Summe normalverteilter Zufallsvariablen

31.10.2011, 22:48

Mariam3

Summe normalverteilter Zufallsvariablen

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} Z_{1} \sim N(\mu,\sigma^{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_{2} \sim N(\nu,\sigma^{2}) \end{eqnarray*}$ zwei unabhängige Zufallsvariablen und $\begin{eqnarray*} A = Z_{1} + Z_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B = Z_{1} - Z_{2} \end{eqnarray*}$ .

1. Zeige dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unabhängig sind. Anmerkung: $\begin{eqnarray*} (A,B) = f(Z_{1},Z_{2}) = (Z_{1}+Z_{2},Z_{1}-Z_{2}) \end{eqnarray*}$

2. Zeige dass $\begin{eqnarray*} A \sim N(\mu + \nu,2\sigma^{2}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \sim N(\mu - \nu,2\sigma^{2}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu 2): Da $\begin{eqnarray*} Z_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, gilt $\begin{eqnarray*} f(z_{1}|z_{2})=f(z_{1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(z_{1},z_{2}) = f(z_{1}) * f(z_{2}) \end{eqnarray*}$

31.10.2011, 22:57

Gast11022013

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RE: Summe normalverteilter Zufallsvariablen
Also bei 1.) würde ich mir erstmal die Definition für unabhängige Zufallsvariablen ansehen und bei 2.) die Verteilungsfunktionen $\begin{eqnarray*} F_A(c), F_B(c) \end{eqnarray*}$ versuchen aufzustellen.

Bedenke dabei, daß die Summe zweier normalverteilter Zufallsvariablen ebenfalls normalverteilt ist. Wie sehen für diese Summe nämlich Erwartungswert und Varianz aus?

31.10.2011, 23:29

Mariam3

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Zu 1): Wenn $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unabhängig sind gilt doch $\begin{eqnarray*} f(a,b)=f(a)*f(b) \end{eqnarray*}$ , aber ich verstehe die Anmerkung nicht, bedeutet das $\begin{eqnarray*} f(a,b)=(z_{1}+z_{2})*(z_{1}-z_{2})=z_{1}^{2}-z_{2}^{2} \end{eqnarray*}$

01.11.2011, 08:46

René Gruber

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Art bzw. Umfang der Lösung können erheblich verändert bzw. verringert werden, wenn du schon ein Vorwissen über die multivariate Normalverteilung hast. Die Anmerkung bei 1. würde ich jedenfalls so lesen, dass du über diesen Weg gehen kannst.

01.11.2011, 14:39

Mariam3

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Hallo René, meinst du das hier:
"Die multivariate Normalverteilung hat die folgenden Eigenschaften:
Sind die Komponenten paarweise unkorreliert, so sind sie auch stochastisch unabhängig."

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ sind unkorreliert wenn $\begin{eqnarray*} \operatorname{Cov}(X, Y) = \operatorname E\bigl((X - \operatorname E(X))(Y - \operatorname E(Y))\bigr) = 0 \end{eqnarray*}$
also müsste die Kovarianzmatrix der multivariaten Normalverteilung $\begin{eqnarray*} \sigma^{2} * Einheitsmatrix \end{eqnarray*}$ sein.

01.11.2011, 15:00

René Gruber

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Zitat:

Original von Mariam3
Hallo René, meinst du das hier:
"Die multivariate Normalverteilung hat die folgenden Eigenschaften:
Sind die Komponenten paarweise unkorreliert, so sind sie auch stochastisch unabhängig."

Unter anderem das, ja.

Und dann auch noch dies:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ n-dimensional multivariat normalverteilt $\begin{eqnarray*} \mathcal{N}(\mu,\Sigma) \end{eqnarray*}$ , d.h. mit Erwartungswertvektor $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ und Kovarianzmatrix $\begin{eqnarray*} \Sigma \end{eqnarray*}$ , so ist der durch eine lineare Transformation $\begin{eqnarray*} Y=UX+v \end{eqnarray*}$ entstandene Vektor $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ebenfalls multivariat normalverteilt, sofern die Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ vom Typ $\begin{eqnarray*} m\times n \end{eqnarray*}$ den Rang $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ hat. Genauer, es gilt dann $\begin{eqnarray*} Y\sim\mathcal{N}(U\mu+v,U\Sigma U^T) \end{eqnarray*}$ .

Im vorliegenden Fall würde man das für $\begin{eqnarray*} m=n=2 \end{eqnarray*}$ anwenden, mit Matrix $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und Nullvektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ .

01.11.2011, 17:27

Mariam3

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Stehe gerade etwas auf dem Schlauch.

$\begin{eqnarray*} Z_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ sind (1-dimensional multivariat) normalverteilt.
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind 2-dimensional multivariant normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswertvektor $\begin{eqnarray*} \mu = (\mu_{Z_{1}},\nu_{Z_{2}}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind durch lineare Transformation aus $\begin{eqnarray*} Z_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ entstanden?

01.11.2011, 17:44

René Gruber

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Zitat:

Original von Mariam3
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind 2-dimensional multivariant normalverteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswertvektor $\begin{eqnarray*} \mu = (\mu_{Z_{1}},\nu_{Z_{2}}) \end{eqnarray*}$

Nein, bitte exakt bleiben: $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind reelle, also eindimensionale Zufallsgrößen. Als Vektor gebündelt, aber schreibe es dann auch so hin, d.h. $\begin{eqnarray*} (A,B) \end{eqnarray*}$ ist das 2-dimensional multivariat normalverteilt.

Zitat:

Original von Mariam3
$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ sind durch lineare Transformation aus $\begin{eqnarray*} Z_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ entstanden?

Ja, mit der angegebenen Transformationsmatrix $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , rechne doch mal nach!

Zitat:

Original von Mariam3
$\begin{eqnarray*} Z_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Z_{2} \end{eqnarray*}$ sind (1-dimensional multivariat) normalverteilt.

Nun ja, bei eindimensional spricht man strenggenommen nicht mehr von multivariat - obwohl rein formal nichts dagegen spricht. Hier wird es aber eher so benutzt, dass der Vektor $\begin{eqnarray*} (Z_{1},Z_{2}) \end{eqnarray*}$ multivariat (bei n=2 spricht man auch von bivariat) normalverteilt ist, mit einem Mittelwertvektor, der sich aus den Mittelwerten der Komponenten ergibt, d.h. $\begin{eqnarray*} (\mu,\nu) \end{eqnarray*}$ . Die Kovarianzmatrix ergibt sich bei unabhängigen Komponenten wie hier als Diagonalmatrix, wo auf der Diagonalen die Einzelvarianzen stehen, hier konkret also

$\begin{eqnarray*} \Sigma = \begin{pmatrix} \sigma^2 & 0 \\ 0 & \sigma^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ist also die von mir im letzten Beitrag genannte Transformationseigenschaft bekannt, dann ist für die Berechnung der Verteilung von $\begin{eqnarray*} (A,B) \end{eqnarray*}$ hier nur noch ein bisschen Matrizenmultiplikation angesagt, allerdings recht harmlose, da nur 2x2 mit sehr einfachen Einträgen. Augenzwinkern

01.11.2011, 19:44

Mariam3

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Danke! D.h. über die Transformation hat man 2.) gezeigt und 1.) sieht man anhand der Kovarianzmatrix von $\begin{eqnarray*} (A, B) \end{eqnarray*}$ . Aber wie kommt man denn auf die Transformationsmatrix ohne die Angabe der Verteilungen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unter 2.)

02.11.2011, 16:42

Mariam3

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Kannst du mir bitte kurz erklären wie du auf die Transformationsmatrix gekommen bist. verwirrt