Gruppen und Ringtheorie

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Shalec Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen und Ringtheorie
Hallo, ich habe am Freitag meine Prüfung und brauche noch ein paar Gedankenstützen zu folgenden Fragen:

  1. Warum ist keine endlich erzeugbare abelsche Gruppe?
  2. Was ist die Torsionsuntergruppe einer abelschen Gruppe A, und warum ist Torsionsfrei?
  3. Welche abelschen Gruppen der Ordnung gibt es?
  4. Sind die Ordnungen zweier zyklischer Gruppen A und B teilerfremd, so ist zyklisch.
  5. Man beschreibe die Orbits bei der Kongruenzaktion von auf der Menge der symmetrischen Matrizen. Was sind dabei die Stabilisatoren?
  6. Man beschreibe die Orbits und Stabilisatoren bei der Aktion einer Gruppe auf sich durch Konjugieren.
  7. Warum haben p-Gruppen ein nichttriviales Zentrum?
  8. Wie lautet die Klassengleichung der symmetrischen Gruppe ?
  9. Man berechne die Ordnung von skalare Matrizen mit )
  10. Was sind die Sylowgruppen der alternierenden Gruppe ?
  11. Was sind die p-Sylowgruppen von bei ?
  12. Was kann man über den Index des Normalisator einer p-Sylowgruppe sagen?
  13. Was sind die Linksideale und die zweiseitigen Ideale von M(n,K)?
  14. Wann gilt ?
  15. Man gebe maximale Ideale an in
  16. ist genau dann exakt, wenn für alle M exakt ist.
  17. Warum gilt in kommutativen Ringen R, dass genau dann ein Primideal ist, wenn ein Homomorphismus f: R-> Kin einem Körper K mit ker(f)=p existiert?
  18. Man bestimme die Einheitengruppe von für
  19. sei ein Polynom vom Grad , man gebe eine Basis von an.
  20. Warum gibt es keinen Körper aus 100 Elementen?


Ein paar Lösungsansätze bzw. Hilfestellungen die Aufgaben zu lösen reichen aus.
Ich habe mir auch schon ein paar Gedanken zu den Aufgaben gemacht, aber habe jetzt grad nicht die zeit diese nieder zu schreiben. ich werde sie später hinzufügen oder mitm neuen Post bereit stellen. Bis dahin könnt ihr die Fragen für mich ersteinmal etwas beantworten. D.h. Beweisskizzen (Gedankengang), Erklärungen zu Tatsachen usw, jedoch keine Lösungen. Stichpunkte von Hintergründen, die hierzu nötig sind, reichen auch aus. smile

in 30min setze ich mich ran und tippe meine lösungsansätze mal ab..

Liebe Grüße und schonmal einen herzlichen Dank an alle Helfenden! Big Laugh
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

  1. Es gilt , N ist endlich erzeugbar , jedoch ist für , da weiterhin gilt: für den Fall dass ich nun ein beliebiges Element aus Q+ betrachte gilt entweder:
    für den zweiten Fall gilt nun gerade, dass
    damit muss ein weitere Primzahl geben, in deren Erzeugnis x liegt. Dies kann induktiv fortgesetzt werden, sodass für den schritt n-> n+1 folgt, dass x nicht in den n+1 erzeugern liegt. damit ist Q+ nicht endlich erzeugt.
  2. Torsionsuntergruppe ist mir recht unbekannt. nach einem Eintrag auf ner anderen Seite scheint mir die Torsionsuntergruppe ähnlich einer zyklischen Gruppe zu sein.
    ist Torsionsuntergruppe in d.h. es existiert ein p in N sodass da durch gebildet wird, ist zu sehen, dass die , da A abelsch und nicht zyklisch ist, existiert kein q sodass damit ist und damit ist die Nebenklasse torsionsfrei. (Idee ist also, dass zwei Elemente zyklischer Gruppen genau dann annuliert werden, falls ein existiert, sodass )
  3. Hierbei dachte ich an die direkte Summe von zyklischen Gruppen mit den jeweiligen Ordnungen. GGf. mit Anwendung der Sylowsätze.. jede endliche Gruppe ist direktes Produkt ihrer p-Sylowuntergruppen.
  4. Hier habe ich mir gedacht,dass das mit der Ordnung der Einzelelemente zu tun hat. aber es muss ja ein Element in dieser Geschaffenen Menge geben, dass beide erzeugt, dessen Ordnung muss dann ord(A)*ord(B) sein...
  5. Kongruenzaktion?
  6. Orbits und Stabilisatoren klar, Aktion einer Gruppe auf sich durch Konjugation unklar. Versteh ich darunter einen Gruppenhomomorphismus, von G->G mit ?
  7. ist Untergruppe von G, damit muss die Ordnung des Zentrums die Gruppenordnung teilen. Da prim, finden die sylowsätze anwendung und es gibt für jedes eine Gruppe mit dieser Ordnung. Damit ist die Ordnung . nun per ausschlussverfahren weiter?! es gibt einen wichtigen fakt, den ich grad offensichtlich nicht berücksichtige. ach.. damit ist
  8. Klassengleichung?
  9. handelt es sich hierbei um die spezial linear group der Ordnung 2 über dem Körper Fq? Oder wie ist das zu verstehen?
  10. A5 hat die ordnung 5!/2=60, nun sind die p-gruppen darin teiler der ordnung. d.h. es kommen Primzahlen in frage: 2,3,5. d.h. die untergruppen haben diese Ordnungen. damit sind die 2-SylowUG <(12)> und alle anderen 2-zykel. die anderen sind 3 und 5 zykel.
  11. Alle erzeugnisse von Elementen der Ordnung für
  12. ..N(X) ist die Größte Untergruppe von G in der S normal ist. Nun sei G eine p-Gruppe, dann haben alle Untergruppen eine primpotenzordnung die teiler der Gruppenordnung ist. damit ist
  13. Erklärung unglücklich in abelschen Gruppen gibts diese Unterscheidung nicht, auch in kommutativen Ringen nicht. Ein linksideal ist wohl ein Ideal für das eben nur gilt: . Also M(n,K) sind vermutlich dann sind die zweiseitigen Ideale die Inversen, das neutrale Element, Elemente deren Zeilenoperationen gleich den Spaltenoperationen sind.. die Linksideale alle anderen Matrizen.
  14. keinen Ansatz unglücklich ist nZ einfach eine "verschiebung" von Z um n? vermutlich wegen kgV(m,n)=mn ?
  15. hier brauche ich gedankliche Weisung..
  16. hier habe ich keinen Ansatz. ich kenne das Wort "exakt" im mathematischen Sinne nicht, habe es in keinem meiner Bücher oder in meiner Vorlesung finden können.
  17. unglücklich Primideal klar. kommutativer Ring klar.
  18. Einheitengruppe=Einheitsgruppe?, dann fürn Ring R ist übertragen auf die Aufgabe ist für beliebige x aus IN
  19. hier bin ich voll überfragt..was bedeuetet K[X]?
  20. weiß ich nicht. vermutlich da es 2 selbstinverse Elemente enthalten müsste bzgl. beider operationen.
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Blöde Frage am Anfang: Du fragen passen zu der Prüfung und Du hast die Vorlesung dazu gehörtverwirrt Gruppentheorie,AlgebraI?) Bin etwas verwirrt wenn Du dazugehörige begriffe nicht kennst?


1.,was ist mit 2/3?
Außer ich die unsaubere Notation missverstanden.
2. Torsionsuntergruppe ist die Menge aller Elemente mit endlicher Ordnung. (jede endliche Gruppe ist ihre eigene torsionsgruppe). Sie ist nicht notwendig zyklisch.
Zitat:
da A abelsch und nicht zyklisch ist,
. Woher dass?

4.chin. Restsatz
5.
6. Ja und Normalisator
7.ja
8.k.A.
10. die 2-sylovgruppe ist 4-elementig (12) kein element der A_n
12. Schau Dir den beweis der sylowsätze an.
14
15. I max gdw R/I Körper
16.exakte Sequenz
17. I prim gdw R/I Int.ring
18. Kenne nur Einheitengruppe keine Einheitsgruppe. Die invertierbaren sind die zu n teilerfrremden zahlen.
19. Du kennst keinen polynomring? Da kann ich nichts mehr zu sagen
20.ist |K| endlich so ist es eine Primzahlpotenz.

Aber nochmal: was ist das für eine Prüfung und hast Du die Vorlesung dazu gehört?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zusätzlich noch folgende Hinweise:

ad (5): Ich kenne den Begriff "kongruente Matrizen" als
Zitat:
heißen kongruent, falls mit
, unter Umständen ist also diese Operation gemeint.

ad (12): Hier kann man den Bahnensatz anwenden.

ad (13): Wiederhole die Begriffe "Ideal" und "Linksideal", da hast du nur Quatsch zu geschrieben.

Ansonsnten kann ich mich galoisseinbruder nur anschließen: Es erscheint seltsam, dass du mit vielen der auftauchenden Begriffe nichts anfangen kannst.
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön schonmal, dass Ihr euch die Zeit genommen habt durch die Fragen zu lesen ^^


Also die Vorlesung war bei nem anderen Dozenten, die Prüfung baut nicht unbedingt darauf auf. Defacto kenne ich die Vorlesung, die den Fragen zugrunde liegt, nicht. Die Fragen werden wohl teilweise in der Prüfung vorkommen. Das Themengebiet ist Algebra. D.h. es gab dazu mal eine Algebra Vorlesung (4 Jahre vor meiner Studienzeit) bei diesem Prof. Naja ich freue mich, dass er mich prüft und ich kein weiteres halbes Jahr warten muss ^^

Definition - Ideal Sei R ein Ring und I nicht die leere Menge eine Teilmenge von R, dann ist Ideal in R falls gilt:
1. (I,+) ist Untergruppe in (R,+).
2. r * a in I für alle r aus R, a aus I


das liegt mir aus meiner Vorlesung zu Grunde. Weiter hatten wir nur Primideal, Hauptideal und Maximales Ideal definiert.

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Zitat:
was ist mit 2/3?

gut meine Notation ist schlecht gewählt... vlt isses besser wenn ich das so schreibe:



Also meine Erezugung ist hier nicht nur die Multiplikation sondern auch im gewissen Maße die Addition. Sodass nicht nur (1/p)^x bestimmt wird, sondern auch (1/p)+(m/p).. wenn ich das nochmal trenne kann ich auch <q/p> als erzeuger zulassen mit q,p prim.
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ad (5) jester.) sieht mir nach einer spezialisierung der Ähnlichkeit aus. Leider weiß ich auch nicht wirklich was dieser Prof darunter versteht. Vermutlich, G operiere auf G durch Kongruenz- damit wäre deins durchaus treffend.
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ad (2) gsb) gut, nicht zyklisch habe ich mir wohl ausgedacht. damit macht ja der ganze rest keinen sinn mehr unglücklich
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ad(4) chineischer Restsatz, gut.. gucke ich mir mal an - kam in meiner Vorlesung auch nicht vor smile
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ad (5) alles klar.. zwei elemente x,y heißen Konjugiert, falls ein a existiert sodass x=a^{-1}ya
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ad(19) ach..das steht fürn Polynomring.. dann ist alles klar, kenne den auch nur aus analysis 1.






ich werde das heute abend nochmal alles mit den Hilfestellungen durchgehen smile Vielen Dank nochmal!
Shalec Auf diesen Beitrag antworten »

bzgl. Aufgabe 8)
die Klassengleichung scheint wohl hier zu stehen..

d.h.

Dabei ist Z(G) wohl der zentralisator und N(X) der normalisator. erinnert mich ein wenig an das burnside-lemma..aber wenn ich so die vorlesung durchblätter, hatten wir diese gleichung so nicht notiert. aber ähnliche, die im beweis zum burnside lemma zusammengeführt wurden.

dann mach ich mich mal weiter ran die ideen der aufgaben richtig zu erfassen ^^
die prüfung wird übrigens mündlich sein.

Liebe Grüße
 
 
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