Basis und Dimension

30.10.2011, 18:49

IzeCube

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Basis und Dimension

Hello

smile

Die Aufgabe lautet:

Die Lösungen des LGS bilden einen Vektorraum. Geben Sie eine Basis dieses Vektorraums an.

$\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_2-x:3=0 \end{eqnarray*}$

Um beide umschließend ist vorne eine geschweifte Klammer, hinten aber nicht!

Ich hab mal wieder 0 Plan wie ich da rangehen soll... Muss ich da erst die Werte für die x Variablen ausrechnen?
Wenn ja würd ich das jetzt mit der Matrizenrechnung machen...

Und dann? Eine Basis ist ja jeweils n linear unabhängige Vektoren eines VR, bei der jeder Vektor eV als linearkombination dieses Vektors dargestellt werden kann.

Aber hier kann ich das irgendwie nicht so ganz anwenden geschockt

geschockt

Oder wäre die Basis für die erste Gleichung dann zum Beispiel {(3,-2,-4)} oder sowas?

30.10.2011, 19:25

mnt

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RE: Basis und Dimension

Zitat:

Original von IzeCube
$\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_2-x:3=0 \end{eqnarray*}$

Was ist denn x:3? x_3?

Zitat:

Um beide umschließend ist vorne eine geschweifte Klammer, hinten aber nicht!

Das heißt nur, dass die beiden zusammengehören.

Zitat:

Und dann? Eine Basis ist ja jeweils n linear unabhängige Vektoren eines VR, bei der jeder Vektor eV als linearkombination dieses Vektors dargestellt werden kann.

Als erstes solltest du eine Lösung finden. Es gilt ja $\begin{eqnarray*} 2x_2-x_3=0 \end{eqnarray*}$ , also ist z.B. $\begin{eqnarray*} x_2=-0,5*x_3 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kannst du auch noch die Lösung von x_1 in Abhängigkeit von x_3 berechnen.

30.10.2011, 19:29

IzeCube

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Also per Gauß komm ich da irgendwie auf keine Lösung. Weiß nicht wie ich das angehen soll.
So ein online Rechner sagt, dass alle Variablen = 0 sein müssen, da es sonst keinen Parameter gibt.

Aber das ist doch quatsch? Weil wenn ich die Variablen zum Beispiel so wähle: $\begin{eqnarray*} x_1=-8 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_2=6 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_3=12 \end{eqnarray*}$ & $\begin{eqnarray*} x_4=2 \end{eqnarray*}$ dann geht mein Gleichungssystem ja auf.

Ist das dann meine Basis: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8 \\ 6 \\ 12 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ??

30.10.2011, 19:31

IzeCube

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RE: Basis und Dimension

Zitat:

Original von mnt
Was ist denn x:3? x_3?

Hups, natürlich! Hab ich mich vertippt!

Zitat:

Original von mnt
Als erstes solltest du eine Lösung finden. Es gilt ja $\begin{eqnarray*} 2x_2-x_3=0 \end{eqnarray*}$ , also ist z.B. $\begin{eqnarray*} x_2=-0,5*x_3 \end{eqnarray*}$ .
Jetzt kannst du auch noch die Lösung von x_1 in Abhängigkeit von x_3 berechnen.

Aber da gibts doch mehre Lösungen? Also eine wäre doch so wie ich das eben in dem Beitrag drüber gemacht hab, oder?

30.10.2011, 19:38

mnt

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RE: Basis und Dimension
Woher kommt denn nun x_4?

Zitat:

Aber da gibts doch mehre Lösungen? Also eine wäre doch so wie ich das eben in dem Beitrag drüber gemacht hab, oder?

Die Idee ist es, z.B. Lösungen x_1 und x_2 durch x_3 auszudrücken. Da x_3 eine beliebige reelle Zahl ist, gibts auch unendlich viele Lösungen...

30.10.2011, 19:43

IzeCube

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Oh man, ich geb das Gleichungssystem noch mal neu ein. Was ich da geschrieben hab ist ja totaler Quatsch!

$\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2+x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_2-x_3 \end{eqnarray*}$

Stimmt dann meine Basis?

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30.10.2011, 19:53

mnt

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Nein.

Ich rechne dir mal ein Bsp vor:

$\begin{eqnarray*} x_1+x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2-x_3=0 \end{eqnarray*}$
Dann wären alle möglichen Lösungen gegeben durch:
x1=-x3
x2=x3
und x3 ist eine beliebiege reelle Zahl. Das könnte man auch schreiben als: $\begin{eqnarray*} (-1, 1, 1) *x_3 \end{eqnarray*}$ und somit wäre eine mögliche Basis gegeben durch (-1, 1, 1).

Du hast 2 unabhängige Gleichungen, 4 unbekannte => Deine Lösungsmenge hat eine Dimension von 4-2=2.

30.10.2011, 20:03

IzeCube

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Moment, das versteh ich jetzt nicht.

Also das mit dem umformen von den x Variablen ist mir noch klar.
Macht man das immer? Also muss ich da nie die Variablen ausrechnen?

Warum jetzt $\begin{eqnarray*} (-1,1,1)*x_3 \end{eqnarray*}$ ??

Also x_3 ist irgendeine beliebige reelle Zahl und das mit -1, 1, 1 ist nur ein Beispiel? Es könnte also auch -2, 2, 2 sein? Und dann wäre das meine Basis?

30.10.2011, 20:11

mnt

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Zitat:

Also muss ich da nie die Variablen ausrechnen?

Ich hab doch x_1 und x_2 ausgerechnet und zwar in Abhängigkeit von x_3.

Zitat:

Es könnte also auch -2, 2, 2 sein?

Ja

Zitat:

Und dann wäre das meine Basis?

? Was meinst du damit?

30.10.2011, 20:14

IzeCube

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Zitat:

Original von mnt
Ich hab doch x_1 und x_2 ausgerechnet und zwar in Abhängigkeit von x_3.

Ich meinte jetzt mit ausgerechneten Zahlen, also x_1=4 oder sowas.

Zitat:

Original von mnt
? Was meinst du damit?

Naja, die soll ich ja eben ausrechnen ^^

Ich bin grad aber ehrlich gesagt super verwirrt und weiß auch gar nicht wie ich das bei ner Gleichung mit 4 Unbekannten machen soll mit dem darstellen in gegenseitiger Abhängigkeit. Weil ich ja eben mehr als nur 2 Variablen hab???

30.10.2011, 20:22

mnt

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Zitat:

Original von IzeCube
[quote]Original von mnt
Ich hab doch x_1 und x_2 ausgerechnet und zwar in Abhängigkeit von x_3.

Zitat:

Ich meinte jetzt mit ausgerechneten Zahlen, also x_1=4 oder sowas.

Da ich alles in Abhängigkeit von x_3 aufgeschrieben habe, wäre es am klügsten x_3=Zahl zu setzen und dann x_1 und x_2 auszurechnen.

Zitat:

Ich bin grad aber ehrlich gesagt super verwirrt und weiß auch gar nicht wie ich das bei ner Gleichung mit 4 Unbekannten machen soll mit dem darstellen in gegenseitiger Abhängigkeit. Weil ich ja eben mehr als nur 2 Variablen hab???

Berechne x_3 in Abhängigkeit von x_2.
Berechne x_4 in Abhängigkeit von x_1, x_2.
Kannst du noch x_2 durch x_1 ausdrücken?
Wie sehen also nun die Gleichungen aus?

30.10.2011, 20:30

IzeCube

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$\begin{eqnarray*} x_3=2x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_4=-2x_1+x_2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich aber jetzt noch x_2 durch x_1 ausdrücken soll krieg ich das irgendwie nicht hin, weil ich ja dann noch die x_4 mit drin hab?

Also: $\begin{eqnarray*} x_2=-x_1-x_4 \end{eqnarray*}$

Oder?

31.10.2011, 08:42

mnt

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Zitat:

Original von IzeCube
Wenn ich aber jetzt noch x_2 durch x_1 ausdrücken soll krieg ich das irgendwie nicht hin, weil ich ja dann noch die x_4 mit drin hab?

Richtig!

Nun setze z.B. x_1=s und x_2=t.
Wie sieht x_3 aus? Wie x_4?
Schreib das Ganze als Vektor*s+Vektor*t und schon hast du eine Basis...

31.10.2011, 11:51

IzeCube

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Man o Man, hab gerade in der Stunde gesehen, dass ich die Gleichungen total falsch abgeschrieben hatte.
Hier noch mal die Richtigen:

$\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_2-x_3=0 \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich hab das ganze jetzt aber verstanden, zur kontrolle würd ich dich aber bitten mir das noch mal zu bestätigen :o)

Ich hab jetzt so umgestellt, dass jede Variable durch x_3 ausgedrückt wird, also sieht meine Lösungsmenge so aus:

$\begin{eqnarray*} L\left\{ \begin{pmatrix} -(3/4)x_3 \\ (1/2)x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}| E R \right\} \end{eqnarray*}$

Das ganze hat eine Dimension, weil ich nach einer Variable das machen konnte (hätte ich jetzt zwei linear unabhängige Variablen, dann wären es 2 Dimensionen).

Also wäre das meine Basis: $\begin{eqnarray*} B\left\{ \begin{pmatrix} -3/4 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Hab ich das richtig verstanden?

Zur Kontrolle noch mal ne andere Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2+4x_3=0 \end{eqnarray*}$

Ich hab das da jetzt nicht mit 2 Dimensionen gemacht (indem ich sage, dass x_3 & x_2 linear unabhängig sind) sondern, ich hab durch das Gauß verfahren die Gleichung verändert zu: $\begin{eqnarray*} 0,5x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$

Geht das auch?

$\begin{eqnarray*} L\left\{ \begin{pmatrix} -3x_3 \\ -2x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}|x_3 E R \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B\left\{ \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

Also auch 1. Dimension.

Und jetzt noch mal was mit 2 Dimensionen:

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3+x_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2-2x_3-3x_4=0 \end{eqnarray*}$

2 linear unabhängige (x_3, x_4)

$\begin{eqnarray*} L\left\{ \begin{pmatrix} -3x_3-4x_4 \\ 2x_3+3x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}|x_3, x_4 E R\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Ist es dabei egal wie ich die Wete für x_3, x_4 wähle? Also es muss ja linear unabhänig sein, heißt das ich darf nicht 1 für beide Variablen nehmen?

31.10.2011, 15:35

mnt

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Zitat:

Original von IzeCube
Man o Man, hab gerade in der Stunde gesehen, dass ich die Gleichungen total falsch abgeschrieben hatte.
Hier noch mal die Richtigen:

$\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_2-x_3=0 \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich hab das ganze jetzt aber verstanden, zur kontrolle würd ich dich aber bitten mir das noch mal zu bestätigen :o)

Ich hab jetzt so umgestellt, dass jede Variable durch x_3 ausgedrückt wird, also sieht meine Lösungsmenge so aus:

$\begin{eqnarray*} L\left\{ \begin{pmatrix} -(3/4)x_3 \\ (1/2)x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}| E R \right\} \end{eqnarray*}$

Das ganze hat eine Dimension, weil ich nach einer Variable das machen konnte (hätte ich jetzt zwei linear unabhängige Variablen, dann wären es 2 Dimensionen).

Also wäre das meine Basis: $\begin{eqnarray*} B\left\{ \begin{pmatrix} -3/4 \\ 1/2 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Hab ich das richtig verstanden?

Ja, aber sag nicht meine Basis sondern eine Basis.

Zitat:

Zur Kontrolle noch mal ne andere Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x_1+3x_2+4x_3=0 \end{eqnarray*}$

Ich hab das da jetzt nicht mit 2 Dimensionen gemacht (indem ich sage, dass x_3 & x_2 linear unabhängig sind) sondern, ich hab durch das Gauß verfahren die Gleichung verändert zu: $\begin{eqnarray*} 0,5x_2+x_3=0 \end{eqnarray*}$

Geht das auch?

$\begin{eqnarray*} L\left\{ \begin{pmatrix} -3x_3 \\ -2x_3 \\ x_3 \end{pmatrix}|x_3 E R \right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B\left\{ \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray*}$

Also auch 1. Dimension.

Da hast du dich verrechnet. Setzt doch mal deine Lösungsmenge in die 1. Gleichung ein.

Zitat:

Und jetzt noch mal was mit 2 Dimensionen:

$\begin{eqnarray*} x_1+x_2+x_3+x_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2-2x_3-3x_4=0 \end{eqnarray*}$

2 linear unabhängige (x_3, x_4)

$\begin{eqnarray*} L\left\{ \begin{pmatrix} -3x_3-4x_4 \\ 2x_3+3x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}|x_3, x_4 E R\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Ist es dabei egal wie ich die Wete für x_3, x_4 wähle?

Nein, 0 darfs natürlich nicht sein. Sonst ist die Wahl aber frei.
Ist $\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ eine weitere Basis?

Zitat:

Also es muss ja linear unabhänig sein, heißt das ich darf nicht 1 für beide Variablen nehmen?

Was meinst du?

Kann man das ganze auch in Abhängigkeit von z.B. x_1 und x_3 schreiben?
Sieh dir auch http://de.wikipedia.org/wiki/Linear_unabh%C3%A4ngig noch an.

02.11.2011, 12:59

IzeCube

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Zitat:

Original von mnt
Ja, aber sag nicht meine Basis sondern eine Basis.

Hups! Klar, ist ja nur irgendeine mögliche Basis.

Zitat:

Original von mnt
Da hast du dich verrechnet. Setzt doch mal deine Lösungsmenge in die 1. Gleichung ein.

Mist, stimmt.

Hab erst durch das Gaus Verfahren die 2. Gleichung so verändert:
$\begin{eqnarray*} x_2+2x_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ \begin{pmatrix} x_3 \\ -2x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Und eine mögliche Basis wäre dann das hier:

$\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Jetzt richtig?

Zitat:

mnt
Ist $\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ eine weitere Basis?

Ja, ist es. Und das liegt daran, weil jeder Vektor der in der Menge ist + einen weiteren Vektor der in der Menge ist wieder enthalten sein muss, richtig? Also abgeschlossenheit??

Ich würde sagen, dass man das ganze auch in Abhängigkeit von x_1 oder x_2 schreiben kann.
Da muss man dann ja nur sagen, dass zum Beispiel x_1 die feste Konstante ist anstatt x_4!

Danke für den Link, das werd ich mir gleich direkt mal durchlesen smile

smile

02.11.2011, 16:44

mnt

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Zitat:

Original von IzeCube

Zitat:

Original von mnt
Ja, aber sag nicht meine Basis sondern eine Basis.

Hups! Klar, ist ja nur irgendeine mögliche Basis.

Zitat:

Original von mnt
Da hast du dich verrechnet. Setzt doch mal deine Lösungsmenge in die 1. Gleichung ein.

Mist, stimmt.

Hab erst durch das Gaus Verfahren die 2. Gleichung so verändert:
$\begin{eqnarray*} x_2+2x_3=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L=\left\{ \begin{pmatrix} x_3 \\ -2x_3 \\ x_3 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Und eine mögliche Basis wäre dann das hier:

$\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Jetzt richtig?

ja

Zitat:

Zitat:

mnt
Ist $\begin{eqnarray*} B=\left\{ \begin{pmatrix} -4 \\ 3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ eine weitere Basis?

Ja, ist es. Und das liegt daran, weil jeder Vektor der in der Menge ist + einen weiteren Vektor der in der Menge ist wieder enthalten sein muss, richtig? Also abgeschlossenheit??

Die Abgeschlossenheit allein reicht nicht. Die beiden Vektoren müssen immer noch linear unabhängig sein... (was gegeben ist.)

Zitat:

Ich würde sagen, dass man das ganze auch in Abhängigkeit von x_1 oder x_2 schreiben kann.
Da muss man dann ja nur sagen, dass zum Beispiel x_1 die feste Konstante ist anstatt x_4!

Genau.

03.11.2011, 08:14

IzeCube

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Vielen Dank für deine Hilfe, ich glaub ich hab das ganze jetzt ganz gut verstanden Prost

Prost

Viele Grüße Wink

Wink

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