Gleichung

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04.11.2011, 18:38	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung Meine Frage: Hallo zusammen ! Ich stehe vor folgendem Problem ! Bestimmen Sie alle Lösungen folgender Gleichung und führen Sie die Probe durch. sin 2phi - 1,364 cos phi = 0 also phi = dieses phi Zeichen halt :P Meine Ideen: Ich weiß leider garnicht wie das geht ... ist phi in diesem fall ein Zahlenwert, oder nicht ?! wäre für Hilfe echt dankbar !
04.11.2011, 19:03	Rupi88	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung also ich denke in der schule dürft ihr noch taschenrechner benutzen?einfach in den taschenrechner ingeben=) Pi und Cos von Pi(3,14) sind zahlenwerte.
04.11.2011, 19:15	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Servus! @Rupi88: Hast du dich villeicht bei der Angabe verlesen? Deine Antwort scheint mir etwas wirr . Ich möchte dir schrittweise zur Lösung verhelfen. Wie kannst du sin(2phi) noch anschreiben? Ihr habt da bestimmt die eine oder andere Formel kennengelernt
04.11.2011, 19:18	Rupi88	Auf diesen Beitrag antworten »
hey , ja sry nur ich kann mich entsinnen , dass ich das IMMER in den taschenrechner eingegeben habe.der lösungsweg fehlt bei vielen taschenrechnern natürlich.
04.11.2011, 19:20	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Servus! Kein Problem. Gott sei Dank sind es die Fehler aus denen wir lernen . Es scheitert schon daran, dass du Pi anstatt Phi gelesen hast. Ich denke er meint den griechischen Buchstaben, und es geht um eine goniometrische Gleichung (Winkelmessgleichung) die gelöst werden soll.
04.11.2011, 20:52	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich weiß nicht, wie ich sin phi anders schreiben kann
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04.11.2011, 21:02	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Kein Problem! Dafür bin ich ja da Das entscheidende ist, das hier $\begin{eqnarray} sin(2\phi) \end{eqnarray}$ steht. Da kannst du die sogenannte Doppelwinkelformel anwenden. Diese lautet: $\begin{eqnarray} sin(2\phi) = 2sin(\phi)cos(\phi) \end{eqnarray}$ . Warum das so ist sollte dir klar sein, falls du die Summensätze kennst. Ich gehe mal davon aus, das ihr diese Formel gelernt habt. Wenn du die Gleichung dann ein bisschen umschreibst steht da $\begin{eqnarray} 2sin(\phi)cos(\phi)-1,364.cos(\phi)=0 \end{eqnarray}$ . Klar so weit? Hast du vielleicht selbst schon eine Ahnung wies weiter geht? (Kann man etwas herausheben? Danach: ab = 0, dann ist a = 0 und der b = 0)
04.11.2011, 21:12	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Jap, soweit ist es klar .. Vielleicht wäre es von Vorteil den Sinus irgendwie in einen Cosinus umzuformen ? :/
04.11.2011, 21:15	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wäre ansich möglich, ist aber hier nicht sinnvoll. Schau dir mal die letzte Gleichung, die ich hingeschrieben habe an. Was könnte man da herausheben?
04.11.2011, 21:21	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm ich weiß es echt nicht ich weiß auch nicht genau, auf was man jetzt genau hinaus will, also ich weiß nicht genau, als was man phi betrachten soll ... betrachtet man es einfach als variable oder als einen Winkel ? irgendwie blick ich da noch nicht ganz durch..
04.11.2011, 21:22	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung kann man es vielleicht in eine quadratische Gleichung umformen ?
04.11.2011, 21:26	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, dann schaun wir uns nochmal genauer an worum es geht. Phi ist beides, eine Variable und ein Winkel. Du sollst herausfinden, für welchen Winkel diese Gleichung erfüllt ist. Dein Ziel ist also (wie bei jeder Gleichung (egal ob die Variable ein Winkel ist oder nicht)) zum Ergebnis phi = ... zu kommen. (Es kann natürlich auch mehrere oder keine Lsg. geben). Du möchtest also langfrisitg, das auf einer Seite phi alleine steht (phi = ...). Zu diesem Punkt ist es aber gerade bei goniometrischen Gleichungen ein recht steiniger Weg. Wenn durch dir nochmals $\begin{eqnarray} 2sin(\phi)cos(\phi)-1,364cos(\phi)=0 \end{eqnarray}$ anschaust, erkennst du das beide Teile dieser Differenz den Faktor $\begin{eqnarray} cos(\phi) \end{eqnarray}$ enthalten. Du kannst ihn also herausheben. Klar wie ich das meine? Versuch das mal und zeig mir den Schritt! PS: Keine quadratische Gleichung von NötenSo kompliztiert muss man es sich hier gar nicht machen.
04.11.2011, 21:31	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du mit 'herausheben' ausklammern meinst, kann ich es versuchen :P $\begin{eqnarray} cos\left(2sin phi-1,364 phi\right)=0 \end{eqnarray}$
04.11.2011, 21:34	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das meine ich. Du hast aber einen entscheidenen Fehler gemacht. cos(phi) heißt nicht cos . phi sondern cos von phi!. Das ist ein unzertrennlicher Block. cos allein ist ja schließlich keine Zahl. Was du herausheben kannst ist: cos(phi) Sorry, dass sich das etwas in die Länge zieht, aber hier ist die Erbsenzählerei wirklich nötig, damit alles stimmt.
04.11.2011, 21:37	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst dich doch nicht entschuldigen, ich bin dir doch dankbar, dass du dir die mühe machst also kriegen wir cos (phi) (2 sin (phi) - 1,364) = 0 korrekt ?
04.11.2011, 21:43	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt! Damit haben wir eine Struktur erhalten die beim Lösen von Gleichungen sehr angenehm ist. Nämlich a.b = 0. Damit das Ergebnis 0 wird muss a oder b 0 sein. (Es ist auch möglich, dass beide 0 sind). Klar soweit? Das kennst du vielleicht von einfachen quadratischen Gleichungen der Form x^2 + ax = 0. Wenn du da x heraushebst hast du x.(x + a) = 0. Dann ist entweder x = 0 oder x = -a. Und du brauchst dabei nicht einmal die Lösungsformel Hast du das Beispiel verstanden? Wenn ja, dann ist dir bewusst, warum du die Gleichung so umformen solltest, wie wir es gemacht haben. Ist dir vielleicht schon bewusst, welche Dinge jetzt in unserem Beispiel gleich 0 sein sollten?
04.11.2011, 21:51	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja super, soweit ist es klar also wenn phi 90 ist, ist cos ( phi ) = 0 , somit wäre die Gleichung 0. aber wie man in der klammer auf 0 kommt, weiß ich nicht hundertprozentig... was mal 2 sin ergibt denn 1,364 ?? :P
04.11.2011, 21:57	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, der erste Schritt ist fast perfekt. Damit hast du die erste Lösung gefunden. $\begin{eqnarray} \phi_{1}=90° \end{eqnarray}$ Aber gibt es nicht noch einen zweiten Winkel mit Kosinus 0 ? Schau dir das ggf. am Einheitskreis an! Zum zweiten Schritt: Es stimmt, dass du eine Lösung zu $\begin{eqnarray} 2sin(\phi)=1,364 \end{eqnarray}$ finden musst. Wie gehst du zum Beispiel bei 2x = 4 vor? (--> Genau, dividieren durch 2). Dann steht da x = 2. Hier kannst du das nicht direkt mit deiner Variable machen, da sie noch in der Sinusfunktion "festsitzt". Aber wenn du sin(x) = ... stehen hast, dann könntest du ziemlich sicher auf x kommen (Stichwort Umkehrfunktion).
04.11.2011, 22:02	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
ja klar.... cos von 270 .. okay und für sin bekomme ich ungefähr 43,000.... heraus... ich sehe gerade die Lösung, welche lautet phi1 = pi/2 +- k * 2pi phi21 = 0,75 +- k * 2pi phi 22 = 2,39 +- k *2pi jetzt verstehe ich nur noch Bahnhof :/
04.11.2011, 22:08	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung wirkt zwar noch einschüchternd, aber wird sind schon ganz nah dran (auch wenns nicht so aussieht). Das mit 270° stimmt soweit, das ist phi2. Mit dem was in der Klammer steht machen wir so weiter. $\begin{eqnarray} 2sin(\phi) = 1,364 \\ sin(\phi) = 0,682 \\ \phi = arcsin(0,682) = 43°. \end{eqnarray}$ Das hast du soweit geschafft. Aber auch hier musst du dich fragen, ob es nicht noch einen Winkel, gibt mit sin = 0,682. Die Angaben in der Lösung berücksichtigen zusätzlich noch die Periodizität und sind im Bogenmaß angegebn. Das ist wirklich unser kleinstes Problem, dazu kommen wir noch
04.11.2011, 22:11	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie meinst du das, ob es noch einen Winkel sin = 0,682 gibt ?
04.11.2011, 22:15	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Vorher war cos(phi) = 0, da gab es zwei Winkel, nämlich 90° und 270° für die das gegolten hat. Das ist auch hier so: Stell dir am Einheitskreis einen spitzen Winkel vor und seinen Sinus. Wenn du ihn jetzt an der y-Achse spiegelst entseht ein zweiter Winkel, der den gleichen Sinus hat. Also ist sin(phi) = sin(180-phi). Klar so weit? Das wäre unser phi4.
04.11.2011, 22:17	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
jap klar soweit
04.11.2011, 22:19	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, was ist dann phi4?
04.11.2011, 22:25	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
das wäre dann ja 136,9999 ... ? oder ... ?
04.11.2011, 22:28	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig! Damit hast du alle vier Lösungen gefunden. Wir haben alle Löungen im Gradmaß angegeben. Bist du mit dem Bogenmaß (Radiant statt °) vertraut? So sind hier nämlich alle Lösungen angegeben. Deinen Taschenrechner kann man sicher so umstellen, dass er den Winkel im Bogenaß ausgiebt, wenn du arc sin / arc cos / ... verwendest.
04.11.2011, 22:30	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Bogenmaß müsste dann ja theoretisch (Winkel / pi) * 180 sein, oder ?
04.11.2011, 22:31	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
aber ich verstehe noch nicht so ganz, wie unsere Lösungen jetzt mit denen aus dem übungsblatt übereinstimme ... :/ und wofür steht in den Lösungen zum Beispiel "phi21" ?
04.11.2011, 22:40	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Formel scheint mir nicht ganz richtig zu sein. Wie kommst du darauf? Die einfachste (und ersichtlichste) Formel ist vermutlich: $\begin{eqnarray} \phi = \frac{2\pi}{360} \phi° \end{eqnarray}$ . Zum Beispiel ist 70° im Bogenmaß ~ 1,222 rad. $\begin{eqnarray} 1,222rad \approx \frac{2\pi}{360}70 \end{eqnarray}$ Klar? Dann kannst du ja deine Lösungen direkt mal umrechnen und bist schon ein großes Stück weiter. Es fehlt nur noch die Periodizität (die Summanden die hinten dran hängen).
04.11.2011, 22:46	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
achja, es muss ja sein ( winkel * pi ) / 180 .. mein Fehler also ich erhalte folgende werte phi1 = 1,57 phi2 = 4,71 phi3 = 0,75 phi4 = 2,39
04.11.2011, 22:50	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Super! Erkennst du, dass diese den Werten aus der Lösung gleichen? ( $\begin{eqnarray} \phi_{1}\approx1,57\approx\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ) Weist du zufällig schon etwas über die Periodizität der Sin-/Cos-/Tan-Funktionen?
04.11.2011, 23:01	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja stimmt naja die Periodizität gibt ja eigentlich nur an, wie oft ein Maximum/minimum erreicht wird oder?
04.11.2011, 23:13	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, ja! Wenn nun zum Beispiel beim Sinus oder Cosinus alle 360°= 2 Pi ein Maximum erreicht, wird, dann wird auch alle 360° = 2Pi nochmal jeder beliebige Sinuswert erreicht. Das heißt z.B. dass du bei sin(90°) = 0 ist, 360° später ist sin(450°) erneut = 0. Das gleiche gilt bei Cosinus. Also gibt es zu dieser Gleichung eigentlich unendlich viele Lösungen. Wir können z.B. an phi1 ein beliebiges ganzzahliges Vielfaches von 360° bzw. 2pi anhängen. Mann nennt dies (phi1) dann übrigens eine Lösungsschar. Alles klar?
04.11.2011, 23:14	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar ! Vielen Dank mein Freund, du hast mir echt super geholfen
04.11.2011, 23:15	qed	Auf diesen Beitrag antworten »
Freut mich! Gute Nacht!
04.11.2011, 23:15	Matze1991	Auf diesen Beitrag antworten »
Good night

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