Vektorraum über R, Untervektorräume von R

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05.11.2011, 17:09	Lotte92	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorraum über R, Untervektorräume von R Meine Frage: Hallo Habe bei den folgenden Aufgaben Probleme und würde gerne wissen, wie man sie lösen kann. - Zeigen Sie, dass die Menge aller Polynome p: R -> R vom Grad n <= 3 ein Vektorraum über R ist. Bei einer anderen Aufgabe geht es um Untervektorräume. - Man untersuche, welche der folgenden Mengen Untervektorräume von R² sind. a) U_1 = {(x,y) ist Element von R² \| y=x²} b) U_2 = {(x,y) ist Element von R² \| x<= y} c) U_3 = {(x,y) ist Element von R² \| y = 2x} d) U_4 = {(x,y) ist Element von R² \| xy >= 0} Meine Ideen:* Bei der ersten Aufgabe habe ich leider keine Ansätze ... Die Menge U_1 ist ein Untervektorraum von R², da bei der Gleichung y=x² keine leere Lösungsmenge herauskommt, da für y nur positive Zahlen herauskommen. z.B bei y= (-2)² kommt 4 heraus... Bei der Menge U_2, U_3 und U_4 weiß ich nicht, ob x<=y ; y=2x ; xy>= 0 ein Untervektorraum von R² ist. Danke schonmal im Vorraus Wäre echt super wenn ihr mir weiterhelfen könnt
05.11.2011, 17:36	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorraum über R, Untervektorräume von R Die Begründung ist nicht korrekt. Schau dir nochmal an, wie (Unter-)Vektorräume definiert sind: Definitionen nachschlagen
05.11.2011, 18:11	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Suche mal das Unterraumkriterium in deinem Skript. Damit kann man in 2 Schritten schon nachprüfen, ob ein Unterraum vorliegt oder nicht. Gruß
05.11.2011, 18:30	Lotte92	Auf diesen Beitrag antworten »
also bei der 2a) die erste Regel für den Untervektorraum ist erfüllt, da U_1 ungleich leere Menge, da y=-1^2 =1 ist, also y=R+ die zweite regel ist: für alle x,y € R² ist x+y € R². Diese Regel ist auch erfüllt, denn bei y=-2^2 = 4 ist -2 + 4 = 2 bzw. bei y=2^2 = 4 ist 2+4=6. Und diese Lösungen sind € R². die 3.Regel ist für alle x € R², Lamda € K ist Lamda * x € R² nur wie kann man diese regel beweisen??
05.11.2011, 18:38	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erkenne da nicht allzuviel bei dir. Du hast im $\begin{eqnarray} R^2 \end{eqnarray}$ Vektoren, also Tupel der Form (x,y). Schauen wir mal bei der a) obs klappt: 1. $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ ist nicht leer, denn $\begin{eqnarray} (0,0) \in U_1 \end{eqnarray}$ (0 = 0²) 2. Seien $\begin{eqnarray} (x,y),(s,t) \in U_1 \end{eqnarray}$ (dh. $\begin{eqnarray} x^2 = y \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s^2 = t \end{eqnarray}$ ). Zu zeigen: $\begin{eqnarray} (x,y)+(s,t) = (x+s,y+t) \in U_1 \end{eqnarray}$ , d.h. es muss gelten $\begin{eqnarray} (x+s)^2 = y+t \end{eqnarray}$ . Das geht aber nicht immer. Bsp: (1,1) und (2,4) liegen in $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ aber nicht (3,5). 3. Hier müsste man prüfen ob mit $\begin{eqnarray} (x,y) \in U_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \in R \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} \lambda (x,y) \in U_1 \end{eqnarray}$ ist. Aber da schon 2 verletzt ist, brauch man nicht weitermachen. Es wäre also kein Unterraum. Bemerkung: Du KANNST (musst aber nicht) 2 und 3 zusammenfassen zu einer Bedingung. Vllt weißt du schon wie. Gruß
05.11.2011, 18:45	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht brauche ich einen Account hier. Ich sehe gerade etwas ganz FATALES in deiner Argumentation. Du zeigst Regel 2 anhand EINES BEISPIELS. Man beweist nichts durch ein Beispiel! Du musst es schon allgemein halten. Mit Beispielen kann man nur Aussagen wiederlegen. (Alle natürlichen Zahlen sind größer als 10, Gegenbeispiel: 2).
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05.11.2011, 18:48	Lotte92	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso Danke... weißt du vllt wie man die erste aufgabe macht? Ich kann mit der Menge aller Polynome p: R -> R nichts anfangen... also man beweist das mit den Gesetzen der Vektoraddition und Skalarmultiplikation und dem Distributivgesetz. Also man guckt, ob das Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz anwendbar sind. Aber wie beweist man das??
05.11.2011, 18:51	Klassi	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Zeige V ist abelsche Gruppe bezüglich +. Was heißt das? 2. Ist V bezüglich der Skalarmultiplikation abgeschlossen? Was heißt das? Gruß
05.11.2011, 19:09	Lotte92	Auf diesen Beitrag antworten »
also abgeschlossen heißt doch, dass die Skalarmultiplikation eine Verknüpfung ist und auf die Elemente von R² eingeschränkt ist. Das wird doch bei der 3. Regel gezeigt(für die Vektoraddition auch bei der 2.). Von der abelschen Regel habe ich noch überhaupt nichts gehört... Bei der 2.a) hast du geschrieben: Bsp: (1,1) und (2,4) liegen in aber nicht (3,5). Ist mit (1,1) (x,y) gemeint?

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