Beweis Bijektivität

03.11.2011, 09:19

DerFrager

Beweis Bijektivität

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich möchte beweisen, dass wenn f: A -> B und g: B -> C bijektiv sind, auch $\begin{eqnarray*} f \circ g: A \rightarrow C \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.

Meine Ideen:
Ich weiß ehrlich nicht, wie man hier einen schönen mathematischen Beweis durchführt. Ich habe einfach mal etwas geschrieben, doch bin ich mir nicht sicher, ob das als Beweis gelten kann:

Da f bijektiv ist gilt für jedes $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ , dass ihm genau ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ zugewiesen ist.

Da g bijektiv ist gilt für jedes $\begin{eqnarray*} c \in C \end{eqnarray*}$ , dass ihm genau ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ zugewiesen ist.

Jedes $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ ist also einerseits Teilmenge eines Definitionsbereichs und Teilmenge einer Bildmenge. Da jedes $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ genau einmal zum Funktionswert und genau einmal zum Zielwert wird, ist die Transitivät nachgewiesen, weshalb A -> C ebenfalls bijektiv ist.

Das waren meine Ideen. Kann man das als mathematischen Beweis gelten lassen oder liege ich total falsch?

Danke an alle

03.11.2011, 09:49

zweiundvierzig

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RE: Beweis Bijektivität
Du hast womöglich die richtige Vorstellung, solltest den Beweis aber anders aufschreiben. Zeige, dass $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ injektiv und surjektiv ist. Was besagen diese beiden Eigenschaften in unserem Fall? (Definition nachschlagen) Wie kann man ansetzen, sie zu beweisen?

Ansonsten habe ich noch ein paar Anmerkungen zu den Formulierungen.

Zitat:

Original von DerFrager
Da f bijektiv ist gilt für jedes $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ , dass ihm genau ein $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ zugewiesen ist.

Was hier "zugewiesen" bedeutet, ist unklar.

Zitat:

Original von DerFrager
Jedes $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ ist also einerseits Teilmenge eines Definitionsbereichs [...]

Nein, $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist ein Element von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ , keine Teilmenge! Außerdem ist die Angabe, Element "eines" Definitionsbereichs zu sein, nichtssagend.

03.11.2011, 23:10

DerFrager

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Hallo,

danke für deine Hinweise. Sie helfen mir sehr. Ich versuche also jetzt zu zeigen, dass A -> C sowohl surjektiv als auch injektiv und damit bijektiv ist.

A -> B ist surjektiv. Jedem Element der Zielmenge ist also mindestens ein Element des Definitionsbereichs zugeordnet. Weiterhin ist A -> B injektiv, sodass auf ein Element der Zielmenge höchstens ein Element des Definitionsbereichs abgebildet wird. Aus beiden Eigenschaften ergibt sich, dass jedes Element der Zielmenge genau eine Abbildung eines Elements des Definitionsbereichs ist.

B -> C ist surjektiv. Jedem Element der Zielmenge ist also mindestens ein Element des Definitionsbereichs zugeordnet. Weiterhin ist B -> C injektiv, sodass auf ein Element der Zielmenge höchstens ein Element des Definitionsbereichs abgebildet wird. Aus beiden Eigenschaften ergibt sich, dass jedes Element der Zielmenge genau eine Abbildung eines Elements des Definitionsbereichs ist.

Da sowohl A -> B als auch B -> C surjektiv ist, muss wegen der Transitivität auch A -> C surjektiv sein. Das gleiche gilt für die Injektivität. A -> B ist also surjektiv und injektiv und damit bijektiv.

Ist das jetzt ein Beweis? Ich habe nicht den Eindruck, denn eigentlich schreibe ich ja nur die Definitionen runter und die dazugehörigen Gedanken. Aber vielleicht stimmt es ja.

Danke für eure Hilfe.

04.11.2011, 08:50

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von DerFrager
Da sowohl A -> B als auch B -> C surjektiv ist, muss wegen der Transitivität auch A -> C surjektiv sein. Das gleiche gilt für die Injektivität. A -> B ist also surjektiv und injektiv und damit bijektiv.

Du kannst hier nicht mit "Transitivität" argumentieren, weil Du genau das beweisen sollst.

Wir fangen vielleicht einfach mal damit an zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ surjektiv ist. Sei dazu $\begin{eqnarray*} c \in C \end{eqnarray*}$ . Was finden wir in Abhängigkeit dieses Elements?

04.11.2011, 09:51

derFrager

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mmh ok.

Also sei c € C. Da B -> C surjektiv ist, ist jedes c mindestens ein Abbildungswert eines b € B. Da auch A -> B surjektiv ist, ist auch jedes b € B ein Abbildungswert eines a € A. Deswegen muss auch A -> C surjektiv ist.

Ich weiß nicht, wie ich jetzt tatsächlich die Transitivität zeigen soll. Die ist für mich so trivial und einsichtig, dass es schon wieder schwierig ist, sie zu beweisen.

Stimmts bis jetzt denn? smile

05.11.2011, 10:48

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von derFrager
Also sei c € C. Da B -> C surjektiv ist, ist jedes c mindestens ein Abbildungswert eines b € B. Da auch A -> B surjektiv ist, ist auch jedes b € B ein Abbildungswert eines a € A. Deswegen muss auch A -> C surjektiv ist.

Ja, das stimmt, aber der Aufschrieb ist noch verbesserungswürdig. Setze so an: für jedes $\begin{eqnarray*} c \in C \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c = f(b) \end{eqnarray*}$ usw.

Zitat:

Original von derFrager
Ich weiß nicht, wie ich jetzt tatsächlich die Transitivität zeigen soll. Die ist für mich so trivial und einsichtig, dass es schon wieder schwierig ist, sie zu beweisen.

Naja, was jetzt noch fehlt, ist die Injektivität der Verkettung. Orientiere Dich in der Form dabei an dem Ansatz, den ich eben geliefert habe.

Den Begriff "Transitvität" halte ich in dem Zusammenhang übrigens für problematisch.

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