Lineares Gleichungssystem

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Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineares Gleichungssystem
Hallo miteinander.

Ich beschäftige mich momentan mit dem chinesischen Restsatz.
Unser Prof hat gesagt, man könne mit Hilfe des Restsatzes LGS lösen - man solle das einfach mal selbst probieren.

Ich habe den Restsatz eigentlich verstanden, doch wie man bei (beispielsweise! [es geht mir nur ums "Theoretische"])

die Lösungen a, b, c mit dem Restsatz herausfinden kann, ist mir doch noch etwas schleierhaft.

Wahrscheinlich ist das LGS nicht einmal lösbar - darum geht es mir momentan auch nicht. Wie aber komm' ich zB auf a?

Gruss und Danke,
Thomi
MathsMe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lineares Gleichungssystem
Vielleicht hilft folgendes?

[attach]21715[/attach]
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Erst mit dem Zusatz wirds halbwegs verständlich.
Gesucht sind ganzzahlige a,b,c die das LGS lösen. Das hast Du im ersten Post mit keinem Wort erwähnt.
Die Idee ist das LGS modulo kleiner Primzahlen zu betrachten und dann auf Lösungen mittel EA zu schließen. Oder wir hier. zeigen dass es keine ganzzahligen Lösungen.
Denn hat das LGS aufgefasst als LGS über dem Körper keine Lösung, dann auch nicht in (warum?).
Betrachte doch mal das LGS modulo der ersten paar Primzahlen...

Nachtrag:
Hab mir grade aus Langeweile ein funktionierendes Beispiel ausgedacht:

hat genau eine (ganzzahlige Lösung).
Betrachte die Gleichung modulo 5,7,11 (für 2, 3 hat A Rang 1 und ist damit eindeutig lösbar.) Du erhälst als Lösungen für
Berechne a,b mit bzw. (mittel CRT). Dieses (a,b) liefert dann die Lösung von Ax=b.
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Darf ich fragen, wie du auf 5, 7, 11 gekommen bist?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Hab die ersten primzahlen abgeklappert und bei 2,3 hat die Matrix Rang 1, also unendlich viele Lösungen uns diese daher ausgelassen (steht auch so in der Anleitung).
Bei 5,7,11 ist der Rang 2, es gibt eine eindeutige Lösung und5*7*11=385 ist groß genug um die Lösung der ursprünglichen Gleichung zu erhalten.
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah. Bei meiner Aufgabe würde es mit 2,3,5 klappen.
Was genau ist aber a_i, b_i (und bei mir noch c_i)?
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das Du für Dein LGS eine Lösung für p=3 findest bezweifle ich, ich schaffs nicht.
(a_i,b_i) ist meine Bezeichnung für ein Lösung des LGS modulo p_i
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit p = 3 hat A aber auch Rang 2.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Der Rang ist 1.

wird zu

über und hat offensichtlich keine Lösung.
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich merk grade, dass ich vergessen habe zu sagen, dass ich mir eine andere Matrix (eine die "funktionieren" sollte) gesucht habe.

Das aber ist für den Moment nicht relevant. Was meinst du mit "berechne a mit..." ?
Also was ist das bei deiner Matrix konkret ausgeschrieben?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Du war ich vielleicht etwas salopp. Ich suche eine Lösung von .
Diese a,b müssen bzw. erfüllen. Aus den letzeren Gleichungen kann man finden, die hier schon die Lösung in den ganzen Zahlen liefert.
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Ergänzungen.

Also so ganz klar ist es mir noch nicht.
Du meinst es nicht so, oder?

a = 10 mod 5 --> a = 0
a = 10 mod 7 --> a = 3
a = 10 mod 11 --> a = 10

dann:
a = 2 mod 5 --> a = 2
a = 2 mod 7 --> a = 2
a = ... --> a = 2

--> a = 30.

b = - 11 mod 5 --> b= -4
... b = 3
... b = 0

b = -4 mod 5 --> b = 1
... b = 3
... b = 7

--> b = 84

Das aber kann nicht stimmen, wie sich leicht überprüfen lässt..
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein in keinster Weise. Das was Du schreibst ist massiver Unfug.
Aus a = 10 mod 5 folgt a = 0 mod 5 oder

Ich meine z.B. folgendes:
Thomas007 Auf diesen Beitrag antworten »

2 Fragen: Wieso genau 3, 4, und 1?
Und woher kommt die 298?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beispiel ist willkürlich gewählt, da ich keine Ahnung mehr habe von welcher konkreten Aufgabe wir momentan reden.
Und da 298 ergibt sich als Lösung der simultaner Kongruenz (was man schematisch mittels cihn. Restsatz lösen kann).
Ist das Lösen simultaner Kongruenzen Dein Problem bei dieser Aufgabe?
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