Sei K ein Körper. Zeigen sie, dass folgende Aussagen gelten.

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31.10.2011, 14:29

Matheversteher

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Sei K ein Körper. Zeigen sie, dass folgende Aussagen gelten.

Hallo Matheboarder Wink

ich sitze an folgender aufgabe und überlege was ich zu tun habe. verwirrt

Sei K ein Körper. Beweisen sie detailliert, dass für Elemente $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \in K \end{eqnarray*}$ die folgenden Aussagen gelten.

a.) $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}= \frac{ac}{bd} \end{eqnarray*}$

(die weiteren aufgaben sind ähnlich mit "+" und "/" als verknüpfung und sollten analog erfolgen, deswegen lasse ich sie erstmal weg)

ich habe jetzt erst überleg ob ich zeigen soll, dass ich hier eindeutigkeit und existenz der gleichung zeigen soll.
meine "lösung" wäre dann:

Existenz:

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+x= \frac{ac+xbd}{bd} \end{eqnarray*}$ dann gibt es eine lösung mit $\begin{eqnarray*} x= \frac{ac+xbd}{bd} - \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$
also:
$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+\left(\frac{ac+xbd}{bd} - \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\left(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+\frac{ac+xbd}{bd}\right) - \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{ac+xbd}{bd} +\left(\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}- \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\frac{ac+xbd}{bd} \end{eqnarray*}$

Eindeutigkeit:
Wenn $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+x= \frac{ac+xbd}{bd} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x= \frac{ac+xbd}{bd} - \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+x= \frac{ac+xbd}{bd} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}+x -\left( \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \right)= \frac{ac+xbd}{bd} -\left( \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+ \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} -\left( \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \right)= \frac{ac+xbd}{bd} -\left( \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+\left( \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} - \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \right)= \frac{ac+xbd}{bd} - \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x= \frac{ac+xbd}{bd} - \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} \end{eqnarray*}$

ist das jetzt so alles richtig? oder bin ich jetzt auf dem holzweg und das ist hier alles käse? wenn das falsch ist, was muss ich stattdessen tun?

hoffe ihr könnt mir helfen. smile

31.10.2011, 14:46

galoisseinbruder

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Man zeigt manchmal Existenz und Eindeutigkeit eines Objekts (Grenzwert, Lösung einer Gleichung u.ä.) , das bei einer Gleichung zu machen seh ich zum ersten Mal.
Und so Eindeutig ist es auch nicht z.B. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{2}{3}=\frac{1}{3}=\frac{3}{9} \end{eqnarray*}$ .
Aber erst noch eine kurze Verständnisfrage für mich: Wie habt Ihr denn $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ definiert? (die Schreibweise verwendet man i.d.R. nicht für allgemeine Körper)

31.10.2011, 15:05

Matheversteher

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Zitat:

Aber erst noch eine kurze Verständnisfrage für mich: Wie habt Ihr denn $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ definiert? (die Schreibweise verwendet man i.d.R. nicht für allgemeine Körper)

bin mir jetzt nicht sicher worauf die hinaus möchtest. in der letzten vorlesung haben wir den Körper von R eingeführt (und festgestellt oder bestimt, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und dass R vollständig ist, weil jede cauchyfolge darin konvergiert (steinige mich bitte nicht wenn ich das mit den cauchyfolgen falsch verstanden habe).

ansonsten haben $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ immer so definiert, dass es ein vollständig gekürzter bruch ist. (ich hoffe du meinst das)

31.10.2011, 15:11

gitterrost4

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@galoisseinbruder: Es ist durchaus ueblich bei Koerpern $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ fuer $\begin{eqnarray*} ab^{-1} \end{eqnarray*}$ zu schreiben.

31.10.2011, 15:12

galoisseinbruder

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Das Problem ist für beliebige Körper funktioniert das mit dem vollständigen Kürzen nicht mehr immer. Deswegen verwirrt mich die Aufgabenstellung für einen beliebigen Körper K. Ist das die exakte Aufgabenstellung?

P.S. Steinigung entfällt. Das Mit den Cauhyfolgen hast Du richtig verstanden

31.10.2011, 15:14

gitterrost4

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Die Aufgabenstellung ist doch fuer alle Koerper voellig in Ordnung. Zu zeigen ist doch nur:
$\begin{eqnarray*} a\cdot b^{-1}\cdot c\cdot d^{-1}=a\cdot c\cdot b^{-1}\cdot d^{-1} \end{eqnarray*}$

Hilft dir das vielleicht weiter?

31.10.2011, 15:18

Matheversteher

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ja das ist die exakte aufgabenstellung. habe nichts weggelassen außer, dass für es noch die aufgabenteile b,c und d gibt. (da mir das ganze abtippen zu lange dauert ist die komplette aufgabe im anhang.)

Edit: huch jetzt geht es hier aber schlag auf schlag.
@gitterrost: mhhh also so wirklich bin ich mir dann immer noch nicht im klaren darüber was ich zeigen muss. oder ist es so in etwa so "ähnlich" als wenn ich $\begin{eqnarray*} x = - (-x) \end{eqnarray*}$ zeigen müsste?

31.10.2011, 15:23

galoisseinbruder

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Falls Dir die Schreibweise von Gitterrost4 bekannt ist, schau Dir dass mal genau an, da sieht man am Besten was zu zeigen ist. (Du brauchst nur Kommutativität).

@Gitterrost4: In der Algebra ist diese Schreibweise nicht üblich. Einen Grund habe ich schon genannt. Ich hab z.B. noch nie $\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \in \mathbb{F}_5 \end{eqnarray*}$ gesehen.

31.10.2011, 15:26

gitterrost4

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Dessen bin ich mir bewusst. Aber dies ist offenbar eine Aufgabe der Analysis, wo diese Schreibweise (leider) ueblich ist.

31.10.2011, 20:28

Matheversteher

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mhhh... nur "kommutativität" das würde ich ja sogar noch hinbekommen. ich gehe dann weiter meine scripte durch und werde dann morgen früh (hoffentlich) eine mögliche lösung präsentieren können smile

(kann mir nicht vorstellen, dass ich nur kommutativität zeigen soll)

also würde mich freuen wenn ihr im verlauf des tages morgens/mittags nochmal reinschauen könntet um eure kritischen augen über meinen schrieb schweifen zu lassen.

wünsche euch noch einen schönen abend!

01.11.2011, 12:22

Matheversteher

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guten morgen smile

so also wie "versprochen" habe ich mir überöegt wie ich es machen kann.

also wenn $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}= \frac{ac}{bd} \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} + \left( - \frac{ac}{bd} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a \cdot \left(0\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = a \cdot \left(c\cdot\left(0\right)\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a \cdot \left( c \cdot \left( \frac {1}{b} \cdot \left( 0 ) \right)\right)\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a \cdot \left( c \cdot \left( \frac {1}{b} \cdot \left( \frac {1}{d} \cdot (1+(-1) \right) \right) \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a\cdot\left(c\cdot\left(\frac {1}{b}\cdot\left(\frac {1}{d}+(-1)\cdot\frac {1}{d} \right)\right)\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =a\cdot\left(c\cdot\left(\frac {1}{b}\cdot\frac {1}{d}+(-1)\cdot\frac {1}{b}\cdot\frac {1}{d} \right)\right) \end{eqnarray*}$

usw. ich wende dann immer weiter die assoziativ,kommutativ und distributiv gesetze an, solange bis ich in der letzten zeile
$\begin{eqnarray*} =\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d} + \left( - \frac{ac}{bd} \right) \end{eqnarray*}$
stehen habe.

also ich würde es jetzt so machen. habe im script gefunden, dass wir $\begin{eqnarray*} x^{-1} = \frac{1}{x} = 1\div x \end{eqnarray*}$ definiert haben. analog würde ich nun die anderen drei aufgaben versuchen.

01.11.2011, 12:50

galoisseinbruder

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Sollte funktionieren, sehe bis jetzt keinen Fehler.

Ist $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} xy^{-1} \end{eqnarray*}$ (was nicht ganz klar ist könnte genauso $\begin{eqnarray*} y^{-1}x \end{eqnarray*}$ sein.), dann geht der Beweis deutlich schneller über die Darstellung der Behauptung von gitterrost4:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a\cdot b^{-1}\cdot c\cdot d^{-1}=a\cdot c\cdot b^{-1}\cdot d^{-1} \end{eqnarray*}$

(gilt auch für die anderen Aufgaben)

01.11.2011, 13:35

Matheversteher

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Zitat:

Zitat:
Ist $\begin{eqnarray*} \frac{x}{y} \end{eqnarray*}$ definiert als $\begin{eqnarray*} xy^{-1} \end{eqnarray*}$ (was nicht ganz klar ist könnte genauso $\begin{eqnarray*} y^{-1}x \end{eqnarray*}$ sein.), dann geht der Beweis deutlich schneller über die Darstellung der Behauptung von gitterrost4:

Zitat:

Zitat: $\begin{eqnarray*} a\cdot b^{-1}\cdot c\cdot d^{-1}=a\cdot c\cdot b^{-1}\cdot d^{-1} \end{eqnarray*}$ (gilt auch für die anderen Aufgaben)

also in diesem fall habe ich mir überlegt (wie gaaanz oben):

existenz und eindeutigkeit:

existenz:
wenn $\begin{eqnarray*} b \cdot x = a \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x= \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b \cdot x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = b \cdot (\frac{a}{b}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = b \cdot (a \cdot b^{-1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = b \cdot (b^{-1} \cdot a) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = (b \cdot b^{-1}) \cdot a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = 1 \cdot a = a \end{eqnarray*}$

eindeutigkeit:
wenn $\begin{eqnarray*} b \cdot x = a \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x= \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b \cdot x = a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b \cdot x \cdot b^{-1} = a \cdot b^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b \cdot (x \cdot b^{-1}) = a \cdot b^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow b \cdot ( b^{-1} \cdot x) = a \cdot b^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (b \cdot b^{-1}) \cdot x = \frac {a}{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 1 \cdot x = \frac {a}{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x = \frac {a}{b} \end{eqnarray*}$

da ich kommkutativität verwendet habe müsste doch dann auch

Zitat:

gelten oder verwirrt

und damit dürfte ich das dann für die a) verwwenden und so machen wie es gitterrost4 vorgeschlagen hat?!

01.11.2011, 13:57

Niyul .

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Bevor es hier stundenlang so weiter geht möchte ich auch mal meinen Senf dazu abgeben.

So lieber Mitstudent :-), falls es dir weiter hilft wurde es im Tutorium am Freitag (weiß nicht ob du da warst) auch so gelöst wie es Gitterost vorgeschlagen hat. Also kurz :-)

Sprich:
$\begin{eqnarray*} a*b^{-1}*cd^{-1} = ac*(bd)^{-1} = \frac{ac}{bd} \end{eqnarray*}$

Also wirklich in kurz.. Aber ich geb natürlich keine garantie darauf. Wer weiß ob die Studentischen Hilfskräfte für einen Schmarn fabriziert haben :-P

So dann noch viel Spass bei den Aufgaben :-)
Man sieht sich ;-)

01.11.2011, 14:52

Matheversteher

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@niyul

dann verwenden wir hier nur die kommutativgesetze (zumindest in a und b um das zu zeigen) uiii ob das sinn der aufgabe ist verwirrt

naja dann verweise ich eben auf die übungsleiter Augenzwinkern

p.s. nein ich war freitag nicht da, dafür habe ich mich gestern "hingequält"

Edit: ich werde die anderen drei dann fertig machen und sie euch zeigen. ich hoffe mir sagt dann noch jemand von euch ob es richtig ist. aber ich danke euch dann schonmal für eure tatkräftige hilfe Freude

01.11.2011, 19:04

Niyul

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Ja war mir auch komisch, aber nuja... Ich hab es jetzt mal so gelöst, weil die müssten es ja auch sein, die das dann korrigieren, nicht?! War mir nur nict sicher in wie weit ich da noch was zu schreiben soll...

Haben die das denn gestern nicht gemacht? - Das ist ja ein bissel unfair :-D ...

...ich hab leicht reden, ich war garnicht im Tutorium :-) - Ich hab es auch nur vom "Hören-Sagen" - Aber aus sehr verlässlicher Quelle. ;-)

Ganz dreist hat der aber heut auch schon wieder ein neues Aufgabenblatt hochgeladen, wo ich doch dachte, wegen Feiertag und so .. :-/

Nun ja, dann noch schönen Abend und Viel Spass

03.11.2011, 14:56

Queen91

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He<

Ist das dann bei der b analog?
Wie funktioniert die d smile

Ich freu mich schon wieder motgen auf die tolle Vorlesung Big Laugh

03.11.2011, 15:42

Matheversteher

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ja ich die b und c gehen mehr oder weniger analog.
bei der d wird es nicht ungemein viel komplexer.

wenn ab = ac dann muss gelten ab-ac=0

so habe ich es gemacht. den rest müsstest du nun auch schaffen.

03.11.2011, 16:02

Queen91

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Super,
Danke- ich versuchs mal Augenzwinkern

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Sei K ein Körper. Zeigen sie, dass folgende Aussagen gelten.

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