Exponentieller Zerfall

31.10.2011, 21:54

DerMatheFreak

Ich hätte hier eigentlich noch zwei Aufgaben. Wink

Von 1g Radium sind nach einem Jahr 0,439mg zerfallen.
a)Wie groß ist die Halbwertszeit?
b) Nach welcher Zeit ist noch 1% der Probe übrig?

Wie soll ich bitte die Halbwertszeit bestimmen?

31.10.2011, 21:55

Equester

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Neue Aufgabe neuer Thread bitte Augenzwinkern

Damit das ganze übersichtlich bleibt.
(Ich lass mal abtrennen).

Eine Idee wirst du doch haben, oder? Eine ähnliche Aufgabe habt ihr sicher schon mal besprochen smile

31.10.2011, 22:06

DerMatheFreak

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Leider nicht. Ich würde vielleicht auf Dreisatz tippen. Aber mehr fällt mir auch nicht ein. Die Halbwertszeit ist die Zeit indem die Probe bzw. das 1g Radium an Wert exponentiell abnimmt.
Mehr weiß ich auch nicht...

31.10.2011, 22:12

Equester

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Ohoh, Dreisatz ist hier nicht angebracht.
Wir haben es hier mit einem exponentiellen Zerfall zu tun!
Das ist eine andere Ecke Augenzwinkern

Spickle mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Zerfallsgesetz
Wenn dir das dort alles unbekannt ist (speziell die erste Formel), dann brauchen
wir nicht weiterzumachen^^

31.10.2011, 22:23

Equester

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Eine weitere Möglichkeit wäre noch diese Formel:
$\begin{eqnarray*} f(t)=A*b^{t} \end{eqnarray*}$

t= Zeit
A= Grundmenge
b=Zerfallskonstante

Das wäre ohne die eulersche Zahl, die du ja nicht "kennst"?

31.10.2011, 22:25

DerMatheFreak

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Nein, kenne ich nicht. Auch nicht in die von dir genannten Schreibweise.

Ich verstehe zwar die erste Formel, nachdem ich mir den Wikipedia Artikel schnell durchflogen habe, aber wie hoch ist denn bitte der Wert der Zerfallskonstante?

31.10.2011, 22:27

Equester

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Das ist der Part den wir auszurechnen haben Augenzwinkern

Alles andere ist ja schon gegeben.

Aber wenn du das noch nicht kennst verwirrt

Arbeitest du vor oder ist das Hausaufgabe?

31.10.2011, 22:41

DerMatheFreak

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Unser Lehrer möchte gerne Eigeniniative von uns sehen, wir bekommen Aufgaben und müssen selbst darüber recherchieren und die Aufgaben lösen.

Von 1g Radium sind nach einem Jahr 0,439mg zerfallen.
a)Wie groß ist die Halbwertszeit?

$\begin{eqnarray*} N(t)=N_{0}*e^{t} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} N(t)=1g*e^{12} \end{eqnarray*}$

Edit: Und jetzt nach e auflösen mithilfe des Logarithmusgesetz wie zuvor schon?

31.10.2011, 22:45

Equester

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Jetzt hast du beide Formelm gemixt^^

Die aus wikipedia lautet so:
$\begin{eqnarray*} N(t)= N_0 \cdot e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N_0 \end{eqnarray*}$ ist bekannt, N(t) ist bekannt wie auch t.
$\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ muss noch errechnet werden.

Warum nimmst du für t eigentlich Monate? Nimm lieber Jahre Augenzwinkern

Nach einem Jahr sind gerade mal 0,439mg verfallen! Das lässt auf eine große
Halbwertszeit schließen. Augenzwinkern

Toller Lehrer. Ich hoffe er überfordert seine Schüler nicht.
Darf ich nach der Schulart und Klasse fragen?

31.10.2011, 22:56

DerMatheFreak

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Ja, 11. Klasse eines Gymnasiums.
$\begin{eqnarray*} 0,438mg(1)=1*e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$

31.10.2011, 23:00

Equester

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Ah ok

Dieses (1), kannste weglassen.
N(t) bedeutet soviel wie: Der Funtkionswert an der Stelle t.
Und der ist bei uns N(1)=0,438mg.

Du hast jetzt links mg stehen und rechts (eigentlich gar keine Einheit) Gramm.
Das geht schonmal nicht. 1g=?mg ? Augenzwinkern

t hast du selbst gesagt ist 1. Dann auch im Exponenten Augenzwinkern

31.10.2011, 23:09

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} 438*10^{-4}g(t)=1g*e^{\lambda 1} \end{eqnarray*}$

so richtig?

31.10.2011, 23:15

Equester

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Was macht das (t) da?
Der Funktionswert N(t) an der Stelle 1, also N(1) hat den Wert 0,438mg Augenzwinkern

Du hast die richtige Idee. Aber falsch umgesetzt.
$\begin{eqnarray*} 1mg=1*10^{-3}g \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,438mg=0,438*10^{-3}g=4,38*10^{-4}g \end{eqnarray*}$

Klar? Augenzwinkern

Wir haben also:
$\begin{eqnarray*} 4,38*10^{-4}=1*e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

(Wenn die Einheiten auf beiden Seiten gleich sind, dann lassen die Mathematiker die
Einheiten gerne weg. Sind wir also mal mathematisch^^)

Es gilt nun $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu finden Augenzwinkern

31.10.2011, 23:25

Equester

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Wir haben übrigens noch einen Fehler.
Es verfallen 0,438mg. Es bleiben nach einem Jahr also $\begin{eqnarray*} 1g-0,438mg \end{eqnarray*}$ übrig.
Also $\begin{eqnarray*} 1g-4,38*10^{-4}=0,999562g \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Wir müssen also unsere Gleichung verbessern:
$\begin{eqnarray*} 0,999562=1*e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

31.10.2011, 23:30

DerMatheFreak

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Ist der exponent lambda mit negativen Vorzeichen ein Fehler, oder beabsichtigt?

31.10.2011, 23:32

Equester

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Prinzipiell ist das egal.
Je nachdem ist halt lambda positiv oder negativ. Normal ist beim Zerfall aber ein
negatives Vorzeichen. Lambda also immer positiv und das Vorzeichen gibt an, ob
Zerfall oder Wachstum Augenzwinkern

31.10.2011, 23:41

DerMatheFreak

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Ich verstehe, dass klingt logisch. smile

Müssen wir nun mit $\begin{eqnarray*} 0,999562=1*e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$ wie in der vorherigen Gleichung (mit Logarithmus) verfahren um nach der Zerfallkonstante auflösen zu können?

31.10.2011, 23:45

Equester

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Yup genau

Das sieht dann wie aus?

(Und wieder ein Nachtrag *hust* Wir haben aus 0,439mg 0,438mg gemacht Big Laugh

)
$\begin{eqnarray*} 0,999561=1*e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

31.10.2011, 23:56

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} 0,999561=1*e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(0,999561)=-\lambda*ln1*e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac {ln(0,999561)}{ln1*e}=\lambda \end{eqnarray*}$

Oh, ja, den Fehler habe ich total übersehen, danke dass du mich darauf hinweist. smile

01.11.2011, 00:03

Equester

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Warum hast du denn ln1*e? Ist das ln(1*e)=ln(e)?

Und was hatten wir vorher gesagt ist ln(e)?

Sonst siehts gut aus Augenzwinkern

01.11.2011, 00:21

DerMatheFreak

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Zitat:

Original von Equester
Warum hast du denn ln1*e? Ist das ln(1*e)=ln(e)?
ln(1*e)

Und was hatten wir vorher gesagt ist ln(e)?
ln(e)=1

01.11.2011, 00:24

Equester

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Sehr gut

Bleibt also:
$\begin{eqnarray*} -ln(0,999561)=\lambda \end{eqnarray*}$
oder $\begin{eqnarray*} \lambda=0,00439966 \end{eqnarray*}$

Die Zahl muss sehr genau sein!

Damit haben wir den ersten Schritt.

$\begin{eqnarray*} N(t)=N_0*e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} N(t)=1*e^{-0,00439966*t} \end{eqnarray*}$

Jetzt suchen wir ja die Halbwertszeit. Also wann nur noch die Hälfte da ist.
Das ist für 0,5g der Fall.
Jetzt bist du aber wieder dran Augenzwinkern

01.11.2011, 19:48

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} N(t)=N_0*e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=1*e^{-0,00439966*t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=-0,00439966*t*ln(1*e)|:-0,00439966*ln(1*e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{0}{0,00439966*ln(1*e)}=t \end{eqnarray*}$

01.11.2011, 19:58

Equester

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Bevor wir uns an die Rechnung machen, sollten wir uns erst überlegen was denn N(t) ist Augenzwinkern

Wir wollen ja jetzt die Halbwertszeit bestimmen.

Erinnere dich an die Anwendung des Logarithmuses. Wenn du ihn auf der einen
Seite anwendest, dann auch auf der anderen Augenzwinkern

01.11.2011, 20:21

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} N(t)=N_0*e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N(t)=1*e^{-0,00439966*t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(x)=-0,00439966*t*ln(1*e)|:-0,00439966*ln(1*e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{ln(x)}{0,00439966*ln(1*e)}=t \end{eqnarray*}$

01.11.2011, 20:24

Equester

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Warum hast du denn aufeinmal ln(x)?
Vielmehr muss es ln(N(t)) heißen Augenzwinkern

Das ist klar warum? Einfach Logarithmus auf beiden Seiten anwenden.

Der Rest ist richtig Freude

Wenn das ist klar ist bleibt weiterhin die Frage...was ist N(t)?

01.11.2011, 20:34

DerMatheFreak

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Die Halbwertszeit?

01.11.2011, 20:39

Equester

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N(t) selbst nicht.

Wir wollen die Halbwertszeit $\begin{eqnarray*} t_\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ haben.
Halbwertszeit bedeutet die vergangene Zeit, nach der die Substanz nur noch
zur Hälfte vorhanden ist.
Bei uns als? Augenzwinkern

01.11.2011, 21:03

DerMatheFreak

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$\begin{eqnarray*} 4,39*10^{-4}g \end{eqnarray*}$

01.11.2011, 21:03

Equester

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Das ist die Hälfte von 1 Gramm Ursprungsmasse? Oo
Du erstaunst mich Big Laugh

01.11.2011, 21:14

DerMatheFreak

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Okay, offensichtlich, kann ich dir nicht mehr folgen..- Hammer

01.11.2011, 21:22

Equester

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^^

Halbwertszeit bedeutet -> Die Zeit nachdem nur noch die Hälfte von der Ursprungsmenge vorhanden ist.

Unsere Ursprungsmenge war ja 1g Radium. Die Hälfte ist dann natürlich 0,5g Radium.
Das ist für unser N(t) zu ersetzen.

$\begin{eqnarray*} 0,5=1*e^{-0,00439966*t} \end{eqnarray*}$

Das also umformen wie dus vorher schon fast richtig gemacht hast (Bis auf das ln(x)) Augenzwinkern

Du kannst mir folgen?

Diese $\begin{eqnarray*} 4,39*10^{-4}g \end{eqnarray*}$ waren nur ein Hinweis zum bestimmen für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .
Im weiteren Verlauf ist der Wert unwichtig Augenzwinkern

01.11.2011, 21:44

DerMatheFreak

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Gut, bis hier hin habe ich es verstanden.

$\begin{eqnarray*} N(t)=N_0*e^{-\lambda t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,5=1*e^{-0,00439966*t} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(0,5)=-0,00439966*t*ln(1*e)|:-0,00439966*ln(1*e) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{ln(0,5)}{0,00439966*ln(1*e)}=t \end{eqnarray*}$

01.11.2011, 21:47

Equester

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Das merkt man. Umgesetzt wie ne 1 Augenzwinkern

Was ln(1*e)=ln(e) ist, haben wir ja mehrfach besprochen Augenzwinkern

Für den Rest darfst du jetzt den TR benutzen.

01.11.2011, 22:02

DerMatheFreak

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Klasse, die das e bzw. die 1 habe ich bei der Rechnung wegfallen lassen, ist das richtig so?

$\begin{eqnarray*} 157,5456241(Tage)=t \end{eqnarray*}$

Eins verstehe ich bei der Bestimmung des Zerfallskonstanten noch nicht: Wieso hast du bitte den Wert $\begin{eqnarray*} 4,38*10^{-4} - 1 \end{eqnarray*}$ genommen?

Zitat:

Original von Equester
Wir haben übrigens noch einen Fehler.
Es verfallen 0,438mg. Es bleiben nach einem Jahr also $\begin{eqnarray*} 1g-0,438mg \end{eqnarray*}$ übrig.
Also $\begin{eqnarray*} 1g-4,38*10^{-4}=0,999562g \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Wir müssen also unsere Gleichung verbessern:
$\begin{eqnarray*} 0,999562=1*e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

01.11.2011, 22:11

Equester

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1. Wir haben t=Jahre genommen^^
Also 157,55 Jahre!

Wir haben gegeben, dass wir eine Ursprungsmasse von 1g haben.
Außerdem wissen wir, wie viel nach einem Jahr zerfallen sind.
Mit diesen Angaben können wir $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ berechnen um dann die Halbwertszeit zu
bestimmen. Diese spielt in der Physik und der Chemie eine große Rolle!
Wir beobachten einen Stoff ein Jahr lang und erhalten die gegebenen Werte.
Mit diesen kann der Physiker die Halbwertszeit bestimmen und sich dann so z.B.
Gedanken über die Müllentsorgung machen.
Würde z.B. Uran eine Halbwertszeit von Tagen haben, könnte man es einfach
in die Erde kippen, da nach wenigen Tagen nur noch die Hälfte vom gefährlichen
Uran da ist. Uran hat aber eine Halbwertszeit von Millionen von Jahren und ist demnach
auch so lange gefährlich -> Spezialentsorgung Augenzwinkern

Bisschen viel Text, ist aber nun klar, hoffe ich.

Wenn ja -> Dann zur b).
Wenn nicht, frag nochmals nach.

01.11.2011, 22:50

DerMatheFreak

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Also nachdem du die Ursprungsmasse mit der Zerfallsmasse nach einem Jahr subtrahierst hast, bleibt die 1g bzw. die Ursprungsmasse dennoch in der Gleichung drin.
$\begin{eqnarray*} 1g-4,38*10^{-4}=0,999562g \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 0,999562=1*e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

01.11.2011, 22:52

Equester

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$\begin{eqnarray*} 1g-4,38*10^{-4}=0,999562g \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,999562=\color{red}1\color{black}*e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

Die rote Eins ist weiterhin die Ursprungsmaße mit dem Faktor $\begin{eqnarray*} e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$
Der linke Teil ist, was nach einer gewissen Zeit noch da ist (hier nach einem Jahr) Augenzwinkern

01.11.2011, 23:30

DerMatheFreak

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Okay soweit so gut. Nun haben wir die Zeit und die Zerfallskonstante bestimmt. Wie bestimmen wir denn jetzt die Halbwertszeit, wir haben doch schon alle unbekannten Variablen aufgelöst oder?

01.11.2011, 23:45

Equester

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Haben wir doch schon bestimmt Augenzwinkern

Halbwertszeit

$\begin{eqnarray*} 157,5456241(Jahre)=t_{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

Hier haben wir unsere Halbwertszeit errechnet.

Du erinnerst dich? $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ bestimmt mit den gegebenen Anfangswerten von einem Jahr.
Und mit deren Hilfe dann die Halbwertszeit Augenzwinkern

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