C^n über R -> Dimension zeigen, Dimensionssatz?

02.11.2011, 17:18

Mathenoobika

C^n über R -> Dimension zeigen, Dimensionssatz?

Hallo zusammen ich soll angeben welche Dimension der Vektorraum C^n über R hat.

Hilft mir da der folgende Dimensionssatz weiter?

Logischerweise ist die Dimension R^2n allerdings komme ich beim rechnen mit dem Satz nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} dim(<U_{1},U_{2}>)= dim(U_{1}) + dim(U_{2}) - dim(U_{1} \cap U_{2}) \end{eqnarray*}$

Die Schnittmenge am Ende irritiert mich, kann mir da jemand helfen?

02.11.2011, 18:08

Mulder

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RE: C^n über R -> Dimension zeigen, Dimensionssatz?
Wenn du weißt, dass du $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ auch als $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \end{eqnarray*}$ interpretieren kannst, bist du doch sofort fertig. Oder soll's elementarer sein?

$\begin{eqnarray*} \mathbb C^n = \left \{ \begin{pmatrix} a_1 +i b_1 \\ a_2 + i b_2 \\ \vdots \\ a_n+ i b_n \end{pmatrix} \, \bigg \vert \, a_i,b_i \in \mathbb R \right \} \end{eqnarray*}$

Die Dimension ist so doch rein intuitiv schon einzusehen, oder? Kannst du eine Basis angeben?

Sonst mach ruhig erstmal das Beispiel C^2, oder so.

02.11.2011, 18:19

Mathenoobika

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Naja, eine komplexe Zahl ist ja per Definition ein Zahlentupel aus R...

Der Form a+ib, wobei a und b aus R sind.

Also R x R bzw R^2

somit kann C als Vektorraum über R betrachtet werden. Wobei R die beiden Unterräume sind.

Also hat der Vektorraum C^n über R betrachtet die Dimension R^2n

Aber genau da stellt sich mir ja die Frage, eigentlich müsste das doch durch den Satz zu zeigen sein....

dim(<U1,U2>) = dim(R^n) + dim(R^n) - dim(R^n geschnitten R^n) aber R^n geschnitten R^n ist n^R ???

02.11.2011, 18:32

Mulder

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Was genau möchtest du damit denn erreichen? Was ist denn dim(<U1,U2>)?

02.11.2011, 18:38

Mathenoobika

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als Definition habe ich angegeben :

Seien U1 und U2 Unterräume des Vektorraums V. Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} dim(<U_{1},U_{2}>) = dim(U_{1}) + dim(U_{2}) - dim(U_{1} \cap U_{2}) \end{eqnarray*}$

wobei dim für Dimension steht: z.B. dim(R^n) = n oder dim(R) = 1....

Achja in dem Fall käme dann das folgende heraus....

$\begin{eqnarray*} dim(<R^{n},R^{n}>) = dim(R^{n}) + dim(R^{n}) -R \end{eqnarray*}$

Aber wie soll ich denn 2n - R, wobei hier R wieder für die Menge der reellen Zahlen steht, interpretieren?

02.11.2011, 18:55

Mulder

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Und was ist in diesem Fall bitte dein V? Und selbst wenn: Wenn du zwei verschiedene Unterräume hernimmst, kann diese Formel interessant sein. Sind U1 und U2 aber ein und die selbe Menge, wird das ganze doch völlig uninteressant. Da landet man allenfalls bei der Wahnsinnserkenntnis

$\begin{eqnarray*} n=n+n-n \end{eqnarray*}$

Denn wenn U1=U2 ist, dann ist die Summe, der Schnitt, die Vereinigung etc. alles inmer wieder genau das selbe.

Und bei $\begin{eqnarray*} \dim(\mathbb R^n \cap \mathbb R^n)=\mathbb R \end{eqnarray*}$ rollen sich einem die Fußnägel hoch. Was soll das aussagen? Die Dimension ist eine Zahl, keine Menge. Da R^n geschnitten R^n gerade wieder der R^n ist, ist allenfalls $\begin{eqnarray*} \dim(\mathbb R^n \cap \mathbb R^n)=\dim(\mathbb R^n)=n \end{eqnarray*}$ . Was wieder eher unspektakulär ist.

Edit: Noch was...

Zitat:

Also hat der Vektorraum C^n über R betrachtet die Dimension R^2n

Auch dieser Satz ist so nicht sinnvoll. Was heißt "die Dimension R^2n"? Das macht inhaltlich keinen Sinn. Oder meintest du "die gleiche Dimension wie der R^(2n)"?

02.11.2011, 19:01

Mathenoobika

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Bei dem Rest verstehe ich dich ja, R^n geschnitten R^n sollte R^n sind und die Dimension dann logischerweise wieder n

Allerdings wäre die Dimension dann ja n und nicht 2 n, wie es eigentlich rauskommen sollte...

(Komisch warum spuckt Mathematica bei R^n geschnitten R^n = n^R aus ?)

Nun gut, trotzdem sollte diese Formel doch auch für 2 Gleiche Mengen gelten? Darf ich den Rest einfach weglassen? also R^n geschnitten R^n ?

Danke für die Hilfe im voraus mal wieder....

02.11.2011, 19:17

Mulder

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Zitat:

Original von Mathenoobika
Komisch warum spuckt Mathematica bei R^n geschnitten R^n = n^R aus ?

Keine Ahnung, das ist jedenfalls Unfug.

Zitat:

Original von Mathenoobika
Darf ich den Rest einfach weglassen? also R^n geschnitten R^n ?

Warum sollte man das dürfen? Man kann doch nicht einfach alles wegfallen lassen, was einem gerade nicht so gut in den Kram passt.

Wie gesagt, ich kann deinen Gedankengängen nicht so ganz folgen. Oder nimmst du nun den R^n als Unterraum des C^n an? Falls das der Fall ist, liegt der Fehler darin, dass das, was du als <R^n,R^n> beschreibst, ganz sicher nicht der C^n ist. Das ist doch was ganz anderes als das karthesische Produkt R^n x R^n. Du erhälst so zwar eine Gleichung, die richtig ist (denn n=n+n-n stimmt ja), die aber rein gar nichts über die Dimension des C^n aussagt.

02.11.2011, 19:48

Mathenoobika

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Hmm Mathematica 8 irrt sich sonst eigentlich nicht so sehr, vielleicht ein Einstellungsfehler.

Stimmt ich habe den R^n als Unterraum des C^n angenommen. Was ist daran denn genau falsch?

Aber gut, dass ist immerhin schonmal einer der Fehler in meinem Gedankengang.

Ich will eigentlich nur zeigen, das die Dimension über R von C^n die dim(R^2n) = 2n ist.

Vielen Danke für all die Hilfe hier.

Gruß

Mathenoobika

02.11.2011, 20:02

Mulder

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Zitat:

Original von Mathenoobika
Stimmt ich habe den R^n als Unterraum des C^n angenommen. Was ist daran denn genau falsch?

Falsch ist daran gar nichts, das kam jetzt vielleicht falsch rüber. Es hilft hier nur nicht weiter in Hinsicht auf die Dimensionsformel. Denn <R^n,R^n> ist ja das Erzeugnis (der Spann) dieser beiden Unterräume. Die sind beide gleich, als ist das das Erzeugnis des R^n. Und nach wie vor ist der zugrunde liegende skalare Körper ja R. Das heißt, du betrachtest einen reellen Vektorraum über R. Wie soll man damit etwas komplexes erzeugen können? Das heißt, alles, was du mit deiner Dimensionsformel betrachtet hast, ist der Unterraum R^n. Das liefert keinerlei Infos über den C^n. Augenzwinkern

Den Unterschied musst du dir nochmal klar machen, das ist entscheidend hier.

Vielleicht verwirrt dich auch die Schreibweise der Formel. Ich arbeite immer mit

dim(U1+U2)=dim(U1)+dim(U2)-dim(U1 geschnitten U2). So wird vielleicht klarer, was der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung genau bezeichnet.

Zitat:

Original von MathenoobikaIch will eigentlich nur zeigen, das die Dimension über R von C^n die dim(R^2n) = 2n ist.

Dazu hatte ich oben ja Ansätze gegeben.

Zitat:

Original von Mathenoobika
Hmm Mathematica 8 irrt sich sonst eigentlich nicht so sehr, vielleicht ein Einstellungsfehler.

Davon ist auszugehen, ja.

02.11.2011, 20:26

Mathenoobika

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Also, ich versuche es dann mal mit der Annahme es handelt sich um den Raum

$\begin{eqnarray*} \mathbb C^{2} = \left\{ \begin{pmatrix} a_1 +b_1 *i \\ a_2 +b_2 *i \end{pmatrix} | a_i , b_i \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Aber bereits hier tue ich mich schwer eine geeignete Basis zu finden.

Eine Basis für

$\begin{eqnarray*} \mathbb C = \left\{1+0*i,0+1*i\right\} =\left\{1,i\right\} \end{eqnarray*}$ , aber bereits bei C^2 komme ich da vom Verständnis nicht ganz weiter....

02.11.2011, 20:30

Mulder

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Zitat:

Original von Mathenoobika
Eine Basis für

$\begin{eqnarray*} \mathbb C = \left\{1+0*i,0+1*i\right\} =\left\{1,i\right\} \end{eqnarray*}$ ,

Genau, jetzt ist es zum C^2 doch nur ein ein ganz kleiner Schritt.

Eine Basis für den R-Vektorraum R wäre einfach {1}, einverstanden? Und im R^2 würdest du doch als Standardbasis {(1,0),(0,1)} nehmen, oder?

Nun hast du für den R-Vektorraum C die Basis {1,i} gefunden. Jetzt völlig analog der C^2.

Du brauchst für jede Komponente des Vektors einen Erzeuger für den Realteil und einen für den Imaginärteil.

02.11.2011, 20:50

Mathenoobika

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Genau hier hängt es ja... C^2 .... Basis = {(1,i),(i,1)} ??? Ich verstehe das mit der Basis von C nicht so ganz

02.11.2011, 20:57

Mulder

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Was ist denn daran unklar? Wenn wir nochmal zu C als R-Vektorraum zurückgehen und einen beliebigen Vektor a+ib erzeugen wollen, schaffen wir das mit der Linearkombination a*(1+0i)+b*(0+i) wobei a und b ja aus R sind.

Für eine komplexe Zahl braucht man nunmal zwei Basiselemente (wenn wir C über R betrachten), weil die komplexe Zahl aus einem Realteil und einem Imaginärteil besteht.

Hätten wir den C-Vektoraum C vorliegen, dann wäre wieder einfach {1} eine Basis, weil schon die Skalare ja aus C kommen. Betrachtet man aber C als R-Vektorraum, sind die Skalare reell.

Zitat:

Basis = {(1,i),(i,1)}

Nein. Du weißt doch schon, dass die Dimension 4 sein muss. Mit der Basis, die du hier angegeben hast, könntest du nur Vektoren der Form

$\begin{eqnarray*} \binom{a_1+ib_1}{b_1+ia_1} \end{eqnarray*}$

erzeugen. Das wäre aber nicht der gesamte C^2. Zum Beispiel hättest du keine Chance, den Vektor

$\begin{eqnarray*} \binom{1+2i}{3+4i} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \binom{1}{0} \end{eqnarray*}$

zu erzeugen. Klar, warum?

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