Aufgaben zu Symmetrischen Gruppen

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die Pixelschieber Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgaben zu Symmetrischen Gruppen
Moin, moin.
Da hat man uns armen PC-Sklaven im Rahmen der mathematischen Grundausbildung glatt zwei Aufgaben auf ein Übungsblatt gepackt, die wir partout nicht lösen können verwirrt

Es handelt sich dabei um folgende:

Aufgabe 1:
Zeige: Die symmetrische Gruppe besitzt n! Permutationen.

Anmerkung: Wir haben dazu bisher nichts brauchbares finden können, alle scheinen das als Grundvoraussetzung anzunhemen traurig

Aufgabe 2:
a) Geben Sie explizit die Elemente der symmetrischen Gruppe

an.
b)Berechnen Sie alle Verknüpfungen für i,j=0,...,5.
c) Ist abelsch?

Anmerkung: Zu c haben wir bereits Beiträge in diesem Forum finden können, hat uns allerdings nicht sehr weitergeholfen.


Also wir wissen, was Permutationen sind, und von den möglichen Vertauschungen zu S5 oder S3, die wir hier gefunden haben, dass man das mit einer Art Induktion (diese Beweisform lief bei uns nicht so toll im letzten Übungszettel) beweisen kann.

Die Tutoriumsmitschrift hat uns leider da auch nicht weitergeholfen, ist mehr verwirrender als hilfreich unglücklich

Bitte helft uns armen Pixelschiebern durch das verwirrende, fremde Reich der Mathematik, damit wir Erkenntis erlangen!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Gruppen von Permutationen zur einer endlichen Menge A sind isomorph zu der Gruppe der Permutationen der Zahlen . Es genügt also zu zeigen das es für die Zahlen Permutationen gibt, in Deinem Fall ist |A| = n.

Den Beweis erbringt ihr in dem ihr systematisch die Möglichkeiten der einzelnen
Positionen der Permutationen druchgeht, zum beispiel für n = 3 also die Permutationen der Zahlen



Wir Betrachten die Permutationen



kann alle Elemente aus 1,2,3 Annehmen,
kann nur noch die Elemente aus annehmen

also 3 Möglichkeiten für pi1 und 2 für p2.Für p3 bleibt nur noch ene Möglichkeit übrig, und da wir pi1 bel. wählen können ergibt das

3*2*1 = 3!

Möglichkeiten für die Permutationen. So ähnlich kann man das für allgemeine n machen. Ginge übrigens auch mit vollständiger Induktion.

2a) Einfach aufschreiben, zum beispeil ist
2b) Eine permutation ist eine bijektive Abbildung, demnach bedeutet



nicht weiter als



Beispiel:



c) ergibt sich unmittelbar aus b.
Hammer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgaben zu Symmetrischen Gruppen
Aufgabe 1. steht im Netz.

Hinweis: Vollständige Induktion

MfG
hammer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgaben zu Symmetrischen Gruppen
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/...latt_03_lsg.pdf
noch einer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufgaben zu Symmetrischen Gruppen
Hi, ich bin einer aus der Pixelschiebergruppe und habe vollständigen Beweis aufgeschrieben. Würde mich über Feedback freuen, ob da noch größere Fehler drin sind.

Beweis durch vollständige Induktion:


Induktionsvorraussetzung: hat n! Permutationen

Induktionsverankerung:

Erläuerung: Hiermit habe ich gezeigt, daß die genau eine Permutation besitzt. Dies erfüllt erwartungsgemäß unsere Induktionsvorraussetzung weil

Induktionsschluß:

besitzt (n+1) Permutationen.

besitzt folgende Permutationen:
- (12) und
- (1)(2) also die Identität

das sind genau 2, was genau mit n! übereinstimmt.

q.e.d
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch, ihr habt nicht mal die Induktionsvorraussetzung benutzt. Der Induktionsschritt ist nicht der Beweis eines weiteren Beispiels. Im Induktionsschritt musst Du allgemein zeigen das;



Du weißt das



nach Induktionsvorrausetzung weißt Du das ein n existiert so das

also steht da



So jetzt musst Du Dir nur noch überlegen warum



ist.
 
 
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