Potenzen in Gruppen g^n

Neue Frage »

02.11.2011, 22:36	arcussinus	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen in Gruppen g^n Meine Frage: Sei (G,,e) eine Gruppe. Zu einem g element G und einer natürlichen Zahl n element N definiert man: $\begin{eqnarray} g^{n}=ggggg...g \end{eqnarray}$ (n-mal) Zeige: Angenommenm G enthält nur endlich viele Elmente, dann gibt es zu jedem g elemnt G ein n element N, sodass $\begin{eqnarray} g^{n}=e \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Also ich habe von meinem Komilitonnen einen Tipp erhalten, den ich allerdings nicht verstanden habe. Man könne es mit einem Widerspruchsbeweis lösen. er meinte: g1g1=g2, wobei g2=g1 sein muss. g1g1*g1=g3, g3 ungleich g2 (warum, weiß ich nicht). diesen faden könnte man weiter spinnen bis g^k=gk wobei k die Anzahl der endlichen Menge ist. würde man g^(k+1) suchen, so würde das die Menge G sprengen. dort wäre der Widerspruch zu finden. Ich bin über jede Hilfe dankbar.
02.11.2011, 22:46	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Was wäre denn, wenn du ein Element g hast was von unendlicher Ordnung ist (dh $\begin{eqnarray} g^n \neq 1 \end{eqnarray}$ für alle natürlichen Zahlen n? Gruß
02.11.2011, 22:56	arcussinus	Auf diesen Beitrag antworten »
dan wäre dieses element nicht mehr in dieser gruppe
02.11.2011, 22:57	arcussinus	Auf diesen Beitrag antworten »
bzw nicht in G
02.11.2011, 22:59	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eine endliche Gruppe hat endlich viele Elemente. Weißt du was mit dem "Erzeugnis von g" oder "Die zyklische Gruppe <g>" anzufangen?
02.11.2011, 23:00	arcussinus	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich hab davon gehört, wäre aber über eine kleine erläuterung sehr dankbar
Anzeige

02.11.2011, 23:04	arcussinus	Auf diesen Beitrag antworten »
ok...ich habe in meine aufzeichnungen nachgeschaut...die wortkombination zyklische gruppe findet keine erwähnung
02.11.2011, 23:06	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also das Erzeugnis von g ist $\begin{eqnarray} <g> := \{g^0 = e, g^1, g^2, ..., g^n\} \end{eqnarray}$ für ein Element g aus G. Nach Gruppenaxiomen ist das eine Teilmenge/Untergruppe von der Gruppe G. Wie in deiner Anfangsidee angedeutet, ist es tatsächlich so, dass alle diese Elemente verschieden sind. Du siehst schnell, wenn du g^n = e hast, ist $\begin{eqnarray} g^{n+1} = g^1 \end{eqnarray}$ , also wiederholt sich ab n wieder alles. Hat g also die endliche Ordnung n, so hat <g> die Ordnung n. Nimm dir nun ein Element h aus G, was unendliche Ordnung hat und schau dir <h> an. Du wirst sehen, wie in deiner Anfangsidee angedeutet, dass das garnicht sein kann. Gruß
02.11.2011, 23:16	arcussinus	Auf diesen Beitrag antworten »
ist dieses erzeugnis also eine menge?
02.11.2011, 23:20	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Steht ja da oben Mengenklammern deuten meistens auf eine Menge hin. Der Wiederspruch wird sein, dass du eine unendlich große Menge in einer endlichen hast. Geht irgendwie nicht oder? Formuliere das nur richtig aus. Gruß
02.11.2011, 23:20	arcussinus	Auf diesen Beitrag antworten »
kannst du mir das an einem festen anschaulichem bespiel zeigen? ich will mir sicher sein, dass ich es wirklich verstanden habe.
02.11.2011, 23:24	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm das ist schwer mit einem Beispiel zu zeigen glaube ich. Kern der Aussage ist: 1) G endlich,also hat G nur endlich viele Elemente 2) Ist g in G von unendlicher Ordnung, so ist <g> eine Teilmenge von unendlicher Größe. 3) Fertig da Wiederspruch.
02.11.2011, 23:27	arcussinus	Auf diesen Beitrag antworten »
boargh....es ist so verwirrend... ok: ich evrsuche es mal auszuformulieren und du könntest schreiben, ob es so passt. Also: G sei eine endliche Menge. Es gibt i,j element N und j>i für die gilt: x^j=x^i, da G endlich ist. <-> x^jx^-j=x^ix^-j <-> e=x^i*x^-j ich würde jetzt einen neuen Exponenten einführen, also zusammenfassen: i-j aber ich weiß nicht, inwieweit das legitim ist.
02.11.2011, 23:49	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht nach einem Beweis dafür aus, dass die Elemente von $\begin{eqnarray} g^0 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} g^{n-1} \end{eqnarray}$ wirklich verschieden sind, wenn $\begin{eqnarray} g^n = e \end{eqnarray}$ (n die kleinste natürliche Zahl für das die Potenz zum ersten mal zu e wird). Machen wir das mal damit du es auch in deiner Übung nutzen kannst. Angenommen es existieren j<i < n ( $\begin{eqnarray} g^n \end{eqnarray}$ ist ja 1) mit $\begin{eqnarray} g^i = g^j \end{eqnarray}$ . Das lässt sich umformen zu $\begin{eqnarray} g^{i-j} = e = g^n \end{eqnarray}$ (letzteres nach Voraussetzung) . Dann folgt: n teilt (i-j), was aber nicht für i UNGLEICH j funktioniert, da i,j < n und somit i-j < n. Es geht nur für i=j und damit ist alles gezeigt. Naja zurück zur Aufgabe: Aus obigem Beweis folgt, dass eine Gruppe erzeugt von einem Element g, was keine Zahl n besitz mit $\begin{eqnarray} g^n = e \end{eqnarray}$ , stets unendlich groß ist. Andererseits ist die von von g erzeugte Gruppe eine Untergruppe von der Gruppe G (in der g ja ein Element ist). Nach Gruppenaxiomen ist ja mit g auch gg , gg*g... in G, Gibt es nun unendlich viele Potenzen von g, hat G auch mind unendlich viele Elemente bzw hat unendlich viele Elemente, WIDERSPRUCH zur Aufgabenstellung. Fertig. Gruß
03.11.2011, 00:03	arcussinus	Auf diesen Beitrag antworten »
und somit hast di es sowohl in die eine, als auch in die andere richtung bewiesen! Klasse! nun eine allgemeine frage zu gruppen, ringen und körpern. du scheinst dich damit gut auszukennen. ich habe leider den unterschied zwischen diesen mathematischen objekten nicht verstanden...ich glaube auch, dass ich auch noch nicht ganz verinnerlicht habe, was eine gruppe ist, weswegen ich mit dem attribut "endlich" meine schwierigkeiten hatte. ist eine gruppe einfach nur eine ansammlung von mengen, die einer beliebigen verknüpfung "" unterliegen. "" muss ja nicht unbedingt als multiplikationszeichen aufgefasst werden.
03.11.2011, 00:13	arcussinus	Auf diesen Beitrag antworten »
ich lege mich jetzt schlafen...ich würde mcih aber freuen, wenn wir morgen diese diskussion fortführen könnten. Bin dir sehr dankbar für deine Hilfe! Es machte mir diese Problematik verständlicher. Grüße
03.11.2011, 17:51	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Ringe und Körper (Vektorräume damit auch) bauen auf Gruppen auf. Beispiele für Gruppen sind die ganzen Zahlen Z bezüglich der Addition, die rationalen Zahlen Q bezüglich bezüglich + und wenn man die 0 weglässt bezüglich . R und C sind sogar Körper (bezüglich + abelsche Gruppen und ohne die 0 bezüglich auch). Gruppen haben halt eine Verknüpfung und Ringe und Körper zwei. Um bei den Gruppen zu bleiben. Eine Gruppe ist nicht nur eine Menge. Es ist eine Menge mit einer bestimmten Struktur, welche von der gegebenen Verknüpfung abhängt. Es gibt unzählige Arten von Verknüpfungen. (Addition, Multiplikation, Verkettung von Funktionen u.s.w.) Gruß

Neue Frage »

Antworten »

Potenzen in Gruppen g^n

Verwandte Themen