Extremwerte bei Funktion mehrerer Variablen

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SurferP Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwerte bei Funktion mehrerer Variablen
Meine Frage:
Uberprufen Sie, ob die Funktion
f(x; y) = x³ + y²x + x²:
in ihren kritischen Punkten Minima, Maxima oder Sattelpunkte hat, oder ob man eventuell keine Aussage machen kann.

Meine Ideen:
Ich komme bei dieser Aufgabe leider überhaupt nicht mehr weiter...
Ich weiß, dass man als erstes die Partielle Ableitung der Funktion bilden und die einzelnen Gradienten dann mit 0 gleichsetzen und nach x bzw. y auflösen muss. Bei den Gradienten habe ich raus:
nach x abgeleitet: 3x²+y²+2x=0 --> y= wurzel aus -3x²-2x
nach y abgeleitet: x³+2xy+x²=0 --> ???
Mein eigentliches Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich mit den 2xy umgehen soll... ich würde jetzt normalerweise das "wurzel aus -3x²-2x" in die zweite Gleichung einsetzen und dann weiterrechnen.
Wäre übrigens auch sehr nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich dann herausfinde, ob und wo hier irgendwelche Hochpunkte, Tiefpunkte etc. vorliegen und wie ich diese ausrechne Augenzwinkern
Vielen Dank!
SurferP Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwerte bei Funktion mehrerer Variablen
Hey Leute - das ist wirklich sehr wichtig für mich. Wäre echt nett, wenn mir jemand bei diesem Thema helfen könnte
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SurferP
nach y abgeleitet: x³+2xy+x²

Das ist nicht die Ableitung nach . unglücklich

Summanden, die kein enthalten, sind bzgl. Konstanten. Was passiert mit Konstanten beim Ableiten? Man lässt sie jedenfalls nicht einfach stehen. unglücklich
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

also beim schnellen durchlesen ist mir aufgefallen, dass dein Gradient, wenn du nach y ableitest, falsch ist. x³ ist dann ja wie eine Konstante zu betrachten! Mit diesen beiden Gleichungen bekommst du mögliche Extrempunkte heraus, die du dann mit der Hesse-matrix überprüfen musst!

Gruß

Johnsen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Johnsen, du übernimmst am besten (ich hab genug zu tun). Augenzwinkern
SurferP Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Ableitung nach y dann nur 2xy?
 
 
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

ja klar, was sollte es sonst sein Augenzwinkern
SurferP Auf diesen Beitrag antworten »

Ohh jetzt erkenne ich meinen Fehler auch... Hammer Ich weiß aber immernoch nicht, wie ich dann mit den 2yx und der anderen ABleitung weitermachen soll... Ist 2yx das gleiche wie 2y+2x?
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auf jeden Fall nicht das gleiche! Du hast ja jetzt 2 Gleichugen mit 2 Unbekannten x und y. Löse also nun dieses Gleichungssystem, um mögliche Kandidaten für Extremwerte herauszufinden! Also löst z.B. 2xy=0 nach x auf und setze in die andere Gleichung ein.

Gruß

Johnsen
SurferP Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist ja, dass ich nicht weiß, wie man das 2yx "auseinander" bekommt und deshalb weiß ich auch nicht, wie ich bei 2yx=0 nach x auflösen kann... verwirrt
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn man Funktionen mehrer veränderlicher behandelt und über die Begriffe wie Ableitung, Gradient, etc. schon einmal etwas gehört hat, dann MUSS man wissen, wie man 2xy=0 nach x auflöst! Was muss denn x sein, damit 2*x*y = 0 herauskommt? Wenn man es nicht sofort sieht, dann teile doch mal durch 2.
SurferP Auf diesen Beitrag antworten »

x=0? tut mir leid, ich bin leider echt kein Mahte-Profi unglücklich
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht wäre es besser zu sagen, dass wir nicht nach x auflösen, sondern eine Fallunterscheidung machen: was ist 2xy=0? Das ist einerseits dann der Fall, wenn x= ... und y beliebig und andererseits, wenn y= ... und x beliebig.
Dann bekommst du verschiedene Fälle und setzt diese in die erste Gleichung ein!
SurferP Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe jetzt bei der 2yx=0 Ableitung den Fall y=0 und x=... genommen, diesen in die andere ABleitung eingesetzt und x=-2/3 oder x=0 herausbekommen. Das in die f(x,y) Gleichung eingesetzt ergiebt 4/27 --> Es muss ein Extrempunkt in (x=-2/3 und y=0) vorliegen der die Höhe 4/27 hat. Was für Extrempunkt das genau ist, werde ich jetzt versuchen herauszufinden smile Ich glaube das Ergebnis ist richtig- Du hast mir auf jeden Fall sehr geholfen!! Vielen Dank dafür Freude
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst aber durch reines einsetzen in die Ausgangsfunktion noch nicht sagen. ob es wirklich ein Extrempunkt ist! Dafür brauchst du die zweiten Ableitungen! Welche möglichen Punkte hast du denn nun gefunden?

Gruß

Johnsen
SurferP Auf diesen Beitrag antworten »

Schade... ich hab schon gedacht das wäre richtig so...

Als mögliche Punkte habe ich (x=0 und y=0) und (x=-2/3 und y=0)
Johnsen Auf diesen Beitrag antworten »

ja ok, das ist soweit richtig! Jetzt musst du dann die zweiten Ableitungen bilden bzw. die "Mischableitungen". Das werdet ihr sicher in der Vorlesung behandelt haben (Hesse-Matrix,etc...).

Gruß

Johnsen
SurferP Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Mathe-Prof ist leider nicht sehr gut im Erklären, deshalb bringe ich mir den ganzen Stoff gerade selber bei...
Danke!
Rocky_122543 Auf diesen Beitrag antworten »
Mischableitung
Hallo, Kann mir jemand kurz diese mischableitung erklären? Diese Hesse Matrix versteh ich überhaupt nicht! Danke !!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mischableitung
Was genau möchtest du denn erklärt haben? In der Hesse-Matrix stehen die zweiten partiellen Ableitungen einer Funktion; aber die Definition kannst du auch selbst nachschlagen.

Und mit "Mischableitung" ist wohl die zweite partielle Ableitung nach zwei verschiedenen Variablen gemeint.
Aber ohne konkrete Frage kann ich dir nicht weiterhelfen, ich werde dir nicht alles von vorne erklären.
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