Permutationsgruppe, Untergruppe, Gruppenhomomorphismus

31.10.2011, 16:22

Brittney

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Permutationsgruppe, Untergruppe, Gruppenhomomorphismus

Meine Frage:
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

Sn:=(f Element von Abb ( (1,...,n),(1,...,n) ): f ist bijektiv)

Permutationsgruppe: Stabn:= (f Element Sn: f(n)=n)

a) (Stabn,o)ist Untergruppe von (Sn,o)
b) Die Abbildung r: Stabn (wird abgebildet auf) S n-1, r(K)=K (1,...,n-1) Ist ein Bijektiver Gruppenhomomorphismus.

Meine Ideen:
Ich weiß, dass bei einer Untergruppe Stabn Element von Sn sein muss und das neutrale Element von Sn in Stabn liegen muss. Nur wie kann ich das zeigen und wie finde ich das neutrale Element.
(Was bebeutet Stab? Oder ist das beliebig gewählt?)

Ein Gruppenhomomorphismus ist die Abbildung von zwei Gruppen also Stabn wird abgebildet auf S n-1 dabei muss gelten, dass f(a*b)= f(a) mal f(b).
Wie kann man so etwas zeigen?

31.10.2011, 16:31

galoisseinbruder

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Stab steht für den Stabilisator aus der Theorie der Gruppenoperationen.
Beachte, dass die Verknüpfung $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ ist, sprich das Hintereinanderausführen von Abbildungen.
Das neutrale element ist also eine Abb. e mit $\begin{eqnarray*} (f \circ e) (x) =f(x) \forall f \in S_n, \forall 1\leq x \leq n \end{eqnarray*}$ .
Wie muss diese Abb. aussehen?

31.10.2011, 16:49

Brittney

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Danke schon mal für die schnelle Antwort.

Ich hab erst seit zwei Wochen Mathe an der Uni und komm noch nicht so ganz mit den ganzen Symbolen klar, deshalb versteh ich nich so ganz was du meinst.

Aber ich dachte das neutrale Element ist das Element, welches an der Aussage nichts ändert, z.B 0+a=a dann ist die Null das neutrale Element. Wenn nun eine ganze Funktion das neutrale Element sein soll müsste es ja die leere Menge sein, oder?

31.10.2011, 17:00

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Brittney
Aber ich dachte das neutrale Element ist das Element, welches an der Aussage nichts ändert, z.B 0+a=a dann ist die Null das neutrale Element.

Das ist richtig. Nichts anderes hab ich geschrieben. Nur das wir hier statt + $\begin{eqnarray*} \circ \end{eqnarray*}$ haben. die Formel sagt nichts anderes als $\begin{eqnarray*} f \circ e =f \end{eqnarray*}$ ,
Schonmal was von der Identitätsabbildung gehört? Die ist unser Kandidat.

Die leere Menge ist keine Abbildung..

Die Elemente von $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ sind Permutationen, sprich Vertauschungen der Zahlen {1,...,n}

P.S. Ich weiß die ganzen Zeichen und Notationen sind verwirrend, aber da musst Du durch. Jede Wissenschaft hat eine eigene Sprache die man erst lernen muss.

31.10.2011, 17:22

ollie3

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hallo brittney,
der galoisbruder ist anscheinend nicht da, dann werde ich dir weiterhelfen.
Das letzte, was du geschrieben hast, stimmt so nicht, mit neutralem element
ist nicht eine einzelne zahl gemeint, sondern eine funktion, die bestimmte
eigenschaften hat, die alle einzelnen elemente bei der abbildung festhält.
Und bei deiner ersten aufgabe musst du beweisen, dass diese abbildungen eine
untergruppe von der gruppe aller symmetrischen abbildungen darstellt.
gruss ollie3

31.10.2011, 17:33

Brittney

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Also ist e dann Id (f) und somit das neutrale Element, weil bei der Identität alles unverändert bleibt?

Aber hat man damit schon gezeit, dass (Stabn,o) eine Untergruppe von (Sn,o) ist? Oder braucht man dafür noch etwas anderes?

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31.10.2011, 17:46

galoisseinbruder

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Sei vorsichtig mit der Notation. Die Identitätsabb. an sich schreibt man id, ohne Argument. id(f) ist die Abb. angewandt auf das Element f, nach Def. gilt id(f)=f.

Die Kenntnis des neutralen Elements zeigt natürlich noch nicht die Untergruppeneigenschaft. Zeige dass Stab_n alle Eigenschaften einer Untergruppe hat. (Definition dürfte im Skript stehen.)

31.10.2011, 18:01

Brittney

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In Skript seht nur das gelten muss a*b Teilmenge von G' und a hoch -1 Teilmenge von G'.

Aber wie zeigt man so etwas?

31.10.2011, 18:12

galoisseinbruder

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Du machst wieder einen groben Notationsfehler; im Skript steht:
G' ist Untergruppe von G wenn für $\begin{eqnarray*} a, b \in G' \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a*b \in G' und a^{-1} \in G' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e \in G' \end{eqnarray*}$ .
Ausgesprochen hast das (am Bsp. des 1. Punkts) a*b Element G'. a*b ist keine Menge und kann daher keine Teilmenge sein. Mach Dir dann Unterschied zwischen Teilmenge und Element klar.
Zurück zur Aufgabe:
Wir müssen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} id \in Stab_n \end{eqnarray*}$ ist. Betrachte dazu die Def. von $\begin{eqnarray*} Stab_n \end{eqnarray*}$ .
Dann müssen wir für zwei Permutationen $\begin{eqnarray*} f,g \in Stab_n \end{eqnarray*}$ , (d.h. f(n)=g(n)=n) zeigen , dass $\begin{eqnarray*} f*g \in Stab_n \end{eqnarray*}$ gilt, sprich: f*g ist Permutation und (f*g)(n)=n.
Dann dritten Punkt machen wir danach.

02.11.2011, 17:24

Brittney

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Könntest du mir vielleicht noch mal die Definition von Stabn erklären ich verstehe nicht so richtig, was sie ausdrückt.

Woher weiß ich was die Permutationsgruppen f und g sind, die Element von Stabn sein sollen?

02.11.2011, 17:40

ollie3

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hallo brittney,
ich hatte dir ja schonmal erklärt, dass der stabilisator nur das element von der
permutationsgruppe S_n ist, der alle einzelnen elemente festhält, während alle
anderen elemente der permutationsgruppe die zahlen beliebig vertauschen
dürfen. Und jetzt überleg mal, was passiert, wenn man 2 mal hintereinander
(das wären dann f und g) eine solche abbildung ausführt.
gruss ollie3

02.11.2011, 18:07

Brittney

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Ehrlich gesagt kann ich mir das überhaupt nicht vorstellen

Also ich hab jetzt beispielsweise irgendwelche Zahlen in Sn und die werden dann "durchgemischt" erhalten also eine andere Reihenfolge sind aber immer noch alle enthalten, oder? Und wenn ich das zweimal mache sind sie doch immer noch duchgemischt aber Stabn hällt n an seinem Platz und was ist n und wie zeige ich das es zu Sn gehört???

Oh man das ist alles so schrecklich und ich fand Mathe mal so toll

02.11.2011, 18:22

galoisseinbruder

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Zitat:

Original von Brittney
Also ich hab jetzt beispielsweise irgendwelche Zahlen in Sn und die werden dann "durchgemischt" erhalten also eine andere Reihenfolge sind aber immer noch alle enthalten, oder? Und wenn ich das zweimal mache sind sie doch immer noch duchgemischt aber Stabn hällt n an seinem Platz und was ist n und wie zeige ich das es zu Sn gehört???

S_n enthält keine Zahlen sondern die Durchmischungen (Permutationen genannt). Ansonsten ist Deine Vorstellung aber korrekt. Zur letzten Frage: ganz einfach:

Zitat:

Stabn:= (f Element Sn: f(n)=n)

Und ja Mathematik an der Uni ist was anderes als an der Schule. da bist Du nicht die erste die das bemerkt. Man braucht besonders am Anfang oft mehrere Stunden intensiver Beschaftigung mit der Materie um die Vorlesung halbwegs zu verstehen.

02.11.2011, 18:30

Brittney

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Okay, aber was mache ich denn jetzt um zu zeigen, dass Stabn eine Untergruppe von Sn ist?

02.11.2011, 18:35

galoisseinbruder

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Das hatte ich schonmal geschrieben:
Wir müssen die definierenden Eigenschaften einer Gruppe nachweisen, hier also:

Zitat:

Original von galoisseinbruder
Zurück zur Aufgabe:
Wir müssen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} id \in Stab_n \end{eqnarray*}$ ist. Betrachte dazu die Def. von $\begin{eqnarray*} Stab_n \end{eqnarray*}$ .
Dann müssen wir für zwei Permutationen $\begin{eqnarray*} f,g \in Stab_n \end{eqnarray*}$ , (d.h. f(n)=g(n)=n) zeigen , dass $\begin{eqnarray*} f*g \in Stab_n \end{eqnarray*}$ gilt, sprich: f*g ist Permutation und (f*g)(n)=n.
Dann dritten Punkt machen wir danach.

02.11.2011, 18:49

Brittney

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Ja, tut mir leid

Das hört sich ja auch alles super an aber ich versteh halt nicht was ich jetzt genau machen muss. Was muss ich zum Beispiel für f und g nehmen im Moment ist mir das einfach zu abstrakt. Ich kann mir das micht so richtig vorstellen.

02.11.2011, 18:53

galoisseinbruder

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dann mach Dir doch ein paar Beispiele wie soche Permutationen aussehen (im Skript gibts bestimmt auch welche) für z.B. n=3,4,..

Sich das ganze hier vorstellen zu wollen ist vielleicht auch nicht der beste Ansatz, da hier abstrakter Formalismus gefragt ist.

02.11.2011, 19:00

Brittney

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Ja leider gab es in der Vorlesung kein Beispiel zur Permutationsgruppe nur zur Untergruppe und das ist auch nicht so wirklich aufschlussreich.

Naja wie kann ich denn jetzt zeigen dass f(n)=g(n)=n

02.11.2011, 19:11

galoisseinbruder

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Zitat:

Naja wie kann ich denn jetzt zeigen dass f(n)=g(n)=n

Das ist nicht zu zeigen, habe ich auch nie behauptet. das gilt da $\begin{eqnarray*} f,g \in Stab_n \end{eqnarray*}$
Redest Du eigentlich mit Deinen Kommilitonen über die Aufgaben?

02.11.2011, 19:14

Brittney

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Ja klar aber die verstehen genauso wenig selbst mein Tutor wusste nicht was Stab bedeutet.

02.11.2011, 19:18

galoisseinbruder

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Was Stab bedeutet ist für die Aufgabe unerheblich, die definierende Eigenschaft reicht.
Fangen wir mit dem einfachsten an:

Zitat:

Wir müssen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} id \in Stab_n \end{eqnarray*}$ ist. Betrachte dazu die Def. von $\begin{eqnarray*} Stab_n \end{eqnarray*}$

.
Warum ist $\begin{eqnarray*} id \in Stab_n \end{eqnarray*}$ ?

02.11.2011, 19:28

Brittney

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Also die Definiton von Stabn sagt mir, dass ich ein f habe welches element von Sn ist und f(n) nimmt den Wert von n an. n kommt in Sn vor aber was hat das mit Id zu tun.

Vielleicht enthällt f(n) Id oder sowas

02.11.2011, 19:31

galoisseinbruder

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id ist wie wir schon festgestellt hatten die Permutation die nichts tut, als solche ist sie Element der S_n. Stab_n besteht aus den Elementen der S_n(also Permutationen) die die zusätzliche Eigenschaft erfüllen, n fest zu lassen. Erfüllt id diese Eigenschaft?
f(n) ist eine Zahl. Schau Dir Deine Definitionen genau an.

02.11.2011, 19:47

Brittney

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dann ist Id ja nicht fest und erfüllt somit die Eigenschaft nicht

02.11.2011, 19:51

Brittney

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Dann hällt id die Elemente also nicht fest und gehört nicht zu Stab?

02.11.2011, 19:56

galoisseinbruder

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Natürlich ist die zu beweisende Aussage wahr.
Ich kann mich nur wiederholen:
Mach Dir für kleine n mal klar wie Permutationen aussehen.

Zitat:

id(f) ist die Abb. angewandt auf das Element f, nach Def. gilt id(f)=f.

zur Def. von id.

Und ich gebe hier auf, da ich anfange mich massiv zu wiederholen. Wenn jemand anderes übernehmen will, gerne.

02.11.2011, 20:08

Brittney

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Ja ich würde auch mit mir aufgeben

trotzdem danke für die lange Geduld

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