Differenzierbarkeit und Stetigkeit

05.01.2007, 16:09

PG

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Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Hi
Wir haben zwar das Thema (Schul-)analysis zu 97% abgeschlossen, aber ich habe ein Thread gelesen, das mich wieder an eine Frage erinnerte, die ich meinem Lehrer stellte.

Wenn eine Funktion stetig ist, dann ist sie nicht notwendig diffbar
Wenn eine Funktion diffbar ist, dann ist sie auch stetig
Und genau beim markierten Satz habe ich so meine Zweifel.

Mein Lehrer meinte, wenn ich es auf Differenzierbarkeit nachweise, ist es auch nachgewiesen, dass es stetig ist. Damit würden alle zustimmen, aber ich würde das nochmal genauer unter die Lupe nehmen:

Nehmen wir eine einfache Funktion

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x+1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2(x)=x-1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie man im LaTeX und auf dem Plotter eine abschnittsweise definierte Funktion ausdrückt, aber betrachten wir diese als solche.
Nun überprüfen wir es an der Stelle 0
Wenn wir auf Diffbarkeit überprüfen, dann ist sie differenzierbar, denn sowohl rechtsseitiger als auch linksseitiger Grenzwert sind 1. Aber jetzt müsste es auch stetig sein, was hier nicht der Fall ist!

Wie ist das zu erklären?

05.01.2007, 16:17

Musti

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RE: Differenzierbarkeit und Stetigkeit
Ich weiß garnicht was du hast!

Edit: Alles klar du bearbeitest! Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.01.2007, 16:20

PG

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siehe edit!

05.01.2007, 16:23

mYthos

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Hi,

Die Stetigkeit bzw. die Diffbarkeit bezieht sich - wie du weisst - immer nur auf eine bestimmte Stelle des Definitionsintervalls, hier auf x = 0.

EDIT:
Hier nicht relevante Passagen gelöscht; mY+

mY+

EDIT:
Ahhh, klar, zu schnell geschossen, die Angaben haben sich ja geändert, und ausserdem habe ich die Frage mißverstanden, sorry.

05.01.2007, 16:29

sqrt(2)

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RE: Differenzierbarkeit und Stetigkeit

Zitat:

Original von PG
Wenn wir auf Diffbarkeit überprüfen, dann ist sie differenzierbar, denn sowohl rechtsseitiger als auch linksseitiger Grenzwert sind 1.

Nein, das ist hier nicht der Fall, auch wenn es vielleicht so aussieht. Es ist also f(x)=-1. Versuchen wir also, den Differentialquotienten von rechts zu bilden:

$\begin{eqnarray*} \lim_{h\sea 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{1-(-1)}{\lim_{h\sea0} h}=\infty \end{eqnarray*}$

Die Funktion ist bei 0 also nicht differenzierbar.

05.01.2007, 16:35

mYthos

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Geometrisch ist auch gut zu erkennen, dass es an der Stelle x = 0 keine einheitliche "Tangente" an den Graphen gibt, wiewohl deren Steigung 1 zu sein scheint.

mY+

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05.01.2007, 17:15

PG

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Gut, mythos, dass du die Geometrie erwähnst,denn dadurch entstand die Fragte. Geometrisch ist das zu erkennen, aber rechnerisch versteh ich das nicht.

Definition: -gleiche Steigung an der gleichen Stelle in ihren Definitionsbereich

So versteh ich die Differenzierbarkeit.
Also bilde ich die erste Ableitung von beiden Teilfunktionen und als Steigung bekomm ich bei beiden 1 raus.

ich zeig mal wie ich auf eins komme Augenzwinkern

Augenzwinkern

(vielleicht kannst du es mir dann besser erklären):
rechts
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{(0+h)-1-(0-1)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1 \end{eqnarray*}$

links
$\begin{eqnarray*} \lim_{h\to 0}\frac{(0+h)+1-(0+1)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1 \end{eqnarray*}$

Das müsste nach Definitions heißen, dass es auch stetig ist, aber geometrisch betrachtet ist es nicht stetig.

Das Problem beim ganzen ist, dass ich der Meinung bin, dass man auch auf Stetigkeit überprüfen muss. Denn sie ist ja nicht stetig und damit auch nicht differenzierbar. Überprüf ich nur auf DIffbarkeit, so kann es vorkommen, dass es zwei gleiche Grenzwerte besitzt und das zur Verwirrung beitragen kann und man schlussfolgert, dass es dann auch stetig sein muss, wobei es nicht so ist.

Manche sagen, dass man eigentlich nur auf Differenzierbarkeit überprüfen kann und dann hat man sich die halbe Arbeit gespart, aber in diesem Beispiel sieht man, dass man auch die auf die Stetigkeit oft überprüfen muss.

Warum kommt die Aussage, dass es genüge, nur auf Differenzierbarkeit zu überprüfen? Das stimmt doch nicht, wie man hier sieht

05.01.2007, 17:54

mYthos

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Rechts ist alles klar (der rechte Teil der Funktion ist an der Stelle 0 also diffbar UND stetig), links kannst du jedoch nicht so vorgehen, denn dort ist keine Aussage über f(0) zu treffen, weil x = 0 überhaupt nicht im linken Def. Bereich liegt.

Also kannst du links nicht x = 0 setzen, und daher existiert auch kein Diffquotient der "Linksfunktion" an dieser Stelle.

mY+

05.01.2007, 19:49

PG

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Das habe ich auch gedacht, aber dann könnte ich doch auch sagen

Bsp:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$
abschnittweise definieren:

$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\geq0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_2(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$

Ich habe f(x) abschnittsweise definiert und ich kann ja nur für eine teilfunktion ein Gleichheitszeichen setzen. Es ist differenzierbar und stetig an der stelle null. So haben wir es gelernt.
Bei dem Fal obenl weiß ich nicht, wie ich das machen soll

05.01.2007, 22:29

Leopold

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Im Anhang habe ich eine Euklid-Datei für dich.

06.01.2007, 00:31

PG

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Runterladen und entpacken kein Problem
Aber mit welcher Software kann ich das lesen? Hast du eine Page?

06.01.2007, 00:38

mYthos

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www.dynageo.de
is aber Shareware, auf Dauer ist eine Lizenz notwendig.

(sh. bitte pn)

Leopold hat in diesem interaktiven Sheet sehr schön gezeigt, dass die Steigung im Punkt bei x = 0 indefinit ist, rechts ist sie 1 und links - das ist das Interessante- alle möglichen Werte annimmt. Toll!

mY+

06.01.2007, 03:21

Mathespezialschüler

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Wie wäre es mit einem Screenshot oder Ähnlichem für diejenigen, die nicht die 20 € oder wie viel das auch immer waren, bezahlen möchten? Würde mich auch interessieren! Danke.

Gruß MSS

06.01.2007, 14:00

PG

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ok ich kann es noch immer nicht sehen, aber das PRogramm scheint interessant zu sein.

Ich habe mir 10 mal richtig Gedanken über diese beiden Sätze gemacht und der zweite Satz stimmt auf.

Nur bei diesem Beispiel versteh ich ihn noch immer nicht. WEnn ich das habe, dann ist es endlich geregelt.

Kann mir das jemand bitte grafisch zeigen?
edit: also hier im matheboard

06.01.2007, 15:14

mYthos

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Da dies ein dynamisches Sheet ist, also wo man durch Ziehen der x-Werte den Verlauf der Steigung erkennen kann, muss man mehrere Screenshots betrachten.

mY+

06.01.2007, 16:08

PG

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Achso... Sehr gut dargestellt, Leopold- mein Kompliment

Da ja der x- Wert immer kleiner wird, ist es unendlich- richtig?

Aber auf sowas würde man doch nur kommen, wenn man auf Stetigkeit prüft, denn wenn die Teilfunktion links auf -1 nach unten versetzt wäre, dann würde die `Funktion differenzierbar und stetig sein.
Das sind jetzt einfache Funktionen, aber bei schweren müsste man da nicht auch auf Stetigkeit prüfen? Um bei diesen Beispiel zu bleiben: Ich würde von beiden Seiten Differentialquotient bilden und dann 1 erhalten, obwohl es (in der Realität) links unendlich ist. Wenn ich auf Stetigkeit aber geprüft habe, weiß ich, ob es differenzierbar oder nicht differenzierbar ist- ob gleiche Steigung oder unendlich oder was ganz anderes.
Versteht ihr was ich meine?
Wie geht ihr bei solchen Aufgaben vor?

06.01.2007, 16:25

sqrt(2)

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Zitat:

Original von PG
Ich würde von beiden Seiten Differentialquotient bilden und dann 1 erhalten,

Dann hast du was falsch gemacht. Es kommt rechnerisch einfach nicht 1 heraus.

Zitat:

Original von PG
obwohl es (in der Realität) links unendlich ist.

Was ist die "Realität"?

Zitat:

Original von PG
Wenn ich auf Stetigkeit aber geprüft habe, weiß ich, ob es differenzierbar oder nicht differenzierbar ist

Nein. Du weißt lediglich manchmal, dass die Funktion nicht differenzierbar ist.

Zitat:

Original von PG
ob gleiche Steigung oder unendlich oder was ganz anderes.

Die Steigung ist nicht gleich. Von links ist sie unendlich, von rechts ist sie 1.

06.01.2007, 16:29

Mathespezialschüler

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Wenn du den Differentialquotienten von links betrachtet, kommt weder 1 noch unendlich raus, sondern minus unendlich!
Das mit der Stetigkeit ist mMn bei dir einfach ein Denkfehler. Wenn du beim Differentialquotienten von links und von rechts 1 rausbekämest, dann wäre die Funktion auch stetig in $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ . Aber man muss nicht die Stetigkeit überprüfen, bevor man die Differenzierbarkeit überprüft. Wenn du rausbekommst, dass die Steigung dort 1 ist und die Funktion unstetig ist, dann hast du einfach etwas falsch gemacht. Eine Funktion, die in einem Punkt unstetig ist, kann dort nicht differenzierbar sein, also kann der beidseitige Differentialquotient nicht existieren.
Für den linksseitigen Differentialquotienten gilt doch hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\nearrow 0}\frac{x+1-(-1)}{x}=\lim_{x\nearrow 0}\frac{x+2}{x}=-\infty \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

06.01.2007, 17:00

PG

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Endlich sagt mir einer die konkrete Antwort und stellt auch fest, dass ich einen Denkfehler habe! Hoffentlich wird es jetzt endgültig gelöst(dieses kleine Problem)

MSS müsste es nach deiner Rechnung auch nicht +unendlich sein?
denn:
$\begin{eqnarray*} 1+\lim_{x\to 0}\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

Aber das ist nicht so wichtig wie Frage danach,wie du darauf gekommen bist?
Die Teilfunktion lautet
$\begin{eqnarray*} f_1(x)=x+1 \end{eqnarray*}$
Einsetzen
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac{x+1-1}{x-0}=1 \end{eqnarray*}$

Wie bist du nur auf deinen Term gekommen?

Edit: Achso... Mythos hatte am Anfang gesagt wegen den Definitionsbereich.... oh jetzt habe ich es endlich!! Danke AN ALLE!! Der Definitionsbereich war mein Denkfehler!

edit2: Müsste es nicht +unendlich sein? Wie kommst du auf -unendlich? Tippfehler?

08.01.2007, 20:41

Mathespezialschüler

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Die Funktion, die du da oben siehst, ist folgende:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\begin{cases} x+1 & \text{für }x<0 \\ x-1 & \text{für }x\geq 0\end{cases} \end{eqnarray*}$ .

Das heißt vor allem, dass $\begin{eqnarray*} f(0)=0-1=-1 \end{eqnarray*}$ ist. Damit geht es eben nicht um

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 0}\frac{x+1-1}{x-0} \end{eqnarray*}$ ,

sondern um

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\nearrow 0}\frac{x+1-(-1)}{x-0} \end{eqnarray*}$ .

Und beachte, dass wir den linksseitigen Grenzwert betrachten, d.h. dass $\begin{eqnarray*} x\to 0 \end{eqnarray*}$ geht, aber dabei $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ sein soll. Weil $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ ist, ist der Bruch

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

immer negativ. Da der Bruch betragsmäßig beliebig groß wird, geht er insgesamt gegen $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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