ich nachweisen soll, dass die Abbildung ein Isomorphismus von Ringen ist. |
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30.10.2011, 17:53 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Teilmenge von kann als Folge von Ja-Nein-Entscheidungen aufgefaßt werden. Man geht alle Elemente von durch und fragt: "Mein Freund, gehörst du zu "? Bei "Nein" setzt man eine , bei "Ja" eine . Und schon hast du die gesuchte Funktion . Dann mußt du noch zeigen, daß einen Isomorphismus definiert. |
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31.10.2011, 08:56 | loyloep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist gerade mein Problem: Wie zeige ich, dass es sich bei der Abbildung um einen Isomorphismus handelt . Einerseits ist zu zeigen: das ein Homomorphismus ist und andererseites dass es bejektiv ist. Aber wie? |
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31.10.2011, 09:50 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich bezeichne das Mengenkomplement bezüglich durch Überstreichung. ist disjunkte Vereinigung von vier Mengen: Zeichne dir ein Venn-Diagramm, dann leuchtet diese Zerlegung unmittelbar ein. Jetzt unterscheide vier Fälle, je nachdem, in welchem der Bereiche liegt und vergleiche mit . Für den Fall führe ich dir das einmal vor: Wegen ist , wegen ist . Und wegen ist . Daher gilt: Und so spiele die anderen drei Fälle durch. Wenn du alles zusammen hast, kannst du für alle schließen. Das Pluszeichen links ist die symmetrische Differenz, das Pluszeichen rechts die Addition im Körper mit zwei Elementen. Stimmen aber zwei Abbildungen auf allen Elementen des Definitionsbereichs überein, so sind sie gleich: Hier steht das Pluszeichen rechts für die Addition zweier Abbildungen mit Werten in einem Körper, wie man sie üblicherweise durch sogenannte punktweise Addition erklärt. Und dann mußt du als zweites nachweisen. Die Multiplikation links ist der Mengenschnitt, die Multiplikation rechts die Multiplikation zweier Abbildungen durch punktweise Definition. Die Gleichheit zeigst du, indem du beide Seiten an einer Stelle auswertest und die Übereinstimmung feststellst. Du kannst wieder die vier Fälle von oben durchgehen. Für die Isomorphie brauchst du dann noch, daß der Kern von Null ist. Du mußt dir also überlegen, daß nur für (Nullelement in ) gelten kann. Die Null steht hier für die Nullabbildung, das ist diejenige Abbildung mit für alle . Und hier wiederum ist die Null rechts die Körpernull. |
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31.10.2011, 14:04 | loyloep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die ausführliche Beschreibung. Für die Addition bin ich die 4 Fälle mal durchgegangen. Allerdings funktioniert es für einen Fall nicht. Und zwar: also Oder habe bei der Berechnung einen Fehler gemacht? |
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31.10.2011, 14:15 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
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31.10.2011, 14:26 | loyloep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Kannst Du vielleicht etwas mehr zur Formel, die Du angegeben hast, sagen. |
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31.10.2011, 14:38 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ein Zitat aus Deiner Aufgabenstellung im ersten Post. Und da steht auch dabei was es ist. Im Übrigen müsste es statt:
heißen. |
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31.10.2011, 14:42 | loyloep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das es aus meiner Aufgabenstellung ist und was die Formel bedeutet ist mir klar. Allerdings weiß ich nicht wie es mir weiterhilft. Ein Tipp wäre nett. |
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31.10.2011, 14:46 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
F 2 Und um galoisseinbruder zu ergänzen. Auch hier
sollte es bzw. heißen. Du mußt hier sorgfältig unterscheiden, auf welcher Ebene du dich befindest. |
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31.10.2011, 14:52 | loyloep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ach so, jetzt verstehe ich, wir befinden uns ja im Körper . Da ist ja 1 + 1 =0. |
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31.10.2011, 15:05 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist's. |
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31.10.2011, 15:18 | loyloep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie kann ich mir denn die Menge vorstellen. Ich versuche gerade den Ausdruck zu verstehen. |
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31.10.2011, 15:35 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Boolsche Ringe und Isomorphismus
Glaube an das, was du selbst sagst. Im übrigen steht das auch noch einmal ausdrücklich in meinem zweiten Beitrag. Und unterscheide bitte die beiden Ebenen: und . So ist und . Ein drittes Mal werde ich darauf nicht hinweisen. |
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31.10.2011, 17:40 | loyloep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Addition und Multiplikation habe ich nun verstanden. Jetzt bin ich noch dabei die Bijektivität des Homomorphismus zu zeigen.
Meines wissens habe ich damit die INjektivität, aber noch nicht die Surjektivivtät der Abbildung nachgewiesen, oder |
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