Gruppentheorie erzeugendes Element

05.11.2011, 11:33

FCL

Gruppentheorie erzeugendes Element

Hi, ich habe hier eine Aufgabe:

Bestimme alle Primzahlen p für die gilt, dass 10 ein erzeugendes Element der Gruppe der Restklasse Modulo p ist.
Ich weiß ehrlich gesagt nicht mehr weiter unglücklich

.Ich wäre euch SEEEEEEEEEEEEEEEEEEEHR dankbar,wenn ihr ir hier helfen könntet Gott

05.11.2011, 11:42

FCL

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Siehe oben
Sorry, hier noch mal eine kurze Umstellung der Frage:

Bestimme alle Primzahlen p für die gilt: 111...1 ((p-1)-mal die Zifffer 1) ist durch p teilbar.

Hoffentlich ist das euch nicht zu schwer Teufel

. Bitte helft mir ! ich muss meine Antwort schon übermorgen haben!!!

05.11.2011, 13:53

Mcdonald

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Also zu deinem ersten Posting:

Du suchst dort also die Primen-Restklassen in denen die 10 eine Primitivwurzel ist.

Also suchst du im Endeffekt eine Bildungsstruktur für Primzahlen, so dass die 10 immer

eine PW der jeweiligen Restklasse ist. Ich persönlich kenne zur Bestimmung von

Primitivwurzeln bzw. zum Überprüfen ob ein Element eine PW ist, nur die Berechnung

der Ordnung des Elements.... Und die Ordnung des Elements ist ja jeweils abhängig

von der Ordnung der Gruppe (Satz v. Lagrange). Daher ist eine Übertragung auf

beliebige Primzahlen meiner Ansicht nach nicht möglich. (Lasse mich aber gerne eines

Besseren belehren)

Und den Zusammenhang bzw. die "Umformulierung" von deinem ersten zu deinem

zweiten Post verstehe ich nicht. Ist das eine konkrete (Übungs-) Aufgabe?

05.11.2011, 13:58

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mcdonald
Und den Zusammenhang bzw. die "Umformulierung" von deinem ersten zu deinem zweiten Post verstehe ich nicht.

Ich auch nicht, denn diese zweite Frage ist wesentlich einfacher zu beantworten, direkt mit dem kleinen Fermat.

05.11.2011, 19:20

FCL

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siehe oben
Das Zwiete ist meine richtige Fragestellung - das erste war was anderes. smile

Das Zweite ist also das, wo Ihr mir helfen sollt. Was genau ist nochmal der kl. Fermat?
(Stehe grade auf dem Schlauch geschockt

)
Danke für Eure Hilfe!

05.11.2011, 19:24

FCL

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OK, das mit dem kl. Fermat ist mir wieder eingefallen:

a^(p-1) ist kongruent zu 1 (mod(p))

Aber wie geht's jetzt weiter?

Ich wäre euch auch dankbar wenn ihr das erst irgendwann morgen beantwortet...
denkt nicht, dass ich keine Interesse mehr habe, weil es zu lang her ist - ich guck immer wieder mal rein smile

)

05.11.2011, 19:37

FCL

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Siehe oben
Ich bin auch froh, wenn jemand mir nur eine Idee gibt, von der der/die jenige/r nicht weiß, ob sie richtig ist - ich bin für alles offen!! Freude

05.11.2011, 22:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von FCL
Bestimme alle Primzahlen p für die gilt: 111...1 ((p-1)-mal die Zifffer 1) ist durch p teilbar.

Überlege dir als erstes, dass die Zahl, die aus genau $\begin{eqnarray*} (p-1) \end{eqnarray*}$ Einsen besteht, durch

$\begin{eqnarray*} \frac{10^{p-1}-1}{9} \end{eqnarray*}$

dargestellt werden kann. Und wenn du hier jetzt nicht die Verbindung zum kleinen Fermat siehst, dann musst du zunächst mal ausschlafen und dann nochmal draufschauen. Augenzwinkern

05.11.2011, 23:48

gitterrost4

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ich auch nicht, denn diese zweite Frage ist wesentlich einfacher zu beantworten, direkt mit dem kleinen Fermat.

Auch wenn es nicht wirklich relevant ist: Taeusche ich mich, oder ist die Antwort auf die erste Frage einfach "Alle Primzahlen groesser 10"? Denn 10 ist ja dann teilerfremd zu dieser Primzahl und erzeugt somit die komplette
zyklische Gruppe.

06.11.2011, 09:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von gitterrost4
Denn 10 ist ja dann teilerfremd zu dieser Primzahl und erzeugt somit die komplette zyklische Gruppe.

Die additive Gruppe $\begin{eqnarray*} (\mathbb{Z}/p\mathbb{Z},+) \end{eqnarray*}$ : Ja, aber das ist ja auch trivial.

Wie auch Mcdonald nehme ich aber eher an, dass es um die multiplikative Gruppe $\begin{eqnarray*} ((\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^*,*) \end{eqnarray*}$ geht! Und da stimmt es selbstverständlich nicht, dass $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ da primitive Wurzel ist für alle $\begin{eqnarray*} p>10 \end{eqnarray*}$ , z.B. offensichtlich nicht für $\begin{eqnarray*} p=101 \end{eqnarray*}$ mit dort $\begin{eqnarray*} \operatorname{ord}(10)=4 \end{eqnarray*}$

06.11.2011, 09:15

FCL

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Siehe oben
ja, das stimmt. Hier geht es um die MULTIPLIKATIVE Gruppe der Restklassen mod p.
Wieso kann man die Zahl 111...1 als
$\begin{eqnarray*} 10^{p-1} - 1 \end{eqnarray*}$
-------------------------------------
9
darstellen? Augenzwinkern

Dass man die Zahl als Summe von mehreren 10^i (mit 0<i<irgendwas) darstellen kann, ist mir klar.

(Das da oben soll durch heißen smile

)

06.11.2011, 09:23

FCL

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Wie es dann mit dem kl. Fermat weitergeht ist mir ja klar.
Das ganze ist dann ja wegen (10^p-1) -1 durch p teilbar, da ändert das durch 9 ja auch nichts mehr, oder? verwirrt

06.11.2011, 09:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von FCL
Wieso kann man die Zahl 111...1 als
$\begin{eqnarray*} 10^{p-1} - 1 \end{eqnarray*}$
-------------------------------------
9
darstellen?

Na vielleicht verstehst du es so, sofern du schon mal was von geometrischen Reihen gehört hast: Es ist

$\begin{eqnarray*} \underbrace{11\ldots 1}_{(p-1)\;\textrm{Einsen}} = \sum_{k=0}^{p-2} 10^k = ? \end{eqnarray*}$

Oder schlicht einfach so:

$\begin{eqnarray*} \underbrace{11\ldots 1}_{(p-1)\;\textrm{Einsen}} = \frac{1}{9} \cdot \underbrace{99\ldots 9}_{(p-1)\;\textrm{Neunen}} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von FCL
Das ganze ist dann ja wegen (10^p-1) -1 durch p teilbar, da ändert das durch 9 ja auch nichts mehr, oder? verwirrt

Kommt drauf an, über welche $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ wir da sprechen!

06.11.2011, 09:32

FCL

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Das gilt doch für alle p die zu 10 teilerfrmd sind (also alle außer 2 und 5), oder?
Von geometr. Reihen hab ich schon mal was gehört (das sind doch die mit dem konstanten quotienten q?)
Wie du von dem ersten auf das zweite kommst hab ich trotzdem noch nicht kapiert.
Erklärs bitte ausführlicher für den dummen FCL!!! geschockt

06.11.2011, 09:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von FCL
Das gilt doch für alle p die zu 10 teilerfrmd sind (also alle außer 2 und 5), oder?

Zum einen die, ja.

Was aber die Division durch 9 angeht, da sollte man auch nochmal über den Fall p=3 nachdenken!

Zitat:

Original von FCL
Erklärs bitte ausführlicher für den dummen FCL!!! geschockt

Noch ausführlicher??? Nein, das kann ich nicht. geschockt

06.11.2011, 09:34

FCL

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MIR GEHT EIN LICHT AUF!!!
Ich hab das mit dem 1/9 * 999...9 kapiert!! (glaub ich zumindest) Freude

06.11.2011, 09:37

FCL

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das wär dann natürlich doof. Dann wär doch 9 kongruent 0 weil wir mod 3 rechnen, oder?
(und wenn man durch 0 teilt regen sich ja alle immer sooooooooo auf verwirrt

)

06.11.2011, 09:39

FCL

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Doch, das mit dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \cdot 999...9 \end{eqnarray*}$ hab ich kapiert.

06.11.2011, 09:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von FCL
das wär dann natürlich doof. Dann wär doch 9 kongruent 0 weil wir mod 3 rechnen, oder?

Herrje, mach doch nicht so ein aufwändiges Theater:

Da aus $\begin{eqnarray*} 3 \mid n \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} 3 | \frac{n}{9} \end{eqnarray*}$ gefolgert werden kann, wird $\begin{eqnarray*} p=3 \end{eqnarray*}$ eben als Einzelfall betrachtet ("Ist 11 durch 3 teilbar, oder nicht?"), und fertig.

06.11.2011, 09:43

FCL

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jaja, das weiß ich auch. smile

06.11.2011, 09:45

FCL

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Also geht das Ganze also so:

111...1 (p-1 Einsen) schreib ich zu
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \cdot 999...9 \end{eqnarray*}$
um.
Dann sieht man ja schon, dass das ganze nach kl. Fermat durch p teilbar ist.
Aber was mach ich mit den Sonderfällen?

06.11.2011, 09:47

HAL 9000

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Ich denke, das "weißt du"? (Klang zumindest eben noch so altklug.)

06.11.2011, 09:50

FCL

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OK, ich stelle mich grad nur etwas dooooooooof an.
Mit dem Sonderfall 3 kenn ich mich schon aus.
Aber bei 2 und 5 steh ich auf dem Schlauch.
Du verstehst das bestimmt wenn du das erste mal drauf schaust. smile

(damit ist gemeint, dass du mir da bitte helfen sollst traurig

)

06.11.2011, 09:52

HAL 9000

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Das sind lediglich zwei Werte, die man natürlich ebenfalls per Einzelfallprüfung erledigen kann!

p=2: Ist 1 durch 2 teilbar?

p=5: Ist 1111 durch 5 teilbar?

06.11.2011, 09:55

FCL

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OK, alles klar!! (Das war jetzt zu leicht, dass ich das sofort kapiere Augenzwinkern

)
DANKE für deine Hilfe.

Ich hab mal gehört, dass man die Frage "schließen" soll, wenn man fertig ist.
Weil das hier aber meine erste Frage ist, weiß ich nicht wie das geht traurig

. kannst du mir das AUCH noch sagen?? (wenn mir da kein Quatsch erzählt wurde)

06.11.2011, 10:07

FCL

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Mir ist grade eingefallen!
Warum haben wir das zu 1/9 * 999...9 umgeschrieben?
War das jetzt nicht völlig überflüssig??? verwirrt

06.11.2011, 10:10

HAL 9000

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Falls du dich erinnerst: Ich hatte große, sehr große, extrem große Schwierigkeiten, dir

$\begin{eqnarray*} \underbrace{11\ldots 1}_{(p-1)\;\textrm{Einsen}} = \frac{10^{p-1}-1}{9} \end{eqnarray*}$

verständlich zu machen. Nachfragen wie diese letzte äußerst dumme jetzt sind geeignet, mich zur Weißglut zu treiben.

EDIT: Und nach zwei Minuten schon drängeln erst recht. böse

06.11.2011, 10:15

FCL

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06.11.2011, 10:16

FCL

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Aber wir brauchen doch nur die (10^(p-1)-1)/9 und nicht diese andere doofe Form, oder? Wink

06.11.2011, 10:20

HAL 9000

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Wir brauchen den ganzen Müll seit hier nicht, wenn du dich nicht so begriffsstutzig angestellt hättest. Entschuldige die offenen Worte, aber einem jetzt vorzuhalten, was man alles versucht hat und was ja "überflüssig" ist, halte ich schon für eine ziemliche Frechheit. Und jetzt ist Schluss hier, zumindest für mich. böse

06.11.2011, 10:22

FCL

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OK überflüssig nicht. Aber für den Beweis oder die Aufgabe selber war das doch eigentlich nicht nötig, oder?
(Ich mein's nicht böse, auch wenn es so rüberkommt)

06.11.2011, 10:23

HAL 9000

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Ich habe eben darauf geantwortet. Warum stellst du ständig dieselben Fragen? Willst du provozieren?

06.11.2011, 10:24

FCL

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AHHHHHHHHHHHH
OK, wir habens doch gebraucht smile

Entschuldigung, wenn ich dich so viel genervt habe.
Kannst du mir trotzdem sagen, wie man die Frage "schließt"?

06.11.2011, 10:25

FCL

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Nein, ich will dich nicht provozieren. Ich bin schließlich erst in der 9. klasse. Da versteht man das nicht sooo schnell traurig

06.11.2011, 10:34

HAL 9000

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Dann ist es wohl eine Wettbewerbsaufgabe, denn wie Schulstoff 9.Klasse sieht es nicht aus? Dann war es sowieso ein Fehler, dir alles haarklein (ohne jedes eigene Zutun von dir) zu erzählen. Hammer

06.11.2011, 10:37

FCL

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Nein, das ist keine Wettbewerbsaufgabe. Ich bin nur dabei, mein Wissen für einen kommenden Wettbewerb aufzufrischen.
Da hab ich im Internet nach ein paar Übungsaufgaben gesucht und hab die nicht kapiert (wie du gemerkt hast Hammer

06.11.2011, 10:38

FCL

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Zitat:

Original von HAL 9000
(ohne jedes eigene Zutun von dir)

Das ist jetzt aber fies. ICH habe auch mitgedacht traurig

06.11.2011, 10:40

FCL

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Sei mir bitte nicht böse, wenn ich dich genervt habe.
Wahrscheinlich kommt so was im Wettbewerb sowieso nicht dran...

DANKE für deine HILFE! Lehrer