Beweisen mittels Induktion

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30.10.2011, 22:38	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweisen mittels Induktion Okay ich habe ein Problem bei folgender Induktionsaufgabe. Undzwar soll diese Gleichung mittels Induktion bewiesen werden. $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=0}^n (-1)^k\begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Nun folgt der Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=0}^{n+1} (-1)^k\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \\ \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k\begin{pmatrix} {n} \\ k \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \\ \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Dann kann ich die Induktiionsvorraussetzung einsetzen: $\begin{eqnarray} 0+(-1)^k\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \\ \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (-1)^k\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \\ \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Ist es bis hier hin richtig ? Wie geht es dann genau weiter.
30.10.2011, 22:41	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde dir sehr empfehlen das ganze über den binomischen Lehrsatz zu machen. Binomischer Lehrsatz : $\begin{eqnarray} (x+y)^n = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k \end{eqnarray}$ Wende diesen an auf $\begin{eqnarray} (1-1)^n \end{eqnarray}$ und überleg, was das Ganze soll. ps : Du bis doch hoffentlich wie ich vermute auch aus meiner Uni essen veranstaltung oder? Da steht nämlich nicht explizit, dass der Beweis über Induktion gehen muss!
30.10.2011, 22:47	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
Der satz ist mir leider genzlich unbekannt. Weswegen ich die Aufgabe auch nicht mit dessen Hilfe lösen kann/ darf.
30.10.2011, 22:51	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du wie ich an der Uni Essen beim Neff? Wenn ja , dann kann ich dich nur auf sein Skript aufmerksam machen, Seite 25... Die Satz steht dort und sogar mit Beweis. Solltest du also ein mulmiges Gefühl haben, schreibst du den Beweis für die Gültigkeit der Formel noch drunter. Was aber denke ich nicht nötig sein sollte. Er wurde auch bei mir in der Übung vorgstellt, ich weiß ja nicht ob man ihn euch in eurer Übung vorenthalten hat. ^^
30.10.2011, 22:53	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
In den Übungen wurde uns kein Wort darüber erzählt. Das ist ja mal ent mies. Ich quele mich hier schon die ganze Woche mit der Aufgabe herum, nur um zu erfahren, dass meine Mühe vergebens war Ich werde mich mal über diesen ominösen Satz erkundigen. Mal sehen ob ich damit weiter komme. Und jup, bei dem bin ich auch.
30.10.2011, 22:57	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Übrigen ist auch deine bisherige Induktion nicht ganz in Ordnung. Denn es ist ja : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} n+2 \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
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30.10.2011, 23:00	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja ich habe aber diese Summe $\begin{eqnarray} <br /> \sum\limits_{k=0}^{n+1} (-1)^k\begin{pmatrix} {n+1} \\ k \\ \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray}$ Und wenn ich das ganze nur noch bis n laufen lasse, dann fällt auch das n+1 wieder weg, oder etwa nicht ?
30.10.2011, 23:02	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Kommt drauf an ob n gerade oder ungerade ist O_O Wenn n gerade ist schon, wen n ungerade ist, dann ist am Ende doch noch was übrig., Jedenfalls war das immer mein Problem, als ich das versucht habe per Induktion zu machen. Vielleicht irre ich mich ja auch? ^^
30.10.2011, 23:03	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du rein zufällig mal eine Aufgabe posten, die du mittels Binomischen Lehrsatz gerechnet hast. Irgendwie verstehe ich den nicht wirklich. Auf Seite 25 im Skript ist auch nicht wirklich etwas dazu zu finden.
30.10.2011, 23:08	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da steht halt nur die Formel. Also nehmen wir mal den Beweis zu $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1+1)^n = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun musst du überlegen, was du klugerweise für x und y wählst bei der bin Formel. Was war den an den von mir vorgeführten Beweis praktisch als x und y zu wählen? Und wie kann man wohl irgendwie auf 0 kommen mit solchen Zahlen?
30.10.2011, 23:15	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja gut (1+1)^n ist ja eignetlich logisch, da es ja das selbe ist wie 2^n. Die Summe, liegt ja dem Binomischen Lehrsatz zu grunde. Aber warum soll ich jetz etwas wählen, damit das ganze 0 wird. Soll man nun etwas für n und k wählen das der das ganze 0 wird. Das funktioniert doch überhaupt nicht da, ich höstens eine Zahl 1 oder kleiner wieder rausbekomme oder habe ich was miss verstanden ?
30.10.2011, 23:17	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
na gut wir haben ja noch n über k da stehen das habe ich vergessen, dann bräuchten wir nur ein k>n und schon geht das ganze gegen null. Nur den Sinn verstehe ich immer noch nicht
30.10.2011, 23:20	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Du sollst zeigen ( und ich drehe das jetzt mal bewusst um und schreibe den Satz nochmal drunter ^^ ) : $\begin{eqnarray} 0 = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot (-1)^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+y)^n = \sum\limits_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot 1^{n-k} \cdot 1^k \end{eqnarray}$ Fällt dir jetzt vielleicht auf, worauf ich hinaus möchte? ^^ Duetlicher kann ichs kaum noch machen, als es direkt hinzuschreiben. O_O Und nein , du sollst x und y passend wählen. ^^
30.10.2011, 23:20	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach das war schon der Beweis zu a), und du bist jetz bei Aufgabe b) right ? Dann macht das ganze wieder sinn
30.10.2011, 23:24	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
Können wir hier nicht auch wieder (1+1) wählen, da wir ja +1-1 dort stehen haben wollen, damit das ganze 0 ergibt
30.10.2011, 23:27	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz, 1+1 ist ja fast richtig, eins davon ist falsch, schau dir nochmal an, was denn (x+y) ergeben soll ^^
30.10.2011, 23:28	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dass passt doch nicht. Wenn k=0 ist -1 ja wieder +1 eins.
30.10.2011, 23:29	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
vergiss die ks und ns und sonst alles auf der welt, konzentrier dich nur auf x und y...
30.10.2011, 23:30	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
(1-1) dürfte aber passen oder ?
30.10.2011, 23:30	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »

30.10.2011, 23:32	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja mal viel weniger, und vorallem viel einfacher als per Induktion. Die letzte könnte allerdings doch noch ein wenig kniffelig werden. Aber mal sehen, die werde ich wohl auch schon noch hinbekommen vielen dank.
30.10.2011, 23:33	Pfirsichtee	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Letzten schau dir mal an : $\begin{eqnarray} (1+1)^n + (1-1)^n \end{eqnarray}$ Viel Spaß ^^
30.10.2011, 23:33	Chocolate09	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeschön, den werde ich haben. Du bist echt mein retter

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