Taylorreihe und ?Substitution?

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tuxracer Auf diesen Beitrag antworten »
Taylorreihe und ?Substitution?
Hi,

Ich bin in einem Kapitel über Taylorreihen über Substitutionen gestolpert. Mir ist jetzt nur nicht klar, ob diese Substitutionen wilkürlich sind, also um neue Funktionsbeispiele zu erzeugen, oder ob es wirklich einen praktischen Nutzen dafür gibt.

Da war ein Beispiel in dem eine Taylorreihe für f(x) := 1/(1-x) erzeugt wurde..Okay, wie das geht habe ich ja verstanden smile Dann stand da: Substitution: z = -x => 1/(1+x) = Taylorreihe ...

Ich hatten Substitution schon einmal im Zusamenhang mit Taylorreihen gehört. Besitzt das einen tieferen Sinn? Bis jetzt habe ich nur eine Erklärung dafür:

Ich habe einmal eine Taylorreihe gebaut : 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 ...
Wenn jetzt ich jetzt z = -x setze bekomme ich ja 1 + (-x) + (-x^2) + (x^3)
Wenn ich jetzt z = 2x setze erhalte ich 1/(1-2x) = 1 + (2x) + (2x)^2 + (2x)^3
.....

Das beduetet ja, ich kann das x austauschen, also substituieren, wie ich will..Oder habe ich da Einschränkungen? Falls das wirklich immer funktioniert, müsste man ja für viele Dinge keine neue Taylorreihe ausfstellen, sondern kann auf bekanntes zurückgreifen?! Oder irre ich mich da jetzt...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe und ?Substitution?
Zitat:
Original von tuxracer
Hi,Das beduetet ja, ich kann das x austauschen, also substituieren, wie ich will..Oder habe ich da Einschränkungen? Falls das wirklich immer funktioniert, müsste man ja für viele Dinge keine neue Taylorreihe ausfstellen, sondern kann auf bekanntes zurückgreifen?! Oder irre ich mich da jetzt...


Genau so ist das!
Das einzige, worauf du achten mußt, ist der Konvergenzbereich. So hat

1/(1-x) = 1+x+x²+x³+...

den Konvergenzbereich |x|<1. Wenn du also für x z.B. -3x substituierst, also

1/(1+3x) = 1-3x+9x²-27x³±...

dann gilt das für |-3x|<1, also |x|<1/3. Wenn du in der Reihe substituierst, mußt du eben auch beim Konvergenzbereich substituieren.
tuxracer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Taylorreihe und ?Substitution?
Das klingt gut, dann lag ich ja mit meiner Vermutung goldrichtig. An den Konvergenzbereich hab ich jetzt allerdings nicht mehr gedacht ... hihi smile Also habe ich wirklich totale Freiheit? Was wäre wenn ich x durch sin x austausche?
carstenroll Auf diesen Beitrag antworten »

Moin,
hab dazu heute noch mal meinen Prof. gefragt, der hat dem auch zugestimmt.

wenn ich zum Beispiel die Taylorreihe von e^x = summe x^k/k! kenne, und möchte das Problem auf e^sin(x) übertragen, dann könnte man nach seiner Aussage einfach das x in der Summe durch sin(x) ersetzen.
Ist schon wohl toll :-)

Ob das auch wohl geht, wenn ich e^x^3 - x^2 +2 hab ?

Gruß
carsten
Guevara Auf diesen Beitrag antworten »

sinh(x)= 1/2(e^x-e^-x)
dann ist sinh(x^2)=1/2(e^(x^2)-e^(-x^2)
Genau dass gleiche gilt Prinzip gilt auch beim Satz des Taylors
Guevara Auf diesen Beitrag antworten »

Hab noch vergessen zu erwähnen
wenn (e^x)' = e^x
dann ist (e^sin(x))' nicht e^sin(x)
denn beim ableiten hat ja auch die Steigung von sin(x) einfluss während es bei anderem nur um den Wert einer Zahl geht.
 
 
tuxracer Auf diesen Beitrag antworten »

öhm, also sehe ich das jetzt richtig, dass ich wirklich nur eine Taylorreihe für die äußere Funktion kennen muss? Ich kenne die Reihe für e^x und dann kann ich x durch alles nur erdenklich mögliche substituieren, obwohl sich die Ableitung ändern würde?!
Guevara Auf diesen Beitrag antworten »

Ja
e^(-x^2) = 1 -x^2 +x^4/2 -x^6/6 +x^8/24
Das mit der Ableitung geht automatisch
Demnach ist
(e^(-x^2))(0)/0! =1
(e^(-x^2))'(0)/1! =0
(e^(-x^2))''(0)/2! =-1
(e^(-x^2))'''(0)/3! =0
(e^(-x^2))''''(0)/4! =1/2
Ich hoffe du vestehst das. Es muss ja gehen. Tut mir leid dass ich es nicht besser erklären kann.
carstenroll Auf diesen Beitrag antworten »

Moin, Moin,
anscheinend immer noch nicht so ganz verstanden .....

f(x) = e^(sin(3x))

Wenn ich mir die normalen Ableitungen bilde, und mir somit die Taylorreihe zusammenbaue, bin ich damit einverstanden.

Allerdings wenn ich jetzt nach der obigen subst. vorgehe, dann könnte ich mir f(x) = e^x als Taylorreihe hinschreiben, und dann einfach das x durch sin(3x) austauschen. Dann steht da aber was mit ner sin-fkt. Das ist dann doch nicht die richtige Taylorreihe, oder ?

gruß
carsten
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das ist eine Reihe in sin x, also nicht die Taylorreihe!
Wenn du die daraus gewinnen willst, mußt du die Taylorreihe von sin x in die Taylorreihe von e^x einsetzen und nach Potenzen von x entwickeln. Das geht theoretisch, ist aber praktisch nur schwer durchführbar:

1+(x-x³/3!±...)+1/2!·(x-x³/3!±...)²+1/3!·(x-x³/3!±...)³+1/4!·(x-x³/3!±...)^4 + ......

Wenn dich solche Fragen interessieren, so google vielleicht einmal unter "Algebra der formalen Potenzreihen" oder ähnlich.
tuxracer Auf diesen Beitrag antworten »

Also bedeutet das ich darf für eine Taylorreihe e^x oder sin x oder wie auch immer nur 3 und eine konstante z.B. 3x einsetzen, ohne die Reihe neubauen zu müssen oder eine Reihe einsetzen zu müssen. Oder klappt das mit x^2 auch noch?! Die Ableitung würde sich ja wieder ändern...
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