Schwache Gesetz großer Zahlen

05.11.2011, 08:40

ChronoTrigger

Schwache Gesetz großer Zahlen

Hallo,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:

Zitat:

Es seien $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2 \beta - \alpha <1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine Folge stochastisch unabhängiger Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, F,P) \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} P(X_n=0)=1-\frac{1}{n^\alpha} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(X_n=n^\beta)=\frac{1}{n^\alpha} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass für die Folge $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ das Schwache Gesetz der großen Zahlen erfüllt ist.

Damit ich zeigen kann, dass für die Folge $\begin{eqnarray*} (X_n) \end{eqnarray*}$ das Schwache Gesetz der großen Zahlen erfüllt ist, muss ich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(|\frac1n \sum\limits_{i=1}^n (X_i-E(X_i)) | > \epsilon)=0 \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun ist mir aber noch nicht ganz klar, wie ich das machen kann.

Zunächst würde ich mal den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(X_n) \end{eqnarray*}$ bestimmen, allerdings komme ich dabei noch nicht allzu weit, weil mir noch nicht klar ist, über was ich hier aufsummieren muss (da wir noch keine stetigen Verteilungen hatten, müsste sich alles noch im diskreten fall abspielen)

Kann mir jemand weiterhelfen?

danke schonmal im voraus.

05.11.2011, 09:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
da wir noch keine stetigen Verteilungen hatten, müsste sich alles noch im diskreten fall abspielen

Was soll der Verweis auf "stetige Verteilungen"? Dein $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ ist doch nur diskret verteilt, konkret gesagt zweipunktverteilt auf $\begin{eqnarray*} \{0,n^{\alpha}\} \end{eqnarray*}$ mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten!

05.11.2011, 10:03

ChronoTrigger

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ah, da hatte ich etwas falsch verstanden, danke.

Damit erhalte ich für den Erwartungswert:

$\begin{eqnarray*} E(X_n)=(1-\frac{1}{n^\alpha} ) \cdot 0 + \frac{1}{n^\alpha} \cdot n^{\beta} = n^{\beta - \alpha} \end{eqnarray*}$

Das heißt also, ich muss $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(|\frac1n \sum\limits_{k=1}^n (X_k-k^{\beta-\alpha}) | > \epsilon)=0 \forall \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ zeigen.

Mir ist jetzt noch nicht so ganz klar, wie ich das machen kann.

Aus der Voraussetzung weiß ich sonst nur noch, dass $\begin{eqnarray*} 2 \beta - \alpha < 1 \Leftrightarrow \beta < \frac{1+\alpha}{2} \end{eqnarray*}$ gilt.

edit: nach Tschebyschev gilt: $\begin{eqnarray*} P(|X_n-E(X_n)|\geq \epsilon) \leq \frac{Var(X_n)}{\epsilon^2} \end{eqnarray*}$

Die Varianz ist hier $\begin{eqnarray*} Var(X_n)=0 \end{eqnarray*}$ , d.h.

$\begin{eqnarray*} P(|X_n-E(X_n)|\geq \epsilon)=0 \end{eqnarray*}$

vielleicht hilft mir das etwas weiter

05.11.2011, 10:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
Aus der Voraussetzung weiß ich sonst nur noch, dass $\begin{eqnarray*} 2 \beta - \alpha < 1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Ein deutlicher Hinweis darauf, mal die Varianzen der $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ näher anzuschauen - da gibt es so gewisse hinreichende Kriterien für das schwache GgZ, bei denen die eine Rolle spielen...

EDIT: Die Varianz von $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ ist NICHT gleich Null, rechne nochmal nach! unglücklich

05.11.2011, 11:15

ChronoTrigger

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danke.

$\begin{eqnarray*} Var(X_n)=E((X_n-EX_n)^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =(1-\frac{1}{n^\alpha}) \cdot \frac{n^{2 \beta}}{n^{2\alpha}}+\frac{1}{n^\alpha}(n^\beta-\frac{n^\beta}{n^\alpha})^2 \end{eqnarray*}$

Nach einer etwas längeren Rechnung bin ich jetzt auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} n^{2 \beta - \alpha} - n^{2 \beta - 2 \alpha} \end{eqnarray*}$ gekommen.

Ist das korrekt, oder habe ich mich dabei verrechnet?

Ist das hinreichende Kriterium, das du meinst, folgendes?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n Var(X_k)=0 \implies \text{schwache GGZ ist erfüllt} \end{eqnarray*}$

05.11.2011, 11:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von ChronoTrigger
Ist das hinreichende Kriterium, das du meinst, folgendes?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n Var(X_k)=0 \implies \text{schwache GGZ ist erfüllt} \end{eqnarray*}$

Genau.

Zitat:

Original von ChronoTrigger
Nach einer etwas längeren Rechnung bin ich jetzt auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} n^{2 \beta - \alpha} - n^{2 \beta - 2 \alpha} \end{eqnarray*}$ gekommen.

So lang ist die Rechnung nicht, wenn man nicht gerade den steinigsten Weg wählt:

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X_n) = E(X_n^2)-(E(X_n))^2 = \frac{1}{n^{\alpha}}\cdot \left( n^{\beta} \right)^2 - \left( n^{\beta-\alpha} \right)^2 = n^{2\beta-\alpha} \left( 1-n^{-\alpha} \right) \end{eqnarray*}$

05.11.2011, 11:55

ChronoTrigger

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stimmt, mit dem Verschiebungssatz geht das wirklich deutlich kürzer.

Dann versuch ich mal, das Kriterium anzuwenden:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n Var(X_k) = \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n k^{2 \beta - \alpha}(1-k^{-\alpha}) < \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n k(1-k^{-\alpha}) = \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n k - \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n k^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{n^2} \frac{n(n+1)}{2}- \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n k^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \frac12 + \frac{1}{2n} - \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n k^{1-\alpha} \end{eqnarray*}$

bei der hinteren Summe stecke ich allerdings momentan fest.

05.11.2011, 12:17

HAL 9000

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Diese Abschätzung dürfte bereits zu grob sein:

Zitat:

Original von ChronoTrigger
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n k^{2 \beta - \alpha}(1-k^{-\alpha}) < \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n k(1-k^{-\alpha}) \end{eqnarray*}$

Wenn du dagegen schlicht

$\begin{eqnarray*} \operatorname{var}(X_k) = k^{2\beta-\alpha} \left( 1-k^{-\alpha} \right) \leq k^{2\beta-\alpha} = k^{\gamma} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \gamma:=2\beta-\alpha < 1 \end{eqnarray*}$ nutzt, dann sollte das reichen: Es ist dann nämlich im Fall $\begin{eqnarray*} \gamma\geq 0 \end{eqnarray*}$ (der andere Fall $\begin{eqnarray*} \gamma<0 \end{eqnarray*}$ ist eh kein Problem)

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^{\gamma} \leq \int\limits_0^{n+1} x^{\gamma} ~ \dd x = \frac{(n+1)^{\gamma+1}}{\gamma+1} \end{eqnarray*}$ ,

denn du willst ja schließlich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n \operatorname{var}(X_k) \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$

nachweisen.

05.11.2011, 12:59

ChronoTrigger

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ah, danke für die tolle Erklärung.

Ich glaube, ich habe das ganze nun verstanden und damit sollte die Aufgabe gelöst sein.

danke nochmals smile

05.11.2011, 13:03

HAL 9000

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Bei nochmaliger Überlegung bin ich oben etwas "überkompliziert" rangegangen: Man kann natürlich auch einfach

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^{\gamma} \leq \sum_{k=1}^n n^{\gamma} = n^{\gamma+1} \end{eqnarray*}$

nutzen, was ja ebenfalls für die Abschätzung reicht. Augenzwinkern

05.11.2011, 13:32

ChronoTrigger

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stimmt, die Abschätzung ist einfacher.

danke!

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