Potenzreihe

06.01.2007, 09:57

guest

Potenzreihe

Hallo!

Ich habe folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty ~\frac{x^{n^2}}{n!} \end{eqnarray*}$

Ich soll den Konvergenzbereich ermitteln. Quotientenkriterium kann ich nicht anwenden, da überabzählbar viele 0 vorkommen :-(

Und die Wurzelformel hilft mir auch nicht, da ich den auftretenden Limes nicht berechnen kann:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n} ln(n!) \end{eqnarray*}$

Wer weiß Rat?

06.01.2007, 10:48

therisen

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RE: Potenzreihe
Meinst du $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty ~\frac{x^{(n^2)}}{n!} \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Original von guest
Ich soll den Konvergenzbereich ermitteln. Quotientenkriterium kann ich nicht anwenden, da überabzählbar viele 0 vorkommen :-(

Überabzählbar viele 0? verwirrt

Wie kommst du darauf bzw. was meinst du damit?

06.01.2007, 11:03

guest

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Ich meine damit, dass die Potenzreihe Lücken enthält und nur
x, x^4, x^9, x^16 ... vorkommen. Also (sorry) abzählbar viele Koeffizienten 0 sind.

Und jetzt habe ich keine Idee, wie ich den Konvergenzradius bestimmenn kann...

06.01.2007, 11:41

guest

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Ich habe die Angabe genau abgeschrieben. Ich habe mich auch geärgert, dass es nicht eindeutig angeschrieben ist. Aber (x^n)^2 wäre (denke ich) ziemlich trivial...

06.01.2007, 12:03

Mathespezialschüler

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Naja. Das ist eigentlich auch ohne Klammer eindeutig. Zumindest ist das die allgemein anerkannte Definition. Und therisen wollte sicher auch darauf hinaus, dass du oben bei deiner Reihe $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ geschrieben hast.
Zur Aufgabe. Du hast ja hier folgende Darstellung der Koeffizienten: Es gilt mit

$\begin{eqnarray*} a_m=\begin{cases} 0 & \text{falls gilt: }\not\exists n\in\mathbb N_0 :m=n^2 \\ \frac{1}{(\sqrt{m})!}=\frac{1}{n!} & \text{falls mit einem }n\in\mathbb N_0\text{ gilt: }m=n^2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~\frac{x^{n^2}}{n!}=\sum_{m=0}^{\infty}~a_mx^m \end{eqnarray*}$ .

Den Konvergenzradius der letzten Potenzreihe kannst du gemäß

$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{\limsup\limits_{m\to\infty}\sqrt[m]{|a_m|}} \end{eqnarray*}$

berechnen. Setze jetzt einfach $\begin{eqnarray*} m=n^2 \end{eqnarray*}$ ein, denn alle anderen $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ interessieren ja, wie du bereits rausgefunden hast, nicht.
Anschließend kannst du geeignete Abschätzungen benutzen, z.B.

$\begin{eqnarray*} n!\leq 2\cdot \left(\frac{n}{2}\right)^n \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

06.01.2007, 12:42

Tutor

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So - jetzt bin ich angemeldet auch:

Kann ich jetzt so argumentieren:

$\begin{eqnarray*} \limsup_{m \to \infty } \frac{1}{\sqrt[m]{m!} } \leq \limsup_{m \to \infty } \frac{1}{\sqrt[m]{2(\frac{m}{2})^m} } \leq \limsup_{m \to \infty } \frac{1}{\sqrt[m]{(\frac{2m}{2})^m} } \leq \limsup_{m \to \infty } \frac{1}{m} =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{0} = \infty \end{eqnarray*}$

06.01.2007, 12:47

Tutor

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Moment....

Die Abschätzung geht ja in die falsche Richtung (größerer Nenner -> kleinere Zahl) :-(

06.01.2007, 13:05

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Lies dir den Beitrag von MSS nochmal ganz sorgfältig durch. Dann wirst du feststellen, dass der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \limsup_{m \to \infty } \frac{1}{\sqrt[m]{m!} } \end{eqnarray*}$ im vorliegenden Fall nicht der richtige für das Wurzelkriterium ist. Da hast du total falsch eingesetzt. unglücklich

06.01.2007, 13:12

Tutor

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Dann verstehe ich überhaupt nicht, was $\begin{eqnarray*} \lim_{n^2 \to \infty } \end{eqnarray*}$ bedeuten soll...

$\begin{eqnarray*} n^2 \to \infty \end{eqnarray*}$ sagt mir gar nichts

06.01.2007, 13:20

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Wie du rcihtig festgestellt hast, sind die "meisten" Reihenglieder Null - die können wir demnach bei der Berechnung des Limes Superior streichen, wir müssen nur die Glieder $\begin{eqnarray*} a_m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} m=n^2 \end{eqnarray*}$ betrachten:

$\begin{eqnarray*} \limsup\limits_{m\to\infty}\sqrt[m]{|a_m|} = \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n^2]{|a_{n^2}|} \end{eqnarray*}$

Und jetzt einsetzen!

06.01.2007, 13:26

Tutor

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Das hilft mir auch nicht weiter...

dass man im limes statt n^2 nur n schreibt, soll mich nicht stören.

Aber wenn ich jetzt n! anstatt m! im Nenner habe, kann ich die Abschätzung ja trotzdem nicht machen...

06.01.2007, 13:29

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Warum setzt du nicht einfach ein? böse

06.01.2007, 13:48

Tutor

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Vermutlich weil ich zu blöd bin, um zu begreifen.
Sorry, aber ich blick nicht durch...

06.01.2007, 13:57

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Ok, mal Einsetzen üben, und dann gleich mal die Ungleichung von MSS verwenden:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n^2]{a_{n^2}} = \sqrt[n^2]{\frac{1}{n!}} \geq \left( 2 \left( \frac{n}{2} \right)^n \right)^{-\frac{1}{n^2}} = 2^{\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}} \cdot n^{-\frac{1}{n}} \to 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$

In der anderen Richtung sollte $\begin{eqnarray*} \sqrt[n^2]{a_{n^2}} \leq 1 \end{eqnarray*}$ offensichtlich sein.

06.01.2007, 16:36

Tutor

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Ob ich das ganze jetzt mit n^2 oder mit m umforme, scheint mir ziemlich belanglos...

Ich habe bei meiner ersten Abschätzung in die falsche Richtung abgeschätzt und eine Wurzel vergessen...

Der Übergang von m auf n^2 erscheint mir ziemlich "künstlich"
Warum ist das wichtig??

06.01.2007, 17:55

Tutor

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Danke für eure Erklärungen.

Aber ich bin wohl zu dämlich dafür.
Wieso kommt plötzlich was ganz anderes raus, wenn ich statt n^2 überall m schreibe?

ich werde diese Aufgabe vergessen...

06.01.2007, 18:05

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Du sprichst in Rätseln: Wo kommt wie was anderes raus?

06.01.2007, 21:31

Tutor

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ich verwende $\begin{eqnarray*} a_m= \frac{1}{\sqrt{m!}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \limsup_{m \to \infty } \frac{1}{\sqrt[m]{\sqrt{m!}} } = \limsup_{m \to \infty } (m!)^{\frac{-1}{2m}} \geq \limsup_{m \to \infty } 2^{\frac{-1}{2m} } (\frac{m}{2})^{\frac{-m}{2m}} =0 \end{eqnarray*}$

Und ich verstehe auch nicht, was der Umweg über n^2 anstatt m bewirken soll...

06.01.2007, 22:07

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Großer Irrtum: Es geht hier um $\begin{eqnarray*} (\sqrt{m})! \end{eqnarray*}$ , nicht um $\begin{eqnarray*} \sqrt{m!} \end{eqnarray*}$ . Das ist etwas völlig anderes!!!

Beispiel: $\begin{eqnarray*} m=4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{m})! = (\sqrt{4})! = 2! = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{4!} = \sqrt{24} \neq 2 \end{eqnarray*}$

Du hast also falsch eingesetzt! Hatte ich oben schon angemerkt:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Lies dir den Beitrag von MSS nochmal ganz sorgfältig durch. Dann wirst du feststellen, dass der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \limsup_{m \to \infty } \frac{1}{\sqrt[m]{m!} } \end{eqnarray*}$ im vorliegenden Fall nicht der richtige für das Wurzelkriterium ist. Da hast du total falsch eingesetzt. unglücklich

Aber das war wohl nicht deutlich genug!

06.01.2007, 23:44

Tutor

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Danke für diese oberlehrerhafte Abmahnung

Besonders dieses: "Da hast du total (!) falsch eingesetzt" war ja wirklich sehr hilfreich :-(

Zumindest ein Hinweis auf meinen Fehler hätte mich sofort weiter gebracht, noch dazu wo die Überlegung mit diesem n^2 offenbar keine notwendige Umformung darstellt.

traurig

07.01.2007, 09:20

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Eine sorgfältige Überprüfung des Einsetzens in $\begin{eqnarray*} (\sqrt{m})! \end{eqnarray*}$ aus dem Beitrag von MSS - so wie von mir dringend angemahnt - hätte den Fehler sofort zu Tage gebracht, aber das hast du ja nicht gemacht. Ist das meine Schuld, dass du das nicht getan hast?

Wenn du alles soviel besser weißt, was notwendig ist und was nicht, und trotz Hilfestellungen hier noch pampig reagierst, können wir hier ja gleich schließen. Wir können auch gern wieder öffnen, wenn du dir mal überlegst, in welchem Tonfall du hier auftrittst:

Prinzip "Mathe online verstehen!"

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